考点19 同角三角函数的基本关系式与诱导公式（考点专练）-备战2022年新高考数学一轮复习考点微专题

考点19  同角三角函数的基本关系式与诱导公式

同角三角函数关系式的应用 

1．已知α是第四象限角，sin α＝－，则tan α等于(　　)

A．－   B.   C．－   D.

2．已知α是三角形的内角，且tan α＝－，则sin α＋cos α的值为        ．

3．若角α的终边落在第三象限，则＋的值为        ．

4．已知sin θ＋cos θ＝，θ∈(0，π)，则tan θ＝        .

诱导公式的应用

1.已知A＝＋(k∈Z)，则A的值构成的集合是(　　)

A．{1，－1,2，－2}   B．{－1,1}

C．{2，－2}   D．{1，－1,0,2，－2}

2.已知sin＝，则cos等于(　　)

A.  B.  C．－  D．－

3.已知角α是第二象限角，且满足sin＋3cos(α－π)＝1，则tan(π＋α)等于(　　)

A.   B．－

C．－   D．－1

4．已知sin α＝，则tan(α＋π)＋＝        .

同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用

1.已知＝5，则sin2α－sin αcos α的值是(　　)

A.  B．－  C．－2  D．2

2．(多选)已知x∈R，则下列等式恒成立的是(　　 )

A．sin(－x)＝sin x B．sin＝cos x

C．cos＝－sin x D．cos(x－π)＝－cos x

3．(多选)若sin α＝，且α为锐角，则下列选项中正确的有(　　 )

A．tan α＝ B．cos α＝

C．sin α＋cos α＝ D．sin α－cos α＝－[来源:学科网]

4．sin ·cos ·tan的值是        ．

5.已知sin(3π＋α)＝2sin，则＝       ；sin2α＋sin 2α＝        .

一、单选题

1．如图，在半径为1的扇形AOB中（O为原点），．点P（x，y）是上任意一点，则xy+x+y的最大值为（　　）

A． B．1 C． D．

2．定义，已知函数，，则函数的最小值为（    ）

A． B． C． D．

3．已知函数是偶函数，则的值为 （    ）

A． B． C． D．0

4．已知且，则为（ ）

A． B． C． D．

二、多选题

5．（多选题）已知，则下列式子成立的是（    ）

A． B． 

C． D．

6．（多选）给出下列四个结论，其中正确的结论是（    ）

A．成立的条件是角是锐角

B．若（），则

C．若（），则

D．若，则

三、填空题

7．已知，则_________.

8．已知，则     

9．已知：，则________

10．如图，棱长为2的正方体中，点分别为棱的中点，以为圆心，1为半径，分别在面和面内作弧和，并将两弧各五等分，分点依次为、、、、、以及、、、、、．一只蚂蚁欲从点出发，沿正方体的表面爬行至，则其爬行的最短距离为________．参考数据：；；）

四、解答题

11．已知，且是第________象限角.

从①一，②二，③三，④四，这四个选项中选择一个你认为恰当的选项填在上面的横线上，并根据你的选择，解答以下问题：

（1）求的值；

（2）化简求值：.

12．已知向量，，其中，，又函数的图象任意两相邻对称轴间距为.

（1）求的值:

（2）设是第一象限角，且，求的值.

一、单选题

1．化简的结果是（    ）

A． B． C． D．

2．已知中，内角，，的对边分别为，，，若，，则的面积（    ）

A． B．1 C． D．2

3．已知，那么的值为（    ）

A．6 B．4 C．2 D．0

4．已知角的终边上的一点，则的值为（    ）

A． B． C． D．

5．已知cosα=－，且，则sin2α的值等于（    ）

A． B． C．－ D．

6．已知角的终边过点，若，则的值为（    ）

A． B． C．4 D．5

7．已知，，则（    ）

A． B．或 C． D．

8．已知是第三象限角，则可化简为（    ）

A． B． C． D．

二、多选题

9．已知，，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．

10．下列化简正确的是（    ）

A． B．

C． D．

11．已知，且，则（    ）

A． B．

C． D．

三、填空题

12．若，则的值为__________．

13．已知，且，则_________.

14．已知，则________.

15．____________.

四、解答题

16．已知角的终边经过点

（1）求的值；

（2）求的值

17．已知

（1）化简；

（2）若，且，求的值；

（3）若，求的值.

考点练

考向一

1.答案　C

解析　因为α是第四象限角，sin α＝－，所以cos α＝＝，故tan α＝＝－.[来源:Z|xx|k.Com]

2.【答案】

【解析　】由tan α＝－，得sin α＝－cos α，将其代入sin2α＋cos2α＝1，

得cos2α＝1，所以cos2α＝，易知cos α<0，

所以cos α＝－，sin α＝，故sin α＋cos α＝－.

