考点48 双曲线的概念、标准方程、几何性质（考点专练）-备战2022年新高考数学一轮复习考点微专题

这是一份考点48 双曲线的概念、标准方程、几何性质（考点专练）-备战2022年新高考数学一轮复习考点微专题，共10页。试卷主要包含了已知椭圆C1，当双曲线M，【答案】D，【答案】B，【答案】ACD，故选A．等内容，欢迎下载使用。

考点48 双曲线的概念、标准方程、几何性质

双曲线的定义及应用
1.【2020年高考全国Ⅲ卷理数】11.设双曲线C：（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a=
A． 1 B． 2
C． 4 D． 8
2．已知双曲线C：－＝1(a>0)的左、右焦点分别为F1、F2，一条渐近线与直线4x＋3y＝0垂直，点M在C上，且|MF2|＝6，则|MF1|＝(　　)
A．2或14 B．2
C．14 D．2或10
3．(2020·广东肇庆三模)已知定点F1(－2，0)，F2(2，0)，N是圆O：x2＋y2＝1上任意一点，点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，则点P的轨迹是(　　)
A．椭圆 B．双曲线
C．抛物线 D．圆

双曲线的标准方程
4．【2020年高考浙江】已知点O（0，0），A（–2，0），B（2，0）．设点P满足|PA|–|PB|=2，且P为函数图象上的点，则|OP|=
A． B．
C． D．
5.设双曲线C的两个焦点分别为(－2,0)，(2,0)，一个顶点是(，0)，则C的方程为________．
双曲线的性质
6．【2020年高考全国Ⅱ卷理数】设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为
A．4 B．8
C．16 D．32
7．【2020年新高考全国Ⅰ卷】已知曲线.
A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若m=n>0，则C是圆，其半径为
C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为
D．若m=0，n>0，则C是两条直线
8.设P是双曲线－＝1上一点，F1，F2分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|＝________.
9．已知F为双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点，直线l经过点F，若点A(a，0)，B(0，b)关于直线l对称，则双曲线C的离心率为(　　)
A．　　 B．　　
C．＋1　　 D．＋1
10.已知椭圆C1：＋＝1(其中m＞2b＞0)与双曲线C2：－＝1(其中n＞0，b＞0)的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则(　　)
A．m＞n且e1e2≥　　　 B．m＞n且e1e2≤
C．m＜n且e1e2≥ D．m＜n且e1e2≤
11.已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为(　　)
A． B．
C．3 D．2

1．双曲线－＝1的渐近线方程是(　　)
A．y＝±x　　　　　　　　 B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
2若双曲线M：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，P为双曲线M上一点，且|PF1|＝15，|PF2|＝7，|F1F2|＝10，则双曲线M的离心率为(　　)
A．3　　 　 　 B．2　　 　 　
C．　　　 D．
3．已知F为双曲线C：x2－my2＝3m(m>0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为(　　)
A． B．3
C．m D．3m
4．(2020·石家庄模拟)已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4，0)，(4，0)，则双曲线的方程为(　　)
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
5．若双曲线经过点(3，)，且渐近线方程是y＝±x，则双曲线的方程是________．
6．(2020·四川绵阳模拟)设F1，F2分别为双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，M，N是双曲线C的一条渐近线上的两点，四边形MF1NF2为矩形，A为双曲线的一个顶点，若△AMN的面积为c2，则该双曲线的离心率为________．

1．已知双曲线x2－＝1的两个焦点为F1，F2，P为双曲线右支上一点．若|PF1|＝|PF2|，则△F1PF2的面积为(　　)
A．23 B．24
C．25 D．26
2.已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线平行于直线l：y＝2x＋10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为(　　)
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
3.当双曲线M：－＝1(－2≤m＜0)的焦距取得最小值时，双曲线M的渐近线方程为(　　)
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±2x D．y＝±x
4．已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1，3)，则△APF的面积为(　　)
A． B．
C． D．
5.已知双曲线C过点(3，)且渐近线为y＝±x，则下列结论正确的是(　　)
A．C的方程为－y2＝1
B．C的离心率为
C．曲线y＝ex－2－1经过C的一个焦点
D．直线x－y－1＝0与C有两个公共点
6．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为(　　)
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
7．已知F1，F2是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且|PF1|＞|PF2|，线段PF1的垂直平分线过F2，若椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率为e2，则＋的最小值为(　　)
A．6 B．3
C． D．
8．已知双曲线－＝1的一个焦点是(0，2)，椭圆－＝1的焦距等于4，则n＝________．
9.已知F为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，过原点的直线l与双曲线交于M，N两点，且·＝0，△MNF的面积为ab，则该双曲线的离心率为________．
10.已知抛物线C1：y2＝8ax(a＞0)，直线l的倾斜角是45°且过抛物线C1的焦点，直线l被抛物线C1截得的线段长是16，双曲线C2：－＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点在抛物线C1的准线上，则直线l与y轴的交点P到双曲线C2的一条渐近线的距离是________，抛物线C1的方程为________．

