考点19 同角三角函数的基本关系式与诱导公式(考点详解)-备战2022年新高考数学一轮复习考点微专题学案
展开考点19 同角三角函数的基本关系式与诱导公式
角三角函数的基本关系式的处理上,注意三角函数值在各个象限内的符号问题,在求解三角函数值时,需要灵活进行处理,更要注意角度的取值范围问题,在给值求值问题时,需要注意增根的产生。
一、同角三角函数关系式的应用;
二、诱导公式的应用;
三、同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用。[来源:Z.xx.k.Com]
【易错警示】
(1)在利用同角三角函数基本关系式中的平方关系时,要根据角的范围对开方结果进行讨论.
(2)利用诱导公式化简时要对题中整数k是奇数或偶数进行讨论.
同角三角函数关系式的应用
同角三角函数的基本关系
(1)平方关系:sin2α+cos2α=1.
(2)商数关系:=tan α.
(1)利用sin2α+cos2α=1可实现正弦、余弦的互化,开方时要根据角α所在象限确定符号;利用=tan α可以实现角α的弦切互化.
(2)应用公式时注意方程思想的应用:对于sin α+cos α,sin αcos α,sin α-cos α这三个式子,利用(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α,可以知一求二.
(3)注意公式逆用及变形应用:1=sin2α+cos2α,sin2α=1-cos2α,cos2α=1-sin2α.
【典例1】
1.已知α是第四象限角,sin α=-,则tan α等于( )
A.- B. C.- D.
答案 C
解析 因为α是第四象限角,sin α=-,
所以cos α==,
故tan α==-.
2.已知tan α=-,则sin α·(sin α-cos α)等于( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 sin α·(sin α-cos α)=sin2α-sin α·cos α
==,将tan α=-代入,得原式==. 3.A
诱导公式的应用
三角函数的诱导公式
公式 | 一[来源:学|科|网Z|X|X|K] | 二 | 三 | 四 | 五 | 六 |
角 | 2kπ+α(k∈Z) | π+α | -α | π-α | -α | +α |
正弦 | sin α | -sin α | -sin α | sin α | cos α | cos α |
余弦 | cos α | -cos α | cos α | -cos α | sin α | -sin α |
正切 | tan α | tan α | -tan α | -tan α |
|
|
口诀 | 函数名改变,符号看象限 | 函数名不变,符号看象限 |
思维升华 (1)诱导公式的两个应用 ①求值:负化正,大化小,化到锐角为终了. ②化简:统一角,统一名,同角名少为终了. (2)含2π整数倍的诱导公式的应用 由终边相同的角的关系可知,要利用诱导公式一,然后再进行运算. |
【典例】
典例 (1)已知角α的终边上一点的坐标为,则角α的最小正值为( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 ∵sin =,cos =-,
该点坐标为,∴α=+2kπ(k∈Z).
∴当k=0时,α有最小正值.
(2)已知cos=a,则cos+sin的值是 .
答案 0
解析 ∵cos=-cos=-a,
sin=sin=a,
∴cos+sin=-a+a=0.
跟踪训练 (1)化简:
= .
答案 -1
解析 原式==-1.
(2)已知角α终边上一点P(-4,3),则
的值为 .
答案 -
解析 原式==tan α,根据三角函数的定义得tan α=-.
同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用
(1)利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时,关键是寻求条件、结论间的联系,灵活使用公式进行变形.
(2)注意角的范围对三角函数符号的影响.[来源:学#科#网Z#X#X#K]
【典例】
典例 (1)已知α为锐角,且2tan(π-α)-3cos+5=0,tan(π+α)+6sin(π+β)-1=0,则sin α的值是( )
A. B. C. D.
答案 C[来源:学,科,网Z,X,X,K]
解析 由已知可得-2tan α+3sin β+5=0,tan α-6sin β-1=0,解得tan α=3,又α为锐角,故sin α=.
(2)已知-π<x<0,sin(π+x)-cos x=-.
①求sin x-cos x的值;
②求的值.
解 ①由已知,得sin x+cos x=,
两边平方得sin2x+2sin xcos x+cos2x=,
整理得2sin xcos x=-.
∵(sin x-cos x)2=1-2sin xcos x=,
由-π<x<0知,sin x<0,
又sin xcos x=-<0,
∴cos x>0,∴sin x-cos x<0,
故sin x-cos x=-.
②=
=
==-.
引申探究
本例(2)中若将条件“-π<x<0”改为“0<x<π”,求sin x-cos x的值.
解 若0<x<π,又2sin xcos x=-,
∴sin x>0,cos x<0,
∴sin x-cos x>0,故sin x-cos x=.
跟踪训练 (1)若=,则tan θ等于( )[来源:Z.xx.k.Com]
A.1 B.-1
C.3 D.-3
答案 D
解析 由已知=,∴=,故tan θ=-3.
(2)已知函数f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β),且f(4)=3,
则f(2 017)的值为
A.-1 B.1 C.3 D.-3
答案 D
解析 ∵f(4)=asin(4π+α)+bcos(4π+β)=asin α+bcos β=3,
∴f(2 017)=asin(2 017π+α)+bcos(2 017π+β)=asin(π+α)+bcos(π+β)
=-asin α-bcos β=-3.
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