专题03 函数的值域-2022新高考高中数学技巧之函数专题汇编

函数的值域

一．选择题（共15小题）

1．（2015•湖北）设，定义符号函数，则　　

A． B． C． D．

【解析】解：对于选项，右边，而左边，显然不正确；

对于选项，右边，而左边，显然不正确；

对于选项，右边，而左边，显然不正确；

对于选项，右边，而左边，显然正确；

故选：．

2．（2019•泉州模拟）已知函数，，若对任意，，总存在，，使得，则实数的取值范围是　　

A． B． C．， D．，

【解析】解：函数的图象是开口向上的抛物线，且关于直线对称

，时，的最小值为（1），最大值为，

可得值域为，

又，，，

为单调增函数，值域为，（2）

即，

，，，，使得，

故选：．

3．（2019•孝义市模拟）已知函数，则的值域是　　

A．， B．， C． D．，，

【解析】解：由，知

当时，；

当时，，当且仅当，即时取“”，

取并集得：的值域是，．

故选：．

4．（2020春•兴庆区校级期中）函数的值域是　　

A．， B． C．， D．

【解析】解：由，得，解得．

，

函数的值域是，．

故选：．

5．（2019•西湖区校级模拟）函数的值域是　　

A．或 B．或 C． D．

【解析】解：，

当时，有，

当且仅当，即，也就是时上式等号成立；

当时，有，

当且仅当，即，也就是时上式等号成立．

函数的值域是或．

故选：．

6．（2019春•海安县校级月考）已知函数，则函数的值域为　　

A． B．， C． D．，

【解析】解：；

；

的值域为，．

故选：．

7．（2019•乌鲁木齐二模）若集合，，则　　

A． B． C． D．

【解析】解：集合，

可得或；．

可知：．

故选：．

8．（2019秋•金水区校级月考）已知函数的值域为，，则实数的取值范围为　　

A．， B．， C．，， D．，

【解析】解：的值域为，，

△，

解可得或，

则实数的取值范围为，．

故选：．

9．（2006•陕西）函数的值域是　　

A． B．， C．， D．，

【解析】解：函数，

，

所以原函数的值域是，，

故选：．

10．（2020春•沈阳期末）函数的值域为　　

A．， B．， C．， D．，

【解析】解：函数的定义域为，

，且，

所以其值域为，．

故选：．

11．（2019春•镇海区校级期中）函数的值域为　　

A．， B．，， C．， D．

【解析】解：由，知

在上单调递增，在上单调递减，

，，

的值域为，．

故选：．

12．（2020秋•中原区校级月考）若函数，，，则的值域为　　

A．， B．， C．， D．，

【解析】解：配方可得，

二次函数所对应的抛物线开口向下，对称轴为，

函数在，单调递减，在，单调递增，

当时，函数取最小值（1），

当或时，函数取最大值（4），

函数的值域为：，

故选：．

13．（2019•上海）下列函数中，值域为，的是　　

A． B． C． D．

【解析】解：，的值域为，故错

，的定义域为，，值域也是，，故正确．

 ，的值域为，故错

 ，的值域为，，故错．

故选：．

14．（2020秋•安居区期中）函数的定义域是，，则其值域是　　

A．，， B．， 

C．， D．

【解析】解：，，

则，．

，，．故函数的值域为，，

故选：．

15．（2019•朝阳区一模）若函数，则函数的值域是　　

A． B．， C．， D．，，

【解析】解：当时，，

当时，，

综上，

即函数的值域为，

故选：．

二．多选题（共1小题）

16．（2019秋•天宁区校级期末）已知函数的值域为，，则实数与实数的取值可能为　　

A．， B．， C．， D．，

【解析】解：

①，即时，，

又的值域为，，

；

②，即时，函数在，上单调递增，

，

又的值域为，，

，

满足题意；

③，即时，函数在，上单调递减，在上单调递增，

，

，

时，，即，错误；

