考点13 对数与对数函数（考点专练）-备战2022年新高考数学一轮复习考点微专题

这是一份考点13 对数与对数函数（考点专练）-备战2022年新高考数学一轮复习考点微专题，共29页。试卷主要包含了计算等内容，欢迎下载使用。

考点13 对数与对数函数

对数式的运算
1．【2020年高考全国I卷理数】若，则
A． B．
C． D．
2．【2020年高考全国Ⅲ卷理数】Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I()=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则约为（ln19≈3）
A．60 B．63
C．66 D．69
3.【2020年新高考全国Ⅰ卷】基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0 =1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)
A．1.2天 B．1.8天
C．2.5天 D．3.5天
4．已知2x＝3，log4＝y，则x＋2y的值为________．
5．设函数f (x)＝3x＋9x，则f (log32)＝________.
6．计算：＝________.
7．(2019·北京)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝lg ，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k＝1,2)．已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为(　　)
A．1010.1 B．10.1 C．lg 10.1 D．10－10.1
对数函数的图象及应用
1．【2020年高考全国Ⅱ卷理数】设函数，则f(x)
A．是偶函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减
C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减
2.【2020年高考北京】函数的定义域是____________．
3.若f (x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在区间(－∞，1]上单调递减，则a的取值范围为(　　)
A．[1,2) B．[1,2]
C．[1，＋∞) D．[2，＋∞)
4.已知函数f (x)＝loga(8－ax)(a>0，且a≠1)，若f (x)>1在区间[1,2]上恒成立，则实数a的取值范围是__________．

比较指数式、对数式的大小
1．【2020年高考全国Ⅲ卷理数】已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则
A．a C．b 2.【2020年高考全国Ⅱ卷理数】若2x−2y<3−x−3−y，则
A．ln(y−x+1)>0 B．ln(y−x+1)<0
C．ln|x−y|>0 D．ln|x−y|<0
3．【2020年高考天津】设，则的大小关系为
A． B．
C． D．
4.设a＝log3e，b＝e1.5，c＝，则(　　)
A．b C．c 5.(2018·全国Ⅲ)设a＝log0.20.3，b＝log20.3，则(　　)
A．a＋b C．a＋b<0 6.已知a＝log23＋log2，b＝log29－log2，c＝log32，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a＝bc
C．ab>c
7.已知函数f (x)＝|x|，且a＝f ，b＝f ，c＝f (2－1)，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．a C．c 8.若实数a，b，c满足loga2 A．a C．c 9已知函数y＝f (x＋2)的图象关于直线x＝－2对称，且当x∈(0，＋∞)时，f (x)＝|log2x|，若a＝f (－3)，b＝f ，c＝f (2)，则a，b，c的大小关系是________．


一、单选题
1．已知是定义在上的偶函数，则下列不等关系正确的是
A． B．
C． D．
2．已知函数（且），若函数图象上关于原点对称的点至少有3对，则实数a的取值范围是（ ）.
A． B． C． D．
3．已知定义在上的函数满足，且函数在上是减函数，若 ，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
4．设，，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
5．已知，若互不相等，且，则的范围是（ ）
A． B． C． D．
6．意大利数学家斐波那契（1175年—1250年）以兔子繁殖数量为例，引入数列：1，1，2，3，5，8，…，该数列从第三项起，每一项都等于前两项之和，即故此数列称为斐波那契数列，又称“兔子数列”，其通项公式为（设是不等式的正整数解，则的最小值为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
二、多选题
7．已知直线分别与函数和的图象交于点，则下列结论正确的是( )
A． B．
C． D．
8．设函数，若实数，，满足，且则下列结论恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
9．已知，则实数的取值范围是_______.
10．若函数在区间上恰好有一个零点，则的最小值为______.
11．我们把一系列向量按次序排成一列，称之为向量列，记作，已知向量列满足
，设表示向量与的夹角，若对任意正整数，不等式恒成立，则实数的取值范围是__________

四、解答题
12．已知函数f(x)＝的定义域为R，值域为，求m，n的值．
13．已知，其中是实常数.
（1）若，求的取值范围；
（2）若，求证：函数的零点有且仅有一个；
（3）若，设函数的反函数为，若是公差的等差数列且均在函数的值域中，求证：.
14．已知为正数，函数.
（Ⅰ）解不等式；
（Ⅱ）若对任意的实数总存在，使得对任意恒成立，求实数的最小值.