3.答案　－3

解析　由角α的终边落在第三象限，

得sin α<0，cos α<0，故原式＝＋＝＋＝－1－2＝－3.

4.答案　－

解析　方法一　由sin θ＋cos θ＝，得sin θcos θ＝－，

因为θ∈(0，π)，所以sin θ>0，cos θ<0，

所以sin θ－cos θ＝＝，

联立解得

所以tan θ＝－.

方法二　因为sin θ＋cos θ＝，

所以sin θcos θ＝－，

由根与系数的关系，知sin θ，cos θ是方程x2－x－＝0的两根，所以x1＝，x2＝－.

又sin θcos θ＝－<0，θ∈(0，π)，

所以sin θ>0，cos θ<0.

所以sin θ＝，cos θ＝－.

所以tan θ＝＝－.

方法三　由sin θ＋cos θ＝，得sin θcos θ＝－，

所以＝－.

齐次化切，得＝－，

即60tan2θ＋169tan θ＋60＝0，

解得tan θ＝－或tan θ＝－.

又θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝>0，sin θcos θ＝－<0，

所以θ∈，所以tan θ＝－.

考向二

1.【答案】C

【解析】当k为偶数时，A＝＋＝2；

当k为奇数时，A＝－＝－2.

所以A的值构成的集合是{2，－2}．

2.答案　B

解析　因为sin＝，

所以cos＝sin＝sin＝.

3.答案　B

解析　由sin＋3cos(α－π)＝1，

得cos α－3cos α＝1，∴cos α＝－，

∵角α是第二象限角，∴sin α＝，

∴tan(π＋α)＝tan α＝＝－.

4.【答案】或－

【解析】∵sin α＝＞0，

∴α为第一或第二象限角．

tan(α＋π)＋＝tan α＋

＝＋＝.

①当α是第一象限角时，cos α＝＝，

原式＝＝；

②当α是第二象限角时，cos α＝－＝－，[来源:Zxxk.Com]

原式＝＝－.

综合①②知，原式＝或－.

考向三

1.答案　A

解析　由＝5，得＝5，

即tan α＝2.

所以sin2α－sin αcos α＝＝＝.

2.答案　CD

解析　sin(－x)＝－sin x，故A不成立；

sin＝－cos x，故B不成立；

cos＝－sin x，故C成立；

cos(x－π)＝－cos x，故D成立．

3.答案　AB

解析　∵sin α＝，且α为锐角，

∴cos α＝＝＝，故B正确，

∴tan α＝＝＝，故A正确，

∴sin α＋cos α＝＋＝≠，故C错误，

∴sin α－cos α＝－＝≠－，故D错误．

4.答案　－

解析　原式＝sin·cos·tan

＝··＝××(－)＝－.

5.答案　－　

解析　∵sin(3π＋α)＝2sin，

∴－sin α＝－2cos α，即sin α＝2cos α.

＝＝＝－.

∵sin α＝2cos α，∴tan α＝2，

∴sin2α＋sin 2α＝＝＝＝.

拓展练

1．D【解析】由题意知x=cosα，y=sinα，0≤α≤，

则xy+x+y=sinαcosα+sinα+cosα，

设t=sinα+cosα，则t2=1+2sinαcosα，

即sinαcosα=，

则xy+x+y=sinαcosα+sinα+cosα=

t=sinα+cosα=sin（α+），

∵0≤α≤，∴≤α+≤，

∴.

∴当t=时，xy+x+y取得最大值为：．

故选：D．

2．A【解析】依题意得，，则,

(当且仅当，即时“”成立.此时,，，的最小值为，故选：A.

3．A【解析】根据偶函数不存在奇次项，所以，所以，所以，故选A.

4．B【解析】由题意得，因为，即，所以，

又 ，

又，且，

所以，故选B．

5．CD【解析】∵，，

整理得，

∴，

即，

即，∴C、D正确.故选：CD

6．CD【解析】由诱导公式二，知时，，所以A错误．

当（）时，，此时，[来源:学*科*网Z*X*X*K]

当（）时，，此时，所以B错误．

若（），则，所以C正确．

将等式两边平方，得，所以或．

若，则，此时；

若，则，此时，

故，所以D正确．

故选CD

7．【解析】由三角函数的诱导公式，可得

，

又因为，所以原式.故答案为：.

【点睛】本题主要考查了三角函数诱导公式的化简、求值，其中解答中熟记三角函数的诱导公式，准确运算是解答的关键，着重考查推理与运算能力.

