专题17 函数的周期性-2022新高考高中数学技巧之函数专题汇编

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1．（2016•山东）已知函数的定义域为，当时，；当时，；当时，，则（6）
A．B．1C．0D．2
【解析】解：当时，，
当时，，即周期为1．
（6）（1），
当时，，
（1），
当时，，
，
（1），
（6）．
故选：．
2．（2019•达州模拟）定义在上的偶函数满足，且在，上单调递减，设，，，则，，大小关系是
A．B．C．D．
【解析】解：偶函数满足，函数的周期为2．
由于，
，
，
，且函数在，上单调递减，
，
故选：．
3．（2019•南充模拟）设是周期为4的奇函数，当时，，则
A．B．C．D．
【解析】解：是周期为4的奇函数，当时，，
，
故选：．
4．（2019•济宁一模）定义在上的奇函数满足，且在上，则
A．B．C．D．
【解析】解：由得，，
所以函数的周期是4，
因为定义在上的奇函数，且，
且在上，
所以
，
故选：．
5．（2019•乌鲁木齐模拟）奇函数满足，当时，，则
A．B．C．D．2
【解析】解：，
是以4为周期的奇函数，
又，
，，，
故选：．
二．填空题（共19小题）
6．（2012•江苏）设是定义在上且周期为2的函数，在区间，上，其中，．若，则的值为 ．
【解析】解：是定义在上且周期为2的函数，，
，；又，
①
又（1），
，②
由①②解得，；
．
故答案为：．
7．（2011•上海）设是定义在上，以1为周期的函数，若函数在区间，上的值域为，，则在区间，上的值域为 ， ．
【解析】解：法一：为上周期为1的函数，则
又函数在，的值域是，
令，当，时，，
此时，
所以，在，时，，（1）
同理，令，在当，时，，
此时，
所以，当，时，，（2）
由（1）（2）得到，在，上的值域为，
故答案为：，
法二：由题意 在上成立
故
所以
由此知自变量增大1，函数值也增大1
故在，上的值域为，
故答案为：，
8．（2019•嘉定区一模）已知函数是定义在上且周期为4的偶函数，当，时，，则的值为 ．
【解析】解：函数是定义在上且周期为4的偶函数，
，
又当，时，，
．
故答案为：．
9．（2019•雁塔区校级一模）设函数是定义在上的以5为周期的奇函数，若（2），（3），则的取值范围是 ，， ．
【解析】解：函数以5为周期，（2），
又（3），函数是奇函数
（3），
因此，（2），解之得或
故答案为：，，．
10．（2020•达州模拟）是定义域为的偶函数，对，都有，当时，，则 ．
【解析】解：根据题意，是定义域为的偶函数，对，都有，
则有，即函数是周期为4的周期函数，
则有，（1），
又由当时，，
则，（1），
则（1）；
故答案为：．
11．（2019春•南关区校级月考）已知偶函数满足条件，且当，时，，则的值等于 1 ．
【解析】解：由，得，
所以是以2为周期的周期函数，
又为偶函数，
，
故答案为：1．
12．（2019•宿州三模）定义在上的偶函数满足，且在，上是增函数，给出下列关于的判断：
①是周期函数；
②关于直线对称；
③在，上是增函数；
④在，上是减函数；
⑤（2），
其中正确的序号是 ①②⑤ ．
【解析】解：定义在上的偶函数满足，
，
是周期为2的函数，则①正确．
又，
的图象关于对称，②正确，
又为偶函数且在，上是增函数，
在，上是减函数，
又对称轴为．
在，上为增函数，（2），
故③④错误，⑤正确．
故答案应为①②⑤．
13．（2019•道里区校级三模）已知是定义在上的周期为4的偶函数，当，时，，则（5） ．
【解析】解：是定义在上的周期为4的偶函数，
当，时，，
（5）（1）．
故答案为：．
14．（2019秋•平罗县校级期末）定义在上的函数的最小正周期为6，当时，，则 3 ．
【解析】解：根据题意，函数的最小正周期为6，则（3），
又由当时，，则（3），
则（3）；
故答案为：3
15．（2019秋•浦东新区校级月考）设函数的定义域为，满足，且当，时，，若对任意，，都有，则的最大值是 ．
【解析】解：当，时，函数在上递减，在，上递增，所以，
因为，当图象向右平移2个单位时，最小值变为原来的2倍，最小值不断变小，
当图象向左平移2个单位时，最小值变为原来的，最小值不断变大．
当，时，，
，，所以，
当，时，，
当，，，，，
令，则，
根据题意，故最大值为．
故答案为：．
16．（2019秋•包河区校级期末）设是以2为周期的奇函数，且，若，则的值等于 ．
【解析】解：，．
．
故答案为．
17．（2019•菏泽二模）已知偶函数满足，且当，时，，若在区间，内，函数有4个零点，则实数的取值范围是 ， ．
【解析】解：函数满足，故有，
故是周期为2的周期函数．
再由是偶函数，当，时，，可得当，时，，