④时，在，上单调递增，，．

故选：．

三．填空题（共16小题）

17．（2015•山东）已知函数的定义域和值域都是，，则　　．

【解析】解：当时，函数在定义域上是增函数，

所以，

解得，不符合题意舍去；

当时，函数在定义域上是减函数，

所以，

解得，，

综上，

故答案为：

18．（2019•上海二模）函数的值域为　，　．

【解析】解：由题意，，

故；

即函数的值域为，；

故答案为：，．

19．（2019春•南通校级期末）函数的值域为　，　．

【解析】解：因为，函数是减函数，所以，．

故答案为：，．

20．（2019春•定州市校级月考）函数的值域为　，　．

【解析】解：由得，即函数的定义域为，，

设，则且，

则函数等价为，

，

当时，函数取得最小值，

即函数的值域为，，

故答案为：，．

21．（2019•厦门一模）已知函数的值域为，则实数的取值范围是　，　．

【解析】解：当时，，

当时，，

函数的值域为，

必须到，

即满足：，解得，

故答案为：，．

22．（2019春•海安县校级月考）函数的值域是　，　．

【解析】解：；

，；

时，；

时，，，；

时，；

的值域为，．

故答案为：，．

23．（2019秋•葫芦岛期末）已知函数，，对于任意的，，总存在，，使得成立，则实数的取值范围是　　．

【解析】解：（1）函数，

当，时，，

的值域是，；

（2）又当，时，

①若，则在，上是增函数，最小值，最大值（2）；

的值域是，，

，，，

即，解得，此时无解；

②若，则在，上是减函数，最小值（2），最大值；

的值域是，，

，，，

即，解得，此时无解；

③若，则在，上是先减后增的函数，

最小值是，最大值是，（2），；

当时，的值域是，，

，，，

即，

解得，或（不符合条件，舍去）；

则取；

当时，的值域是，，

，，，

即；

解得，或，不符合条件，舍去；

综上知，实数的取值范围是：，．

故答案为：，．

24．（2019秋•宁城县期末）函数，其中，，则该函数的值域为　，　．

【解析】解：二次函数的对称轴是，且开口向上，在，上，有：

当时，是减函数，当时，是增函数；

时，函数取最小值（2）；时，函数取最大值．

故答案为：，

25．（2019秋•浦东新区校级期末）函数的值域为　　．

【解析】解：，

由双勾函数性质可知，．

故答案为：．

26．（2019•闵行区校级三模）函数的值域是，，则函数的值域为　，　

【解析】解：由函数的值域是，，

得，

则，

函数的值域为，．

故答案为：，．

27．（2020春•洮北区校级期末）函数的值域为　，　．

【解析】解：；

，；

；

；

的值域为，．

故答案为：，．

28．（2019秋•沙市区校级期末）已知函数的值域为，则的取值范围是　　

【解析】解：依题意得，解得，

故答案为：．

29．（2020•江西模拟）若函数的值域为，则的取值范围是　　．

【解析】解：当时，，

若，时，，的值域不是；

若，时，，的值域不是，

若，时，，

所以当时，的值域为，

所以的取值范围是．

故答案为：，．

30．（2019•濮阳模拟）对于函数，若存在区间，，当，时，的值域为，，则称为倍值函数．若是倍值函数，则实数的取值范围是　　．

【解析】解：，定义域为，在定义域为单调增函数，

因此有：（a），（b），即：，，即，为方程的两个不同根．

，令，令，可得极大值点，故的极大值为：（e），

当趋于0时，趋于，当趋于时，趋于1，

因此当时，直线与曲线的图象有两个交点，方程 有两个解．

故所求的的取值范围为，

故答案为．

31．（2019秋•徐汇区校级期末）函数的值域为　，　．

【解析】解：当时，，

当且仅当，即时，取等号，

即，

即函数的值域为，，

故答案为：，，

32．（2019•全国二模）函数的值域为　　．

【解析】解：；

；

；

的值域为．

故答案为：．

四．解答题（共8小题）