考点练
1.【答案】A
【解析】，，根据双曲线的定义可得，
，即，
，，
，即，解得，故选：A．
2.解析：选C．由题意知＝，故a＝4，则c＝5.由|MF2|＝6 3.解析：选B．连接ON，F1P(图略)．
由题意可得|ON|＝1，且N为线段MF1的中点，∴|MF2|＝2，
∵点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，
∴由垂直平分线的性质可得|PM|＝|PF1|，
∴||PF2|－|PF1||＝||PF2|－|PM||＝|MF2|＝2<|F1F2|，
∴由双曲线的定义可得点P的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线，故选B．
4.【答案】D
【解析】因为，所以点在以为焦点，实轴长为，焦距为的双曲线的右支上，由可得，，即双曲线的右支方程为，而点还在函数的图象上，所以，
由，解得，即．故选：D．
5.答案　－＝1
解析　由题意，得双曲线C的焦点在x轴上，设其方程为－＝1(a>0，b>0)，由已知得a＝，c＝2，所以b2＝c2－a2＝2，b＝，所以C的方程为－＝1.
6.【答案】B
【解析】，
双曲线的渐近线方程是，
直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点
不妨设为在第一象限，在第四象限，
联立，解得，故，
联立，解得，故，，面积为：，
双曲线，
其焦距为，
当且仅当取等号，
的焦距的最小值：.故选：B．
7.【答案】ACD
【解析】对于A，若，则可化为，因为，所以，
即曲线表示焦点在轴上的椭圆，故A正确；
对于B，若，则可化为，
此时曲线表示圆心在原点，半径为的圆，故B不正确；
对于C，若，则可化为，
此时曲线表示双曲线，
由可得，故C正确；
对于D，若，则可化为，
，此时曲线表示平行于轴的两条直线，故D正确；故选：ACD．
8.答案　17
解析　由题意知|PF1|＝9 9.解析：选C．由点A(a，0)，B(0，b)关于直线l对称，可得直线l为线段AB的垂直平分线，
线段AB的中点的坐标为，直线AB的斜率为－，可得直线l的方程为y－＝，
令y＝0，可得x＝a－，由题意可得－c＝a－，
即有a(a＋2c)＝b2＝c2－a2，即c2－2ac－2a2＝0，
由e＝，可得e2－2e－2＝0，
解得e＝1＋(e＝1－舍去)，故选C．
10.解析：选A．解法一：设P为C1与C2在第一象限内的交点，F1，F2为左右焦点．
∴|PF1|＋|PF2|＝2m，|PF1|－|PF2|＝2n，∴m＞n，
由题意得＋＝b2＋4b2，即＋＝5.
∴又＋≥2 ，∴5≥，∴e1e2≥.故选A．
解法二：由题意得：m2－4b2＝n2＋b2，
即b2＝(m2－n2)，故m＞n，
e1＝＝e2＝＝
e1·e2＝＝≥×2 ＝，
当且仅当m＝2n时等号成立，故选A．
11.解析：选A．设椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率为e2，由焦点三角形面积公式得b＝3b，即a＋3a＝4c2，
即＋＝4.
由＋＝4，可利用三角换元＝2cos θ，
＝2sin θ，则＋＝sin(θ＋φ)≤.


拓展练
1.解析：选C．双曲线－＝1中a＝3，b＝2，双曲线的渐近线方程为y＝±x.
2.解析：选D．P为双曲线M上一点，且|PF1|＝15，|PF2|＝7，|F1F2|＝10，由双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝2a＝8，|F1F2|＝2c＝10，则双曲线的离心率为：e＝＝.
3.解析：选A．双曲线方程为－＝1，则b2＝3，焦点F到一条渐近线的距离为b＝.故选A．
4.解析：选A．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4，0)，(4，0)，则c＝4，又＝2，所以a＝2，b2＝c2－a2＝12，即双曲线方程为－＝1，故选A．
5.解析：设双曲线的方程是y2－＝λ.因为双曲线过点(3，)，所以λ＝2－＝1.所以双曲线的方程为y2－＝1.
答案：y2－＝1
6.解析：设M，根据矩形的性质，得|MO|＝|OF1|＝|OF2|＝c，
即x2＋＝c2，则x＝a，所以M(a，b)．
因为△AMN的面积为c2，所以2×·a·b＝c2，所以4a2(c2－a2)＝c4，
所以e4－4e2＋4＝0，所以e＝.
答案：

