考点45 直线与圆、圆与圆的位置关系（考点专练）-备战2022年新高考数学一轮复习考点微专题

这是一份考点45 直线与圆、圆与圆的位置关系（考点专练）-备战2022年新高考数学一轮复习考点微专题，共16页。试卷主要包含了已知直线l，圆C1，故选D等内容，欢迎下载使用。

考点45 直线与圆、圆与圆的位置关系

直线与圆的位置关系
1.直线x－y＋1＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系为(　　)
A．相切 B．相交但直线不过圆心 C．直线过圆心 D．相离
2.已知直线l：y＝k(x＋)和圆C：x2＋(y－1)2＝1，若直线l与圆C相切，则k＝(　　)
A．0 B. C.或0 D.或0
3.若直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交，则P(a，b)(　　)
A．在圆上 B．在圆外
C．在圆内 D．以上都有可能
4. (2014·江苏)在平面直角坐标系xOy中，直线x＋2y－3＝0被圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4截得的弦长为______．
5.已知直线l：y＝kx＋1，圆C：(x－1)2＋(y＋1)2＝12.
(1)试证明：不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点；
(2)求直线l被圆C截得的最短弦长．

圆与圆的位置关系
6.圆C1：x2＋y2－2y＝0，C2：x2＋y2－2x－6＝0的位置关系为(　　)
A．外离 B．外切 C．相交 D．内切
7.圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦所在的直线方程为________．
8.设M＝{(x，y)|y＝，a>0}，N＝{(x，y)|(x－1)2＋(y－)2＝a2，a>0}，且M∩N≠∅，求a的最大值和最小值．
直线与圆的综合问题
9.过点(3,1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________．
10.已知圆C的方程为x2＋y2＋ax＋2y＋a2＝0，一定点为A(1,2)，要使过A点作圆的切线有两条，则a的取值范围是____________．
11.在平面直角坐标系xOy中，直线x＋2y－3＝0被圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4截得的弦长为________．



1．(2014·湖南)若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m等于(　　)
A．21 B．19 C．9 D．－11
2．(2013·福建)已知直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则l的方程是(　　)
A．x＋y－2＝0 B．x－y＋2＝0
C．x＋y－3＝0 D．x－y＋3＝0
3．若圆C1：x2＋y2－2ax＋a2－9＝0(a∈R)与圆C2：x2＋y2＋2by＋b2－1＝0 (b∈R)内切，则ab的最大值为(　　)
A. B．2 C．4 D．2
4．(2013·山东)过点P(3,1)作圆C：(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为(　　)
A．2x＋y－3＝0 B．2x－y－3＝0
C．4x－y－3＝0 D．4x＋y－3＝0
5．已知直线y＝kx＋b与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，当b＝时，·等于(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
6．若直线y＝x＋b与曲线y＝3－有公共点，则b的取值范围是______________．
7．(2014·上海)已知曲线C：x＝－，直线l：x＝6，若对于点A(m,0)，存在C上的点P和l上的Q使得＋＝0，则m的取值范围为________．
8．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0 (a>0)的公共弦长为2，则a＝________.
9．已知矩形ABCD的对角线交于点P(2,0)，边AB所在直线的方程为x－3y－6＝0，点(－1,1)在边AD所在的直线上．
(1)求矩形ABCD的外接圆的方程；
(2)已知直线l：(1－2k)x＋(1＋k)y－5＋4k＝0(k∈R)，求证：直线l与矩形ABCD的外接圆恒相交，并求出相交的弦长最短时的直线l的方程．


一、单选题
1．若圆与圆的公共弦长为，则圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
2．已知圆的圆心到直线的距离为，则圆与圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．内切 C．外切 D．相离
3．两圆和恰有三条公切线，若且，则的最小值为（ ）
A．1 B．3 C． D．
4．若圆与圆外切，则（ ）.
A． B． C． D．
5．若圆上仅有4个点到直线的距离为1，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．


二、填空题
6．已知实数、满足，则的取值范围_______________
7．一条光线从点射出，经x轴反射，其反射光线所在直线与圆相切，则反射光线所在的直线方程为____.
8．已知圆和两点，，若圆上存在点，使得，则的取值范围是 ．
9．圆与圆内切，则的值为______.