一、单选题
1．已知集合，集合，则集合真子集个数是( )
A．2 B．3 C．4 D．8
2．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数．那么不等式的解集为（　　）.
A． B．
C． D．
4．已知函数，函数有四个不同的零点，且满足：， 则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．函数的定义域是( )
A． B． C． D．
6．已知函数若不等式的解集为空集，则实数k的取值范围为（ ）
A． B． C． D．

二、多选题
7．已知，均为正实数，若，，则（ ）
A． B． C． D．2
8．已知直线分别与函数和的图象交于点，则下列结论正确的是( )
A． B．
C． D．
9．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数的图象与x轴有两个交点
C．函数的最小值为
D．函数的最大值为4
E.函数的图象关于直线对称
10．已知，，下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
11．函数的单调递增区间是________[来源:学.科.网]
12．函数的定义域是______.
13．已知函数，则不等式的解集为 .
四、解答题
14．计算题
（1）
（2）
15．已知函数的图象关于原点对称，其中为常数.[来源:Zxxk.Com]
（1）求的值；
（2）当时，恒成立，求实数的取值范围；
（3）若关于的方程在上有解，求的取值范围.
16．已知定义域为的函数是奇函数.
（1）求实数的值；
（2）判断的单调性并用定义证明；
（3）已知不等式恒成立, 求实数的取值范围.

考点练
考向一
1.【答案】B
【解析】设，则为增函数，因为
所以，
所以，所以.
，
当时，，此时，有
当时，，此时，有，所以C、D错误.
故选：B．
2.【答案】C
【解析】，所以，则，
所以，，解得.故选：C．
3.【答案】B
【解析】因为，，，所以，所以，
设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，
则，所以，所以，所以天.故选：B．
4.【答案】　3
【解析】　由2x＝3，log4＝y得x＝log23，y＝log4＝log2，所以x＋2y＝log23＋log2＝log28＝3.
5.【答案】　6
【解析】　∵函数f (x)＝3x＋9x，
∴f (log32)＝＝2＋4＝6.
6.【答案】　1
【解析】　原式＝＝
＝＝＝＝1.
7.【答案】　A
【解析】　两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝lg ，令m2＝－1.45，m1＝－26.7，
lg ＝·(m2－m1)＝(－1.45＋26.7)＝10.1，＝1010.1.
考向二
1.【答案】D
【解析】由得定义域为，关于坐标原点对称，
又，
为定义域上的奇函数，可排除AC；
当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，排除B；
当时，，
在上单调递减，在定义域内单调递增，
根据复合函数单调性可知：在上单调递减，D正确.故选：D．
2.【答案】
【解析】由题意得，，故答案为：
3.【答案】　A
【解析】　令函数g(x)＝x2－2ax＋1＋a＝(x－a)2＋1＋a－a2，对称轴为x＝a，要使函数在(－∞，1]上递减，则有即解得1≤a<2，即a∈[1,2)．
4.【答案】　
【解析】　当a>1时，f (x)＝loga(8－ax)在[1,2]上是减函数，由f (x)>1在区间[1,2]上恒成立，
则f (x)min＝f (2)＝loga(8－2a)>1，且8－2a>0，
解得11在区间[1,2]上恒成立，
知f (x)min＝f (1)＝loga(8－a)>1，且8－2a>0.，∴a>4，且a<4，故不存在．
综上可知，实数a的取值范围是.
考向三
1.【答案】A
【解析】由题意可知、、，
，；
由，得，由，得，，可得；
由，得，由，得，，可得.
综上所述，.
故选：A.
2.【答案】A
【解析】由得：，
令，为上的增函数，为上的减函数，为上的增函数，
，，，，则A正确，B错误；
与的大小不确定，故CD无法确定，故选：A．
3.【答案】D
【解析】因为，，，
所以，故选：D．
4.【答案】　D
【解析】　c＝＝log34>log3e＝a，又c＝log342，∴a 5.【答案】　B
【解析】　∵a＝log0.20.3>log0.21＝0，b＝log20.3 ∵＝＋＝log0.30.2＋log0.32＝log0.30.4，∴1＝log0.30.3>log0.30.4>log0.31＝0，
∴0<<1，∴ab 6.【答案】　B
【解析】　因为a＝log23＋log2＝log23＝log23>1，b＝log29－log2＝log23＝a，c＝log32c.
7.【答案】　A
【解析】　ln ，∴log23>>ln .又f (x)是偶函数，在(0，＋∞)上为增函数，
∴f  8.【答案】　C
【解析】　根据不等式的性质和对数的换底公式可得<<<0，
即log2c 9.【答案】　c 【解析】　易知y＝f (x)是偶函数．当x∈(0，＋∞)时，f (x)＝f ＝|log2x|，且当x∈[1，＋∞)时，f (x)＝log2x单调递增，又a＝f (－3)＝f (3)，b＝f ＝f (4)，所以c