8．【解析】,所以

故

9．【解析】因为原式，且即，

所以原式.故答案为：.

10．【解析】棱长为2的正方体中，点分别为棱的中点，以为圆心，1为半径，分别在面和面内作弧和.将平面绕旋转至与平面共面的位置，如下图所示：

则，所以；

将平面绕旋转至与平面共面的位置，将绕旋转至与平面共面的位置，如下图所示：

则，所以；

因为，且由诱导公式可得，

所以最短距离为，

故答案为：.

【点睛】本题考查了空间几何体中最短距离的求法，注意将空间几何体展开至同一平面内求解的方法，三角函数诱导公式的应用，综合性强，属于难题.

11．（1）答案不唯一，具体见解析（2）

【解析】（1）因为，所以为第三象限或第四象限角；

若选③，；

若选④，；

（2）原式.

【点睛】本题考查了同角三角函数关系，诱导公式化简，意在考查学生的计算能力和转化能力.

12．（1）（2）[来源:学科网]

【解析】（1）由题意得，

所以

.

因为函数的图象任意两相邻对称轴间距为.

所以函数的最小正周期为，又，所以.

（2）由（1）知，

所以.

解得，因为是第一象限角，故，

所以.

模拟练

1．A【解析】

，

由于，所以，

所以.故选：A

【点睛】本小题主要考查利用诱导公式、同角三角函数的基本关系式化简求值，属于基础题.

2．C【解析】，，

由可得，，

,故选：C.

【点睛】本题考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式，属于容易题.

3．B【解析】，则，解得或（舍去），故，.故选：B.

4．D【解析】

又因为角的终边上的一点，所以，

所以.

故选：D

【点睛】本题考查诱导公式、三角函数定义以及弦化切，考查基本分析求解能力，属中档题.

5．C【解析】，，

，

.

故选：C.

【点睛】本题考查了同角三角函数的平方关系、二倍角的正弦公式的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.

6．B【解析】角的终边过点，，

终边在第三象限，

，

又，

.

故选：B.

【点睛】本题考查三角函数的定义、同角间的三角函数关系，考查计算求解能力，属于基础题.

7．D【解析】因为，所以，

因为

所以，

故选D．

【点睛】本题考查三角函数的相关性质，考查同角三角函数基本关系式以及两角和的正弦公式的掌握和使用，考查计算能力，在解题过程中，不仅需要能够对公式进行正确使用，还需要能够通过角的取值范围来确定的值的大小．

8．A【解析】,因为是第三象限角，所以，所以.

故选：A

【点睛】本题主要考查三角函数的同角关系式及三角函数的符号判断，属于基础题.

9．ABD【解析】①

即,

,，,,

,②

①加②得

①减②得

综上可得，正确的有

故选：

【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系，属于基础题.

10．AB【解析】利用诱导公式，及

A选项：，故A正确；

B选项：，故B正确；

C选项：，故C不正确；

D选项：，故D不正确

故选：AB

【点睛】本题考查了诱导公式和同角三角函数关系的应用，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算能力，属于基础题.

11．AB【解析】因为，且，

所以，

，A正确；，B正确；

，，，C不正确；

，D不正确；故选：AB

【点睛】本题考查了同角三角函数关系、二倍角公式的运用，熟练运用公式是解决问题的关键.

12．【解析】 

故答案为．

点睛：本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，熟练应用诱导公式与正弦的二倍角公式将条件转化为是关键，属于中档题．

13．【解析】

故答案为：

【点睛】本题考查诱导公式、同角三角函数关系，考查基本分析求解能力，属基础题.

14．【解析】，

故答案为：

【点睛】本题主要考查了诱导公式的化简求值，属于中档题.

15．【解析】.故答案为：

【点睛】本题考查了诱导公式、特殊角的三角函数值，需熟记公式，属于基础题.

16．（1）（2）

【解析】（1）由题意角的终边经过点，可得，

根据三角函数的定义，可得.

（2）由三角函数的诱导公式，可得

.

【点睛】本题主要考查了三角函数的定义，以及三角函数的诱导公式的化简求值，其中解答中熟记三角函数的定义和三角函数的诱导公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

17．（1）；（2）；（3）.

【解析】（1）由三角函数的诱导公式，可得

.

（2）由，即，

又由，

因为，可得，所以.

（3）由，

可得

.

【点睛】本题主要考查了三角函数的基本关系式和三角函数的诱导公式的化简、求证问题，其中解答中熟记三角函数的基本关系式和诱导公式，准确运算是解答的关键，着重考查化简与运算能力.