专题12 抽象函数及其应用-2022新高考高中数学技巧之函数专题汇编

抽象函数及其应用

一．选择题（共3小题）

1．（2017•新课标Ⅰ）函数在单调递减，且为奇函数．若（1），则满足的的取值范围是　　

A．， B．， C．， D．，

【解析】解：函数为奇函数．

若（1），则，

又函数在单调递减，，

（1），

，

解得：，，

故选：．

2．（2016•新课标Ⅱ）已知函数满足，若函数与图象的交点为，，，，，，，则　　

A．0 B． C． D．

【解析】解：函数满足，

即为，

可得关于点对称，

函数，即的图象关于点对称，

即有，为交点，即有，也为交点，

，为交点，即有，也为交点，

则有

．

故选：．

3．（2019•金牛区校级模拟）已知是定义域为的奇函数，满足．若（1），则（1）（2）（3）　　

A．50 B．2 C．0 D．

【解析】解：是定义域为的奇函数，

可得，

即有，

即，

进而得到，

为周期为4的函数，

若（1），可得（3）（1），

（2），（4），

则（1）（2）（3）（4），

可得（1）（2）（3）

．

故选：．

二．填空题（共13小题）

4．（2015•福建）若函数满足，且在，上单调递增，则实数的最小值等于　1　．

【解析】解：因为，

所以，的图象关于直线轴对称，

而，所以的图象关于直线轴对称，

因此，，，

且该函数在，上单调递减，在，上单调递增，

又因为函数在，上单调递增，

所以，，即实数的最小值为1．

故答案为：1．

5．（2019•南充模拟）定义域为的偶函数满足对，有（1），且当，时，，若函数在上至少有三个零点，则的取值范围是　　．

【解析】解：（1），

且是定义域为的偶函数，

令可得（1），

又（1），

（1） 则有，

是最小正周期为2的偶函数．

当，时，，

函数的图象为开口向下、顶点为的抛物线．

函数在上至少有三个零点，

令，则的图象和的图象至少有3个交点．

，，可得，

要使函数在上至少有三个零点，

则有（2）（2），可得（2），

即，，解得，又，，

故答案为：．

6．（2020•南通模拟）已知函数是定义在上的偶函数，且对于任意的都有（2），（1），则（3）的值为　4　．

【解析】解：由（2），

令，得（2）；

又为偶函数，（2），

（2）；

，

的周期为4；

又（1），

（3）（2）（1）（2）．

故答案为：4．

7．（2019•全国三模）已知定义在上的函数满足：①，②在，上为增函数；若时，成立，则实数的取值范围为　　．

【解析】解：，的函数图象关于直线对称，

在，上为增函数，

在上为减函数，

当时，成立，

在，上恒成立，

即在，上恒成立，

在，上恒成立．

设，，，，

的最大值为（1），的最小值为（1）．

．

故答案为：．

8．（2019秋•龙凤区校级期末）已知定义在上的函数，满足不等式，则的取值范围是　，　

【解析】解：根据题意，函数，

设，

则有，

且，

则为奇函数，且在上为增函数，

，即，

则有，

则有，

解可得，

即不等式的解集为，；

故答案为：，．

9．（2020•河南模拟）已知函数是定义域为的偶函数，且为奇函数，当，时，，则　　

【解析】解：根据题意，为奇函数，则函数关于点对称，则有，

又由函数为偶函数，则，

则有，变形可得，则函数是周期为4的周期函数，

；

故答案为：

10．（2019春•南岗区校级月考）已知奇函数定义域为，且，则（1）（2）（3）　0　．

【解析】解：根据题意，是定义域为的奇函数，则，

又由满足，变形可得：，即函数为周期为4的周期函数；

又由是定义域为的奇函数，则，

则（2），（3）（1），（4），

则（1）（2）（3）（4），

则有（1）（2）（3）（1）（2）（3）（4）（1）（2）（3）；

故答案为：0．

11．（2019秋•西湖区校级期中）定义在上的函数满足，，，且当时，，则　　．

【解析】解：令得（1），得（1），

令，得，得，

则，

，

，

，①

同时，令，得（1），

令，得，

，

，

，②

由①②得，

时，，

当时，，

，

，

故答案为：

12．（2019•河北区一模）已知定义在上的函数满足条件，且函数为奇函数，给出以下四个命题：

①函数是周期函数；

②函数的图象关于点，对称；

③函数为上的偶函数；

④函数为上的单调函数；

其中真命题的序号为　①②③　（写出所有真命题的序号）

【解析】解：对于①，，，

，

是周期为3的函数，故①正确；

对于②，函数为奇函数，的图象关于点对称，

的函数图象是由的图象向右平移个单位得到的，

的函数图象关于点，对称，故②正确；

对于③，，，即，

又的周期为3，，