三、解答题
10．已知圆.
（1）若直线过点且被圆截得的弦长为，求直线的方程；
（2）若直线过点与圆相交于，两点，求的面积的最大值，并求此时直线的方程.
11．已知圆，直线，点在直线上，过点作圆的切线、，切点为、．
（1）若，求点坐标；
（2）若点的坐标为，过作直线与圆交于、两点，当时，求直线的方程；
（3）求证：经过、、三点的圆与圆的公共弦必过定点，并求出定点的坐标．

考点练
1.答案　B
解析　圆心(0,0)到直线x－y＋1＝0的距离d＝＝，而0<<1.故选B.
2.答案　D
解析 因为直线l与圆C相切，所以圆心C到直线l的距离d＝＝1，解得k＝0或k＝.故选D.
3.答案 B
解析 由<1，得>1，所以点P在圆外．
4.答案
解析　圆心为(2，－1)，半径r＝2.圆心到直线的距离d＝＝，
所以弦长为2＝2 ＝.
5.(1)证明　由
消去y得(k2＋1)x2－(2－4k)x－7＝0，
因为Δ＝(4k－2)2＋28(k2＋1)>0，
所以不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点．
(2)解　设直线与圆交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，
则直线l被圆C截得的弦长
|AB|＝|x1－x2|
＝2＝2 ，
令t＝，则tk2－4k＋(t－3)＝0，
当t＝0时，k＝－，当t≠0时，因为k∈R，
所以Δ＝16－4t(t－3)≥0，解得－1≤t≤4，且t≠0，
故t＝的最大值为4，此时|AB|最小为2.
6.答案　D
解析　∵圆C1：x2＋y2－2y＝0的圆心为：C1(0,1)，半径r1＝1，
圆C2：x2＋y2－2x－6＝0的圆心为：C2(，0)，半径r2＝3，
∴|C1C2|＝＝2，又r1＋r2＝4，r2－r1＝2，
∴|C1C2|＝r2－r1＝2，∴圆C1与C2内切．
7.答案　x－y＋2＝0
解析　由得4x－4y＋8＝0，即x－y＋2＝0.
8.解　M＝{(x，y)|y＝，a>0}，即{(x，y)|x2＋y2＝2a2，y≥0}，表示以原点O为圆心，半径等于a的半圆(位于横轴或横轴以上的部分)．
N＝{(x，y)|(x－1)2＋(y－)2＝a2，a>0}，表示以O′(1，)为圆心，半径等于a的一个圆．
再由M∩N≠∅，可得半圆和圆有交点，故半圆和圆相交或相切．
当半圆和圆相外切时，由|OO′|＝2＝a＋a，
求得a＝2－2；
当半圆和圆相内切时，由|OO′|＝2＝a－a，
求得a＝2＋2，
故a的取值范围是[2－2,2＋2]，a的最大值为2＋2，最小值为2－2.
9.答案 2
解析 设P(3,1)，圆心C(2,2)，则|PC|＝，由题意知最短的弦过P(3,1)且与PC垂直，所以最短弦长为2＝2.
10.答案
解析 将圆C的方程化为标准方程为2＋(y＋1)2＝，
其圆心坐标为C，半径r＝ .
当点A在圆外时，过点A可作圆的两条切线，
则|AC|>r，即 > ，
即a2＋a＋9>0，解得a∈R.
又4－3a2>0时x2＋y2＋ax＋2y＋a2＝0才表示圆，
故可得a的取值范围是.
11.答案　
解析　圆心为(2，－1)，半径r＝2.圆心到直线的距离d＝＝，
所以弦长为2＝2 ＝.