拓展练
1．D【解析】因为是偶函数，则，所以，所以。
所以 ，在上单调递减，在上单调递增。
又因为，所以，所以选D
2．A【解析】由题可知：
与的图像
在的交点至少有3对，可知，
如图所示，

当时，，则
故实数a的取值范围为,故选：A
【点睛】本题考查函数的对称性，难点在于将问题转换为与的图像在的交点至少有3对，审清题干，耐心计算，属难题.
3．A【解析】，是偶函数，
，
，
，
，
，
，
又因为在上递减，
，

，即，故选A.
【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性，以及指数函数与对数函数的性质，属于综合题. 在比较，，，的大小时，首先应该根据函数的奇偶性与周期性将，，，通过等值变形将自变量置于同一个单调区间，然后根据单调性比较大小．
4．B【解析】，，，，，
，即，；
，即，；
，即，；，即.
设，则，
当时，，又，，，
在上单调递减，，即当时，，
，，即.
综上所述：.
故选：.
【点睛】本题考查指数与对数比较大小的问题，在此类问题中，此题属于较难题；解题关键是能够熟练应用指数和对数运算的转换、导数求解函数单调性的方法确定临界值，进而通过临界值确定大小关系.
5．B【解析】画出的图像，如图所示，

设，则，有，，且,,
当时，单调递减，可得其与轴交于点，可得，
故可得：，
由，可得，
故可得，
由对勾函数性质及，可得，
故可得的范围是，
故选：B.
【点睛】本题主要考查分段函数、对数函数的性质，考查学生的综合计算能力，体现了数形结合的数学思想，属于中档题.
6．C【解析】∵是不等式的正整数解，
∴，
∴，
∴，
即
∴，
∴，
∴，
∴，
令，则数列即为斐波那契数列，
，即，
显然数列为递增数列，所以数列亦为递增数列，
不难知道，，且，，
∴使得成立的的最小值为8，
∴使得成立的的最小值为8.
故选：C.
【点睛】本题考查数列的新定义，以及利用数列的单调性求最值，还根据对数运算化简不等式，考查转化思想和化简运算能力.
7．ABC【解析】函数与互为反函数，
则与的图象关于对称，
将与联立，则，
由直线分别与函数和的图象交于点，
作出函数图像：

则的中点坐标为，
对于A，由，解得，故A正确；
对于B，，
因为，即等号不成立，所以，故B正确；
对于C，将与联立可得，即，
设，且函数为单调递增函数，
，，
故函数的零点在上，即，由，则，

，故C正确；
对于D，由，解得，
由于，则，故D错误；
故选：ABC
【点睛】本题考查了互为反函数的性质、基本不等式的应用、零点存在性定理以及对数的运算性质，考查了数形结合的思想，属于难题.
8．ABC【解析】由题意，实数，，满足，且，
结合图象，可得，即，且，
可得和恒成立，即A、B恒成立；
又由，所以，所以C恒成立；
又由，当时，的符号不能确定，
所以D不恒成立，
故选ABC.

