考点50 抛物线的概念、标准方程、几何性质（考点专练）-备战2022年新高考数学一轮复习考点微专题

考点50 抛物线的概念、标准方程、几何性质

抛物线的定义及应用 

1.若抛物线y2＝4x上一点P到其焦点F的距离为2，O为坐标原点，则△OFP的面积为(　　)

A.  B．1  C.  D．2

2.(2020·山西大学附中模拟)已知点Q(2，0)及抛物线y＝上一动点P(x，y)，则y＋|PQ|的最小值是________.

抛物线的标准方程和几何性质

3.已知A是抛物线y2＝2px(p>0)上一点，F是抛物线的焦点，O为坐标原点，当|AF|＝4时，∠OFA＝120°，则抛物线的准线方程是(　　)

A.x＝－1  B．y＝－1    C.x＝－2  D．y＝－2

4.抛物线C：y2＝2px(p>0)焦点F，过C上一点D作直线DE垂直准线于点E，△DEF恰好为等腰直角三角形，其面积为4，则抛物线方程为(　　)

A.y2＝2x  B．y2＝2x    C.y2＝4x  D．y2＝4x

5.抛物线有如下光学性质：由焦点射出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必经过抛物线的焦点．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，一平行于x轴的光线从点M(3,1)射出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则直线AB的斜率为(　　)

A.          B．－     C.±      D．－

1．在平面直角坐标系内，到点(1,1)和直线x＋2y＝3的距离相等的点的轨迹是(　)

A．直线　　 B．抛物线

C．圆　　 D．双曲线

2．抛物线y2＝4x的焦点到其准线的距离是(　　)

A．4　　 B．3　　

C．2　　 D．1

3．抛物线x2＝4y关于直线x＋y＝0的对称曲线的焦点坐标为(　　)

A．(1,0)　　 B．(－1,0)

C．　　 D．

4．过点A(3,0)且与y轴相切的圆的圆心的轨迹为(　　)

A．圆　　 B．椭圆

C．直线　　 D．抛物线

5．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是6，则点P到该抛物线焦点的距离为(　　)

A．12　　 B．8　　

C．6　　 D．4

6．O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝4，则△POF的面积为(　　)

A．2　　 B．2　　

C．2　　 D．4

7．抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则a的值为___.

8．沿直线y＝－2发出的光线经抛物线y2＝ax反射后，与x轴相交于点A(2,0)，则抛物线的准线方程为__ _(提示：抛物线的光学性质：从焦点发出的光线经抛物线反射后与轴平行)．

9．若抛物线y2＝2px(p>0)上一点M到准线及对称轴的距离分别为10和6，求M点的横坐标及抛物线方程．

10．求顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，过点(－2,3)的抛物线的标准方程．

1．抛物线y2＝x的焦点坐标是(　　)

A． 　　 B． 　　

C． 　　 D．

2．抛物线x2＝4y上一点A的纵坐标为4，则点A与抛物线焦点的距离为(　　)

A．2　　　　　　 B．3　　　　　　

C．4　　　　　　 D．5

3．(多选题)已知抛物线y2＝4x上一点P到准线的距离为d1，到直线l：4x－3y＋11＝0的距离为d2，则d1＋d2的取值可以为(　　)

A．3 B．4 　　

C．　　 D．

4．(多选题)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，斜率为的直线l经过点F，与抛物线C交于A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线的准线交于点D，若|AF|＝8，则以下结论正确的是(　　)

A．p＝4　　 B．＝

C．|BD|＝2|BF|　　 D．|BF|＝4

5．已知点A(0,2)，抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，线段FA交抛物于点B，过B点作l的垂线，垂足为M，若AM⊥MF，则p＝____.

6．已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线与该抛物线相交于A，B两点，且|AF|＝2，则A点的横坐标为__ __；|BF|＝__ _.

7．求适合下列条件的抛物线的标准方程：

(1)过抛物线y2＝2mx的焦点F作x轴的垂线交抛物线于A、B两点，且|AB|＝6；

(2)抛物线顶点在原点，对称轴是x轴，点P到焦点的距离是6.