拓展练
1．答案　C
解析　圆C2的标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25－m.
又圆C1：x2＋y2＝1，∴|C1C2|＝5.
又∵两圆外切，∴5＝1＋，解得m＝9.
2．答案　D
解析　圆x2＋(y－3)2＝4的圆心为点(0,3)，
又因为直线l与直线x＋y＋1＝0垂直，
所以直线l的斜率k＝1.
由点斜式得直线l：y－3＝x－0，化简得x－y＋3＝0.
3．答案　B
解析　圆C1：x2＋y2－2ax＋a2－9＝0 (a∈R)．
化为：(x－a)2＋y2＝9，圆心坐标为(a,0)，半径为3.
圆C2：x2＋y2＋2by＋b2－1＝0 (b∈R)，化为x2＋(y＋b)2＝1，圆心坐标为(0，－b)，半径为1，
∵圆C1：x2＋y2－2ax＋a2－9＝0 (a∈R)与圆C2：x2＋y2＋2by＋b2－1＝0 (b∈R)内切，
∴＝3－1，即a2＋b2＝4，ab≤(a2＋b2)＝2.
∴ab的最大值为2.
4．答案　A
解析　如图所示：由题意知：AB⊥PC，kPC＝，∴kAB＝－2，∴直线AB的方程为y－1＝－2(x－1)，即2x＋y－3＝0.
5．答案　A
解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，将y＝kx＋b代入x2＋y2＝1得(1＋k2)x2＋2kbx＋b2－1＝0，
故x1＋x2＝－，x1x2＝，
从而·＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋kb(x1＋x2)＋b2
＝b2－1－＋b2＝－1＝1.
6．答案　1－2≤b≤3
解析　由y＝3－，得(x－2)2＋(y－3)2＝4(1≤y≤3)．
∴曲线y＝3－是半圆，如图中实线所示．
当直线y＝x＋b与圆相切时，
＝2.∴b＝1±2.
由图可知b＝1－2.
∴b的取值范围是.
7．答案　[2,3]
解析　曲线C：x＝－，是以原点为圆心，2为半径的圆，并且xP∈[－2,0]，对于点A(m,0)，存在C上的点P和l上的Q使得＋＝0，
说明A是PQ的中点，Q的横坐标x＝6，
∴m＝∈[2,3]．
8．答案　1
解析　方程x2＋y2＋2ay－6＝0与x2＋y2＝4.
相减得2ay＝2，则y＝.由已知条件 ＝，即a＝1.
9．解　(1)∵lAB：x－3y－6＝0且AD⊥AB，
点(－1,1)在边AD所在的直线上，
∴AD所在直线的方程是y－1＝－3(x＋1)，
即3x＋y＋2＝0.
由得A(0，－2)．
∴|AP|＝＝2，
∴矩形ABCD的外接圆的方程是(x－2)2＋y2＝8.
(2)直线l的方程可化为
k(－2x＋y＋4)＋x＋y－5＝0，
l可看作是过直线－2x＋y＋4＝0和x＋y－5＝0的交点(3,2)的直线系，
即l恒过定点Q(3,2)，
由(3－2)2＋22＝5<8知点Q在圆P内，
∴l与圆P恒相交．
设l与圆P的交点为M，N，
则|MN|＝2(d为P到l的距离)，
设PQ与l的夹角为θ，则d＝|PQ|·sin θ＝sin θ，
当θ＝90°时，d最大，|MN|最短．
此时l的斜率为PQ的斜率的负倒数，即－，
故l的方程为y－2＝－(x－3)，即x＋2y－7＝0.


模拟练
1．D
【解析】
【分析】
先由题，求出两圆的公共弦，再求得圆的直径等于公共弦长为，可得公共弦过圆C的圆心，可得答案.
【详解】
联立，得，因为圆的直径为，且圆与曲线的公共弦长为，所以直线经过圆的圆心，则，所以圆的半径为
故选D
【点睛】
本题考查了圆与圆的位置关系，两圆的公共弦的求法是解题的关键，属于中档题.
2．B
【解析】
【分析】
根据圆的方程求得圆心为，半径为，利用点到直线的距离公式得到，
求得圆心距，根据圆与圆的位置关系进行判定.
【详解】
圆的圆心为，半径为.
圆心到直线的距离为，解得.
∴圆的圆心为，半径为2，
圆的标准方程为：，
圆心坐标为，半径，
圆心距，
∴两圆相内切，
故选：B.
【点睛】
本题考查圆与圆的位置关系的判定，涉及点到直线的距离公式，圆的一般方程和标准方程，属中档题.
3．A
【解析】
试题分析：由题意得两圆与相外切，即，所以，当且仅当时取等号，所以选A.
考点：两圆位置关系，基本不等式求最值
【易错点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.
4．B
【解析】
【分析】
化为圆的一般式方程为标准方程，求出圆心和半径，由两圆心间的距离等于半径和列式，即可求解答案．
【详解】
由圆，得到圆心坐标，半径为，
由圆，得到圆心坐标，半径为，
圆心与圆外切，所以，
解得，故选B．
【点睛】
本题主要考查了两圆的位置关系的应用，其中解答中熟记两圆的位置关系的合理应用，列出相应的方程求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
5．A
【解析】
【分析】
到已知直线的距离为1的点的轨迹，是与已知直线平行且到它的距离等于1的两条直线，根据题意可得这两条平行线与有4个公共点，由此利用点到直线的距离公式加以计算，可得的取值范围．
【详解】
解：作出到直线的距离为1的点的轨迹，得到与直线平行，
且到直线的距离等于1的两条直线，
圆的圆心为原点，
原点到直线的距离为，
两条平行线中与圆心距离较远的一条到原点的距离为，
又圆上有4个点到直线的距离为1，
两条平行线与圆有4个公共点，即它们都与圆相交．
由此可得圆的半径，
即，实数的取值范围是．
故选：．

