考点52 圆锥曲线的综合问题-范围与最值问题（考点详解）-备战2022年新高考数学一轮复习考点微专题学案

考点52 圆锥曲线的综合问题-----范围与最值问题

本部分是高考热点问题、也是难点问题，往年高考试题中，常常结合有关向量、不等式、数列、导数等知识综合命制高考试题，多以压轴题形式出现，掌握解题规律和解题方法，预计2021年继续沿用往年的命题风格，对该问题进行考查的可能性比较大。

一、范围问题；

二、最值问题；

范围问题

【知识拓展】

解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面

(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；

(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；

(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；

(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；

(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．

【方法技巧】

求解范围问题的方法

求范围问题的关键是建立求解关于某个变量的目标函数，通过求这个函数的值域确定目标的范围．在建立函数的过程中要根据题目的其他已知条件，把需要的量都用我们选用的变量表示，有时为了运算的方便，在建立关系的过程中也可以采用多个变量，只要在最后结果中把多变量归结为单变量即可，同时要特别注意变量的取值范围．

【典例】

例1　已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F(－c,0)，离心率为，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x2＋y2＝截得的线段的长为c，|FM|＝.

(1)求直线FM的斜率；

(2)求椭圆的方程；

(3)设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于，求直线OP(O为原点)的斜率的取值范围．

解　(1)由已知有＝，

又由a2＝b2＋c2，可得a2＝3c2，b2＝2c2.

设直线FM的斜率为k(k＞0)，F(－c,0)，则直线FM的方程为y＝k(x＋c)．

由已知，有2＋2＝2，

解得k＝.

(2)由(1)得椭圆方程为＋＝1，直线FM的方程为y＝(x＋c)，两个方程联立，消去y，整理得3x2＋2cx－5c2＝0，解得x＝－c或x＝c.

因为点M在第一象限，可得M的坐标为.

由|FM|＝ ＝.

解得c＝1，所以椭圆的方程为＋＝1.

(3)设点P的坐标为(x，y)，直线FP的斜率为t，

得t＝，即直线FP的方程为y＝t(x＋1)(x≠－1)，与椭圆方程联立．

消去y，整理得2x2＋3t2(x＋1)2＝6，

又由已知，得t＝ ＞，

解得－＜x＜－1，或－1＜x＜0.

设直线OP的斜率为m，得m＝，即y＝mx(x≠0)，与椭圆方程联立，整理得m2＝－.

①当x∈时，有y＝t(x＋1)＜0，

因此m＞0，于是m＝ ，得m∈.

②当x∈(－1,0)时，有y＝t(x＋1)＞0.

因此m＜0，于是m＝－ ，

得m∈.

综上，直线OP的斜率的取值范围是∪.

最值问题

圆锥曲线中常见最值问题及解题方法

(1)两类最值问题：①涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；②求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时与之相关的一些问题．

(2)两种常见解法：①几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决；②代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值，最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解．

[失误与防范]

1．求范围问题要注意变量自身的范围．

2．利用几何意义求最值时，要注意“相切”与“公共点唯一”的不等价关系．注意特殊关系，特殊位置的应用

命题点1　利用三角函数有界性求最值

例2　过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是坐标原点，则|AF|·|BF|的最小值是(　　)

A．2  B.  C．4  D．2

答案　C

解析　设直线AB的倾斜角为θ，可得|AF|＝，|BF|＝，则|AF|·|BF|＝×＝≥4.

命题点2　数形结合利用几何性质求最值

例3　在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2－y2＝1右支上的一个动点．若点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为_________________________．

答案　

解析　双曲线x2－y2＝1的渐近线为x±y＝0，直线x－y＋1＝0与渐近线x－y＝0平行，故两平行线的距离d＝＝.由点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，得c≤，故c的最大值为.

命题点3　转化为函数利用基本不等式或二次函数求最值

例4　已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，且过点（1，）．

（1）求椭圆C的方程；

（2）设与圆O：x2+y2=相切的直线交椭圆C于A，B两点，求△OAB面积的最大值，及取得最大值时直线的方程．

【解析】（1）由题意可得，，故，，

所以椭圆方程为．

将点代入椭圆方程，可得，故，

即有椭圆的方程为．

（2）①当不存在时，时，可得，

；

②当存在时，设直线为，，

将直线代入椭圆方程可得，

，，

由直线与圆相切，可得，

即有，

又

，

当且仅当9即时等号成立，

此时，

即有面积的最大值为，此时直线方程．

【点睛】圆锥曲线中的最值问题，往往需要利用韦达定理构建目标的函数关系式，自变量可以斜率或点的横、纵坐标等.而目标函数的最值可以通过基本不等式或导数等求得.