8．一辆卡车高3 m，宽1.6 m，欲通过断面为抛物线型的隧道，已知拱口宽恰好是拱高的4倍，若拱口宽为a m，求使卡车通过的a的最小整数值．

考点练

1.答案　B

解析　设P(xP，yP)，由题意，得抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1，又点P到焦点F的距离为2，∴由抛物线的定义知点P到准线的距离为2，∴xP＋1＝2，得xP＝1，代入抛物线方程得|yP|＝2，∴△OFP的面积为S＝·|OF|·|yP|＝×1×2＝1.

2.答案　2

解析　抛物线y＝即x2＝4y，其焦点坐标为F(0，1)，准线方程为y＝－1.因为点Q的坐标为(2，0)，所以|FQ|＝＝3.过点P作准线的垂线PH，交x轴于点D，如图所示．

结合抛物线的定义，有y＋|PQ|＝|PD|＋|PQ|＝|PH|＋|PQ|－1＝|PF|＋|PQ|－1≥|FQ|－1＝3－1＝2，即y＋|PQ|的最小值是2.

3.答案　A

解析　过A向准线作垂线，设垂足为B，准线与x轴的交点为D(图略)．因为∠OFA＝120°，所以△ABF为等边三角形，∠DBF＝30°，从而p＝|DF|＝2，因此抛物线的准线方程为x＝－1.

4.答案　D

解析　根据抛物线的定义，得|DF|＝|DE|，又△DEF恰好为等腰直角三角形，所以∠EDF＝90°，∴|DE|·|DF|＝4，∴|DE|＝|DF|＝2，

∴D，将其代入y2＝2px，得8＝2p·，解得p＝2.∴抛物线方程为y2＝4x.

5.答案　B

解析　令y＝1，代入y2＝4x可得x＝，即A.由抛物线的光学性质可知，直线AB经过焦点F(1,0)，所以k＝＝－.故选B.

拓展练

1 【答案】A　

[解析]　∵点(1,1)在直线x＋2y＝3上，故所求点的轨迹是过点(1,1)且与直线x＋2y＝3垂直的直线．

2.【答案】C

[解析]　∵抛物线的方程为y2＝4x，

∴2p＝4，p＝2.由p的几何意义可知，焦点到其准线的距离是p＝2.故选C．

3.【答案】B

[解析]　由题意可得：抛物线x2＝4y关于直线x＋y＝0对称的抛物线方程为：(－y)2＝4(－x)，即y2＝－4x，其中p＝2，所以抛物线的焦点坐标为(－1,0)．

故选B．

4.【答案】D

[解析]　如图，设点P为满足条件的一点，不难得出结论：点P到点A的距离等于点P到y轴的距离，故点P在以点A为焦点，y轴为准线的抛物线上，故点P的轨迹为抛物线，因此选D．

5.【答案】B

[解析]　∵点P到y轴的距离为6，

∴点P到抛物线y2＝8x的准线x＝－2的距离d＝6＋2＝8，

根据抛物线的定义知点P到抛物线焦点的距离为8.

6.【答案】C

[解析]　抛物线C的准线方程为x＝－，焦点F(，0)，由|PF|＝4及抛物线的定义知，P点的横坐标xP＝3，从而yP＝±2，

∴S△POF＝|OF|·|yP|＝××2＝2.

7.【答案】－_

[解析]　抛物线方程化为标准形式为x2＝y，由题意得a<0，∴2p＝－，∴p＝－，

∴准线方程为y＝＝－＝2，∴a＝－.

8.【答案】x＝－2_

[解析]　由直线y＝－2平行于抛物线的轴知A(2,0)为焦点，故准线方程为x＝－2.

9.[解析]　∵点M到对称轴的距离为6，

∴设点M的坐标为(x,6)．

又∵点M到准线的距离为10，

∴解得或

故当点M的横坐标为9时，抛物线方程为y2＝4x.