33．（2019春•禅城区期中）设，，且（1）．

（1）求的值及的定义域；

（2）求在区间，上的值域．

【解析】解：（1），

（1），；

又，，

的定义域为．

（2），

当，时，是增函数；

当时，是减函数，

在，上的最大值是（1）；

又，，

；

在，上的最小值是；

在区间，上的值域是，．

34．（2019•海淀区校级模拟）已知函数

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求的值；

（Ⅲ）当时，求函数的值域．

【解析】解：（Ⅰ）由题意可得，（5）．（5分）

（Ⅱ）．（10分）

（Ⅲ）①当 时，，．（11分）

②当 时，．（12分）

③当 时，，．（14分）

故当 时，函数 的值域是，．（15分）

35．（2019秋•海州区校级期中）记函数的定义域为集合，函数值域为集合，求：

（1），

（2）求，．

【解析】解：（1）函数的定义域为集合，则有，故，集合，，

函数值域为集，则，集合，，

所以，，，，

（2），，，，

，，，．

36．（2019秋•泉州期末）定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的上界．已知函数．

（1）当时，求函数在上的值域，并判断函数在上是否为有界函数，请说明理由；

（2）若函数在，上是以4为上界的有界函数，求实数的取值范围．

【解析】解：（1）当时，，令，

，，；

在上单调递增，

，即在的值域为，

故不存在常数，使成立，

函数在上不是有界函数；

（2）由题意知，对，恒成立．

即：，令，

，，

对，恒成立，

，

设，，由，，

由于在，上递增，在，上递减，

在，上的最大值为（1），

在，上的最小值为（1）

实数的取值范围为，．

37．（2019秋•上高县校级月考）求下列函数的值域：

（1）；

（2）

（3）；

【解析】解：（1），则，

即函数的值域为；

（2）令，，则；

；

，时有最小值2，即，

故函数的值域为：，．

（3）设，则，，

则，

，，即函数的值域为，．

38．（2019•浙江模拟）如果一个函数的值域与其定义域相同，则称该函数为“同域函数”．已知函数的定义域为，且．

（Ⅰ）若，，求的定义域；

（Ⅱ）当时，若为“同域函数”，求实数的值；

（Ⅲ）若存在实数且，使得为“同域函数”，求实数的取值范围．

【解析】解：（Ⅰ）当，时，

由题意知，解得，

所以的定义域为，．

（Ⅱ）当时，，

当，即时，

定义域为，，值域为，，

所以时，不是“同域函数”；

当时，即，

当且仅当△时，为“同域函数”，

所以，

综上可知，的值为．

（Ⅲ）设定义域为，值域为；

当时，，

此时，，从而，

所以不是“同域函数”；

当时，，

设，则定义域为，，

①当时，即时，值域为，，

若为“同域函数”，则，从而，

又因为，所以的取值范围为．

当时，即，值域为．

若为“同域函数”，则，

从而，．

此时，由可知式不能成立；

综上可知，的取值范围为．

39．（2019秋•宁波期末）设，其中．

（Ⅰ）当时，分别求及的值域；

（Ⅱ）记，，，，，，若，求实数的值．

【解析】解：（Ⅰ）当时，由，

当且仅当时，取等号，即的值域为，．

设，则，

则，

当且仅当，即时，取等号，

故的值域为，．

（Ⅱ），，，，即此时函数的值域为，，

，

，得或，

①当时，即或，

，即，

即，则，得或成立．

②当时，即时，

，

即，即，

即或或，

或满足条件．，

综上或或或成立．

40．（2019秋•海曙区校级期中）求下列两个函数的值域．

（Ⅰ）；

（Ⅱ）．

【解析】解：（Ⅰ）由，得；

即；

当时，△；

即，且．

当时，此时，．

函数值域为，．

（Ⅱ）由得，，可解得；

而，即，；

；解得，或．

函数的值域为：，，．

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