模拟练
1.解析：选B．由双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a＝2，解得|PF2|＝6，故|PF1|＝8，又|F1F2|＝10，故△PF1F2为直角三角形，因此S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|＝24.
2.解析：选A．由题意知，双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线为y＝2x，所以＝2，即b2＝4a2.又双曲线的一个焦点是直线l与x轴的交点，所以该焦点的坐标为(－5，0)，所以c＝5，即a2＋b2＝25，联立得解得a2＝5，b2＝20，故双曲线的方程为－＝1.
3.解析：选C．由题意可得c2＝m2＋2m＋6＝(m＋1)2＋5，当m＝－1时，c2取得最小值，即焦距2c取得最小值，此时双曲线M的方程为x2－＝1，所以渐近线方程为y＝±2x.故选C．
4.解析：选D．由题可知，双曲线的右焦点为F(2，0)，当x＝2时，代入双曲线C的方程，得4－＝1，解得y＝±3，不妨取点P(2，3)，因为点A(1，3)，所以AP∥x轴，又PF⊥x轴，所以AP⊥PF，所以S△APF＝|PF|·|AP|＝×3×1＝.故选D．
5.解析：选AC．因为渐近线方程为y＝±x，所以可设双曲线方程为－＝λ，代入点(3，)，得λ＝，所以双曲线方程为－y2＝1，选项A正确；该双曲线的离心率为≠，选项B不正确；双曲线的焦点为(±2，0)，曲线y＝ex－2－1经过双曲线的焦点(2，0)，选项C正确；把x＝y＋1代入双曲线方程，得y2－2y＋2＝0，解得y＝，故直线x－y－1＝0与曲线C只有一个公共点，选项D不正确．
6.解析：选C．如图所示，不妨设A在B的上方，则A，B.其中的一条渐近线为bx－ay＝0，则d1＋d2＝＝＝2b＝6，∴b＝3.又由e＝＝2，知a2＋b2＝4a2，∴a＝.
∴双曲线的方程为－＝1.故选C．

7.解析：选A．设椭圆的长半轴长为a，双曲线的半实轴长为a′，半焦距为c，线段PF1的垂直平分线经过F2点，则PF2＝F1F2＝2c.依题意知，则2a＝2a′＋4c，所以＋＝＋＝＋＝＋＋4≥2＋4＝6，当且仅当c＝2a′时取“＝”，故选A．
8.解析：因为双曲线的焦点是(0，2)，所以焦点在y轴上，所以双曲线的方程为－＝1，即a2＝－3m，b2＝－m，所以c2＝－3m－m＝－4m＝4，解得m＝－1.所以椭圆方程为＋x2＝1，且n＞0，椭圆的焦距为4，所以c2＝n－1＝4或1－n＝4，解得n＝5或－3(舍去)．
答案：5
9.解析：因为·＝0，所以⊥.设双曲线的左焦点为F′，则由双曲线的对称性知四边形F′MFN为矩形，则有|MF|＝|NF′|，|MN|＝2c.不妨设点N在双曲线右支上，由双曲线的定义知，|NF′|－|NF|＝2a，所以|MF|－|NF|＝2a.因为S△MNF＝|MF|·|NF|＝ab，所以|MF|·|NF|＝2ab.在Rt△MNF中，|MF|2＋|NF|2＝|MN|2，即(|MF|－|NF|)2＋2|MF||NF|＝|MN|2，所以(2a)2＋2×2ab＝(2c)2，把c2＝a2＋b2代入，并整理，得＝1，所以e＝＝ ＝.
答案：
10.解析：抛物线C1的焦点为(2a，0)，由弦长计算公式有＝16a＝16，a＝1，所以抛物线C1的标准方程为y2＝8x，准线方程为x＝－2，故双曲线C2的一个焦点坐标为(－2，0)，即c＝2，所以b＝＝＝，渐近线方程为y＝±x，直线l的方程为y＝x－2，所以点P(0，－2)，点P到双曲线C2的一条渐近线的距离为＝1.
答案：1　y2＝8x