当点M的横坐标为1时，抛物线方程为y2＝36x.

10.[解析]　∵点(－2,3)在第二象限，

∴设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)或x2＝2p′y(p′>0)，

又点(－2,3)在抛物线上，

∴p＝，p′＝，

∴抛物线方程为y2＝－x或x2＝y.

模拟练

1.【答案】B

[解析]　由y2＝x知p＝，∴焦点坐标为(，0)，故选B．

2.【答案】D

[解析]　解法一：∵y＝4，∴x2＝4·y＝16，∴x＝±4，

∴A(±4,4)，焦点坐标为(0,1)，

∴所求距离为＝＝5.

解法二：抛物线的准线为y＝－1，∴A到准线的距离为5，又∵A到准线的距离与A到焦点的距离相等．

∴距离为5.

3.【答案】ABD

[解析]　抛物线上的点P到准线的距离等于到焦点F的距离，所以过焦点F(1,0)作直线4x－3y＋11＝0的垂线，则F到直线的距离为d1＋d2的最小值，

如图所示：

所以(d1＋d2)min＝＝3，选项A，B，D均大于或等于3.

4.【答案】ABC

[解析]　如下图所示：

分别过点A，B作抛物线C的准线m的垂线，垂足分别为点E，M.抛物线C的准线m交x轴于点P，则|PF|＝p，由于直线l的斜率为，其倾斜角为60°，

∵AE∥x轴，∴∠EAF＝60°，由抛物线的定义可知，|AE|＝|AF|，则△AEF为等边三角形，

∴∠EFP＝∠AEF＝60°，则∠PEF＝30°，∴|AF|＝|EF|＝2|PF|＝2p＝8，得p＝4，A选项正确；

∵|AE|＝|EF|＝2|PF|，又PF∥AE，∴F为AD的中点，则＝，B选项正确；

∴∠DAE＝60°，∴∠ADE＝30°，∴|BD|＝2|BM|＝2|BF|(抛物线定义)，C选项正确；

∵|BD|＝2|BF|，∴|BF|＝|DF|＝|AF|＝，D选项错误．故选ABC．

5.【答案】

[解析]　由抛物线的定义可得BM＝BF，F(，0)，又AM⊥MF，故点B为线段FA中点，即B(，1)，所以1＝2p×⇒p＝.

6.【答案】1  2

[解析]　由抛物线的定义．抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的．

已知|AF|＝2，则A点到准线的距离也为2.可知|AF|＝|AA1|＝|KF|＝2，且A1K⊥AA1，A1K⊥FK，所以四边形AFKA1是正方形．∴AB⊥x轴，故|AF|＝|BF|＝2，A点的横坐标为1.

7.[解析]　(1)设抛物线的准线为l，交x轴于K点，l的方程为x＝－，如图，作AA′⊥l于A′，BB′⊥l于B′，则|AF|

＝|AA′|＝|FK|＝|m|，同理|BF|＝|m|.又|AB|＝6，则2|m|＝6.

∴m＝±3，故所求抛物线方程为y2＝±6x.

(2)设焦点F(a,0)，|PF|＝＝6，即a2＋10a＋9＝0，解得a＝－1或a＝－9.当焦点为F(－1，0)时，p＝2，抛物线开口方向向左，其方程为y2＝－4x；当焦点为F(－9,0)时，p＝18，抛物线开口方向向左，其方程为y2＝－36x.故所求抛物线方程为y2＝－4x或y2＝－36x.

8. [解析]　以隧道顶点为原点，拱高所在直线为y轴建立直角坐标系，则B点的坐标为，如图所示，设隧道所在抛物线方程为x2＝my，则

2＝m·，

∴m＝－a，即抛物线方程为x2＝－ay.

将(0.8，y)代入抛物线方程，得

0.82＝－ay，

即y＝－.

欲使卡车通过隧道，应有y－>3，即－>3，

由于a>0，得上述不等式的解为a>12.21，∴a应取13.