考点47 直线与椭圆的位置关系（考点详解）-备战2022年新高考数学一轮复习考点微专题学案

考点47  直线与椭圆的位置关系

从近三年高考情况来看，本讲为高考的必考内容．预测2021年将会考查：①椭圆标准方程的求解；②直线与椭圆位置关系的应用；③求解与椭圆性质相关的问题．试题以解答题的形式呈现，灵活多变、技巧性强，具有一定的区分度，试题中等偏难.

一、直线与椭圆位置关系的判断；

二、弦长公式与应用；

三、直线与椭圆位置关系的相关问题。

直线与椭圆位置关系的判断

直线与椭圆位置关系的判断

直线与椭圆方程联立方程组，消掉y，得到Ax2＋Bx＋C＝0的形式(这里的系数A一定不为0)，设其判别式为Δ：

(1)Δ>0⇔直线与椭圆相交； (2)Δ＝0⇔直线与椭圆相切；  (3)Δ<0⇔直线与椭圆相离．

直线与椭圆位置关系的判定方法

(1)代数法

联立直线与椭圆方程可得到一个关于x，y的方程组，消去y(或x)得一元二次方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标．见举例说明1.                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                  

(2)几何法

画出直线与椭圆的图象，根据图象判断公共点个数.

【典例】

例1 已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：

(1)有两个不重合的公共点；

(2)有且只有一个公共点；

(3)没有公共点.

解　将直线l的方程与椭圆C的方程联立，

得方程组

将①代入②，整理，得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.　 　③

方程③根的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.

(1)当Δ>0，即－3<m<3时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点.

(2)当Δ＝0，即m＝±3时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点.

(3)当Δ<0，即m<－3或m>3时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解，这时直线l与椭圆C没有公共点.

例2焦点是F(0,5)，并截直线y＝2x－1所得弦的中点的横坐标是的椭圆的标准方程为________.

答案　＋＝1

解析　设所求的椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，直线被椭圆所截弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)．由题意，可得弦AB的中点坐标为，且＝，＝－.将A，B两点坐标代入椭圆方程，得两式相减并化简，得＝－×＝－2×＝3，所以a2＝3b2，又c2＝a2－b2＝50，所以a2＝75，b2＝25，故所求椭圆的标准方程为＋＝1.

弦长公式与应用

弦长公式

(1)若直线y＝kx＋b与椭圆相交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则|AB|＝|x1－x2|＝|y1－y2|.

(2)焦点弦(过焦点的弦)：最短的焦点弦为通径长，最长为2a.

【典例】

例3已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m.

(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；

(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程.

解　(1)由得5x2＋2mx＋m2－1＝0，

因为直线与椭圆有公共点，

所以Δ＝4m2－20(m2－1)≥0，解得－≤m≤.

(2)设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，

由(1)知，5x2＋2mx＋m2－1＝0，

所以x1＋x2＝－，x1x2＝(m2－1)，

所以|AB|＝＝

＝＝ ＝ .

所以当m＝0时，|AB|最大，即被椭圆截得的弦最长，此时直线方程为y＝x.

直线与椭圆位置关系的相关问题

圆锥曲线中常见的最值问题及其解法

(1)两类最值问题

①涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；

②求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些问题．

(2)两种常见解法

①几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决；

②代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值，最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解．

【典例】

例4 设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左，右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N.

(1)若直线MN的斜率为，求C的离心率；

(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b.

解　(1)根据c＝及题设知M(c，)，＝，2b2＝3ac.

将b2＝a2－c2代入2b2＝3ac，解得＝，＝－2(舍去)．故C的离心率为.

(2)由题意，得原点O为F1F2的中点，MF2∥y轴，

所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点，

故＝4，即b2＝4a.①，由|MN|＝5|F1N|得|DF1|＝2|F1N|.

设N(x1，y1)，由题意知y1<0，则即

代入C的方程，得＋＝1.②

将①及c＝代入②得＋＝1.解得a＝7，b2＝4a＝28，故a＝7，b＝2。

例5 已知椭圆C的中心在原点，离心率为，其右焦点是圆E：(x－1)2＋y2＝1的圆心．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)如图，过椭圆C且位于y轴左侧的一点P作圆E的两条切线，分别交y轴于点M、N，试推断是否存在点P，使|MN|＝？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

解：(1)设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，半焦距为c，

因为椭圆的右焦点是圆E的圆心，则c＝1，

又椭圆的离心率为，则＝，即a＝c＝.

从而b2＝a2－c2＝1，故椭圆C的方程为＋y2＝1.

(2)设点P(x0，y0)(x0＜0)，M(0，m)，N(0，n)，

则直线PM的方程为y＝x＋m，

即(y0－m)x－x0y＋mx0＝0，

因为圆心E(1，0)到直线PM的距离为1，即＝1，

即(y0－m)2＋x＝(y0－m)2＋2x0m(y0－m)＋xm2，

即(x0－2)m2＋2y0m－x0＝0，

理(x0－2)n2＋2y0n－x0＝0，

由此可知，m，n为方程(x0－2)x2＋2y0x－x0＝0的两个实根，

所以m＋n＝－，mn＝－，

|MN|＝|m－n|＝＝＝ .

因为点P(x0，y0)在椭圆C上，则＋y＝1，即y＝1－，

则|MN|＝ ＝ ＝ ，

令 ＝，则(x0－2)2＝9，

因为x0＜0，则x0＝－1，y＝1－＝，即y0＝±，

故存在点P或P满足题设条件．

例6设椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，上顶点为B.已知椭圆的短轴长为4，

离心率为.

(1)求椭圆的方程；

(2)设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N在y轴的负半轴上，若|ON|＝|OF|(O为原点)，且OP⊥MN，求直线PB的斜率.

解　(1)设椭圆的半焦距为c，依题意，2b＝4，＝，

又a2＝b2＋c2，可得a＝，b＝2，c＝1.

所以椭圆的方程为＋＝1.

(2)由题意，设P(xP，yP)(xP≠0)，M(xM,0)．设直线PB的斜率为k(k≠0)，

又B(0,2)，则直线PB的方程为y＝kx＋2，与椭圆方程联立整理得(4＋5k2)x2＋20kx＝0，

可得xP＝－，代入y＝kx＋2得yP＝，

进而直线OP的斜率为＝.在y＝kx＋2中，令y＝0，得xM＝－.

由题意得N(0，－1)，所以直线MN的斜率为－.

由OP⊥MN，得·＝－1，化简得k2＝，从而k＝±.

所以直线PB的斜率为或－.