故当，时，，当，时，．
由于函数有4个零点，故函数的图象与有4个交点，
所以可得，
实数的取值范围是，．
故答案为：，．
18．（2019秋•上城区校级期末）设函数是以2为最小正周期的周期函数，且，时，，则 ．
【解析】解：根据题意，函数是以2为最小正周期的周期函数，
则，
又由，时，，则，
则，
故答案为：
19．（2019春•香坊区校级期中）设函数是定义在上的偶函数，且对任意的恒有，当，时，，则：
（1）2是函数的周期；
（2）函数在上是增函数；
（3）函数的最大值是1，最小值是0；
（4）直线是函数的一条对称轴．
其中正确的命题是 （1）（2）（4） ．
【解析】解：（1）由函数是定义在上的偶函数，且对任意的恒有，
取则，即，所以2是函数的周期，所以（1）正确；
（2）因为当，时，为增函数，又因为函数的周期是2，所以函数在，上的图象与在，上的图象完全相同，所以函数在上是增函数，所以（2）正确；
（3）因为当，时，为增函数，且函数为偶函数，所以在，上函数的最小值为，
再由函数图象以2为周期周期出现，所以函数的最小值是，所以（3）不正确；
（4）由函数的周期是2，且函数是偶函数，所以，所以函数的一条对称轴是，所以（4）正确．
故答案为（1）（2）（4）．
20．（2019秋•金凤区校级月考）设定义在上的函数满足，且当，时，，则（1）（2） 1010
【解析】解：设定义在上的函数满足，
且当，时，，
（2）（4）（6），
（1）（3）（5）（7），
（1）（2）．
故答案为：1010．
21．（2019春•高安市校级期末）已知定义在上的函数满足，且当时，，则 4 ．
【解析】解：令，则，
即，
所以，
即的周期，
所以（3），
故答案为：4．
22．（2019秋•香坊区校级月考）已知是定义在上的函数，且满足，当时，，则
【解析】解：，
，
的周期为4，
，
，，
，
故答案为：．
23．（2019•贵州三模）函数对于任意实数满足条件，若（1），则（5） ．
【解析】解：，
，且，
即函数的周期为4．
（1），
（5）（1）．
故答案为：；
24．（2019秋•东安区校级期末）设奇函数的定义域为，且周期为5，若（1），（4），则实数的取值范围是 ．
【解析】解：是周期为5的函数，
，又是定义域为的奇函数，
（4）（1），
（1），
又（1），
，
，
当时，，舍去．
当时，，
此时，，
综上，，
实数的求值范围是．
故答案为：．
三．解答题（共4小题）
25．（2012•上海）已知
（1）若，求的取值范围；
（2）若是以2为周期的偶函数，且当时，，求函数，的反函数．
【解析】解：（1），
要使函数有意义，则
由解得：．
由得：，
，
，
．
由，得：．
（2）当，时，，，
，
由单调性可知，，
又，
所求反函数是，，．
26．（2019秋•徐汇区校级期中）已知函数，，如果对于定义域内的任意实数，对于给定的非零常数，总存在非零常数，恒有成立，则称函数是上的级类增周期函数，周期为．若恒有成立，则称函数是上的级类周期函数，周期为．
（1）已知函数是，上的周期为1的2级类增周期函数，求实数的取值范围；
（2）已知，是，上级类周期函数，且是，上的单调递增函数，当，时，，求实数的取值范围；
（3）是否存在实数，使函数是上的周期为的级类周期函数，若存在，求出实数和的值，若不存在，说明理由．
【解析】解：（1）由题意可知：，
即对一切，恒成立，
，
，
，
令，则，，
在，上单调递增，
（2），
．
（2），时，，
当，时，，
当，时，，
即，时，，，
在，上单调递增，
且，即．
（3）问题（Ⅰ）当，时，，，且有，
当，，时，
，
当时，，；
当时，，；
当时，，；
当时，，；
当时，，；
综上可知：或．
问题（Ⅱ）：由已知，有对一切实数恒成立，
即对一切实数恒成立，
当时，；
当时，，，，于是，，
又，，
故要使恒成立，只有，
当时， 得到，且；
当时， 得到，
即，；
综上可知：当时，，；
当时，，．
27．（2019秋•金凤区校级月考）已知函数对任意满足，，若当，时，且，且
（1）求，的值；
（2）求函数的值域．
【解析】解：（1）
，即是奇函数．
，，即函数是周期为2的周期函数，
，即．
又，
解得．
，；
（2）当，时，，，
由为奇函数，知当时，，，
当时，，．
28．（2019•武陟县校级模拟）设是上的奇函数，且，当时，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）当时，求的图象与轴围成图形的面积．
【解析】解：由，
得
，
所以是以4为周期的周期函数，
从而得
．
由是奇函数且，
得，
即，
故知函数的图象关于直线对称．
又时，，
且的图象关于原点成中心对称，
则的图象如图所示．
当时，设的图象与轴围成的图形面积为，
则．