，

又是奇函数，，

，令，则，

是偶函数，即是偶函数，故③正确；

对于④，由③知是偶函数，

在和上的单调性相反，

在上不单调，故④错误；

故答案为①②③．

13．（2019春•滁州期末）若函数是偶函数，且在，上是增函数，若（2），则满足的实数的取值范围是　　．

【解析】解：根据题意，满足（2），则（2），

又由函数是偶函数，且在，上是增函数，则有，

变形可得：，

解可得：或，

即的取值范围为；

故答案为：．

14．（2020•东城区校级模拟）设函数的定义域为，满足，且当，时，．若对任意，，都有，则的取值范围是　，　．

【解析】解：因为，，

，时，，，

，时，，，，；

当，时，由解得或，

若对任意，，都有，则．

故答案为：，．

15．（2019•北京模拟）已知函数对任意的，有．设函数，且在区间，上单调递增．若（a），则实数的取值范围为　，　．

【解析】解：由得：，

，

在上是奇函数，又在区间，上单调递增，

在上单调递增，

（a），（a），

，即．

故答案为：，．

16．（2019秋•琼山区校级期中）已知为定义在上的偶函数，，且当，时，单调递增，则不等式的解集为　，　．

【解析】解：根据题意，为定义在上的偶函数，则，

则，即为偶函数，

又由当，时，单调递增，则在区间，上递减，

，

解可得：，即不等式的解集为，；

故答案为：，．

三．解答题（共7小题）

17．（2019秋•洛南县期末）若是定义在上的增函数，且对一切，，满足．

（1）求（1）的值；

（2）若（6），解不等式．

【解析】解：（1）在中，定义在，

令，

则有（1）（1）（1），

（1）．

（2）（6），

（6）（6），

（6）（6），

即（6）．

是上的增函数，

解得．

即不等式的解集为

18．（2019秋•凯里市校级期末）已知：函数对一切实数，都有成立，且（1）．

（1）求的值．

（2）求的解析式．

（3）已知，设：当时，不等式恒成立；：当，时，是单调函数．如果满足成立的的集合记为，满足成立的的集合记为，求为全集）．

【解析】解：（1）令，，则由已知（1）

（2）令，则

又

（3）不等式即

也就是．由于当时，，又恒成立，

故， 对称轴，

又在，上是单调函数，故有，

，或，

．

19．（2019春•抚顺期末）函数对任意的、，都有，并且时，恒有．

（1）求证：在上是增函数；

（2）若（3），解不等式．

【解析】（1）证明：函数对任意的、，都有，

设，，

当时，，．

，

在上为增函数．

（2）解：，，不妨设，（1）（1）（2）（1），

（3）（2）（1）（1），

（1），（2），

（1），

在上为增函数，即．

20．（2019春•未央区校级期末）已知是定义在上的增函数，且满足，（2）．

（1）求（8）的值；

（2）求不等式的解集．

【解析】解：（1）由题意得

（8）（4）（2）

（2）

（2）（2）（2）

（2）

又（2），

（8）；

（2）不等式化为

（8），（8）

是上的增函数，

，

解得．

不等式的解集为：．

21．（2019秋•黑龙江期末）设函数是增函数，对于任意，都有．

（1）求；

（2）证明奇函数；

（3）解不等式．

【解析】解：（1）由题设，令，

恒等式可变为，解得，

（2）令，则由得

，即得，

故是奇函数

（3）由，

，

即，

又由已知．

得：

，

由函数是增函数，不等式转化为．即，

不等式的解集或．

22．（2019春•秦州区校级期末）设函数是定义在上的函数，并且满足下面三个条件：①对任意正数，，都有；②当时，；③（3）．

（1）求的值；

（2）证明在上是减函数；

（3）如果不等式成立，求的取值范围．

【解析】（1）解：令，易得（1），

而（9）（3）（3），

且，得；

（2）证明：，

，

在上为减函数．

（3）解：由条件（1）及（1）的结果得：，其中，

由（2）得：，解得的范围是．

23．（2019春•德州校级期中）已知函数的定义域是，当时，，且．

（1）求（1）；

（2）证明：在定义域上是增函数；

（3）如果，求满足不等式的的取值范围．

【解析】（1）解：，

（1）（1）（1）（1），

（1）．

（2）证明：设，且，则，

，

，

在上是增函数．

（3）解：令，得，（1），（1）．

令，得，（1）（3），

，（3）．

令得，（9）（3）（3），

（9），

，

解得．

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日期：2020/12/14 17:10:36；用户：陈宏天；邮箱：hngsgz053@xyh.com；学号：25355901