【点睛】
本题给出已知圆上有四点到直线的距离等于半径，求参数的取值范围．着重考查了圆的标准方程、直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．
6．
【解析】
【分析】
设为圆上任意一点，构造直线，分别求得点P到直线的距离PM，P到原点的距离PO，将问题转化为求解.
【详解】
如图所示：

设为圆上任意一点，
点P到直线的距离为，
点P到原点的距离为，
所以，
当圆与直线相切时，
，
解得，
所以最小值为，最大值为，
所以，即，
的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系的应用，考查点到直线距离公式的应用，考查逻辑思维能力和运算求解能力，考查数形结合思想，属于中档题.
7．或
【解析】
【分析】
点关于轴的对称点为,即反射光线过点,分别讨论反射光线的斜率存在与不存在的情况,进而求解即可
【详解】
点关于轴的对称点为,
（1）设反射光线的斜率为,则反射光线的方程为,即,
因为反射光线与圆相切,
所以圆心到反射光线的距离,即,
解得,
所以反射光线的方程为:；
（2）当不存在时,反射光线为,此时,也与圆相切,
故答案为: 或
【点睛】
本题考查直线在光学中的应用,考查圆的切线方程
8．
【解析】
【分析】
设点的坐标为，可得出点的轨迹方程为，进而可知圆与圆有公共点，可得出关于正数的不等式，由此可求得正数的取值范围.
【详解】
设点的坐标为，，且坐标原点为的中点，
所以，，则点的轨迹方程为，
由题意可知，圆与圆有公共点，且圆心，
则，即，
，解得.
因此，实数的取值范围是.
故答案为：.
【点晴】
本题主要考查利用圆与圆的位置关系求参数的取值范围，由求得点的轨迹方程是解题的关键，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.
9．或
【解析】
【分析】
首先根据题中圆的标准方程求出圆的圆心与半径，再根据两圆相切求出的值为.
【详解】
圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为，
所以两圆的圆心距，
又因为两圆内切，有，
解得或.
故答案为：或.
【点睛】
本题主要考查了圆的位置关系，根据圆的标准方程求半径与圆心，属于基础题.
10．（1）或；（2）最大值2，直线的方程为或.
【解析】
【分析】
（1）圆的半径、圆心到弦的距离、弦长一半构成直角三角形，用点到直线的距离求得圆心到弦的距离得到答案，注意斜率分情况；
（2）圆心到直线的距离为，然后利用的面积求得最值得到及k，求得答案.
【详解】
（1）圆的圆心坐标为，半径，
直线被圆截得的弦长为，由勾股定理得到圆心到直线的距离
①当直线的斜率不存在时，，显然满足；
②当直线的斜率存在时，设，即，
由圆心到直线的距离得：，解得，故；
综上所述，直线的方程为或
（2）直线与圆相交，的斜率一定存在且不为0，设直线方程：，
即，则圆心到直线的距离为，
又的面积
当时，取最大值2，由，得或，
直线的方程为或.
【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系，三角形的面积的最值及直线的方程.
11．（1）或；（2）或；（3）
【解析】
【分析】
【详解】
试题分析：解：（Ⅰ）由条件可知，设，则解得或，所以或
(Ⅱ)由条件可知圆心到直线的距离，设直线的方程为，
则，解得或
所以直线的方程为或
（III）设，过、、三点的圆即以为直径的圆，
其方程为
整理得与相减得

即
由得
所以两圆的公共弦过定点
考点：两点间的距离公式；点到直线的距离公式；圆的方程．
点评：本题第一、二小题较容易，第三小题较难．但第三小题解法巧妙，使得问题简化．这种解法是这样的，将两圆的方程相减，得到一条直线的方程，由于两圆相交于两点，因而这条直线也经过这两点，故这条直线就是弦所在的直线．