【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，以及对数函数图象的应用，其中解答中正确作出函数的图象，得到的关系式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
9．【解析】易得，
故.
由得，故，
所以，当且仅当，即时等号成立.
故答案为：
【点睛】本题主要考查了基本不等式求最值，转化思想，属于中档题.
10．【解析】依题意，函数在区间，上有零点等价于方程在区间，上恰有一个根，函数和函数的图象在区间上恰好有一个交点，
函数关于对称，在上有最小值，时，，，
函数，令，
当时，由复合函数单调性知单调递减，当时，，
所以函数和函数的图象在区间上无交点，
当时，由复合函数单调性知单调递增，如图，

由图可知，当，时，函数图象恰好有1个交点，
此时，
解得，
因为在上单调递增，
所以，即的最小值为，
故答案为：
【点睛】本题主要考查函数零点，函数图象的交点，函数的单调性，转化思想，分类讨论，利用函数单调性求最值，属于难题．
11．【解析】由题意可得，当时，
，
，，

，
当且仅当时，等号成立，
，
由可得，，
解得，
综上，实数的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】本题考查了平面向量、数列及对数函数的综合应用，考查了运算求解能力和恒成立问题的解决，属于中档题.
12．【解析】由，得，即
∵，即
由，得，由根与系数的关系得，解得
13．（1）（2）证明见解析；（3）证明见解析；
【解析】（1），所以，，易知，所以，所以.
（2）函数为增函数，且，由于.故在上必存在，使.又为增函数，所以函数的零点有且仅有一个.
（3）即证：.
，而，所以只需证是关于的减函数.
设，即证※大于0
设，由单调递增可得.
.
而，
两式相减得，
①
同理②，
①-②得：
.
若，则上式左侧，右侧矛盾，故※.证毕.
【点睛】本题考查函数的零点，反函数的概念，考查函数的单调性，主要考查转化与化归思想，利用反函数定义把反函数问题转化为原函数的问题求解．对学生分析问题解决问题的能力要求较高，属于难题．
14．（Ⅰ）；（Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）
.解得即.
（Ⅱ）由题意得.
又,,
故.即恒成立.
又对称轴.又区间关于对称,
故只需考虑的情况即可.
①当,即时,
易得,
故
即,又.
故,解得.
②当,即时,
易得,
即.
化简得,即,所以.
综上所述, 故实数的最小值为
【点睛】本题主要考查了与二次函数的复合函数有关的问题,需要理解题意明确求最值,同时注意分析对称轴与区间的位置关系,再分情况进行讨论求最值即可.属于难题.


模拟练
1．B【解析】∵集合，
集合，
∴，
∴集合真子集个数是.
故选：B.
2．C【解析】由于，，，故.故选.
3．D【解析】由已知得，①当时，有；②当时，有，综①②得不等式的解集为.故正确答案选D.
考点：1.对数、指数不等式；2.分类讨论思想.
4．B【解析】函数有四个不同的零点，等价于的图象与的图象有四个不同的交点，画出的图象与的图象，结合函数图像，可得 ，= ，利用单调性求解即可.
详解：
,
由二次函数的对称性可得
由 可得，
函数有四个不同的零点，
等价于的图象与的图象有四个不同的交点，
画出的图象与的图象，由图可得，
∴
∴=
令 ， ∴，故选B.
点睛：本题主要考查函数的图象与性质以及数形结合思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．
5．D【解析】函数，
令，
解得且；
所以的定义域是．
故选．
【点睛】本题考查了根据函数解析式求定义域的应用问题，是基础题．
6．C【解析】因为不等式的解集为空集，
所以不等式恒成立.
可变形为.
在同一坐标系中作出函数的图象，如图：

直线过定点，
当直线与相切时，方程有一个实数解，
可得，即，
由，可得或（舍去），
故由函数图象可知使不等式恒成立的实数k的取值范围为.
故选：C.
【点睛】
本题考查了函数图象、根据函数的图象求参数的取值范围，考查了数形结合思想，属于中档题.
7．AD【解析】令，
则，
，，
或，
或
或
，代入得
或
，或，
．或
故选：AD.
【点睛】本题考查指数、对数的运算性质，涉及到换底公式等知识，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.
8．ABC【解析】函数与互为反函数，
则与的图象关于对称，
将与联立，则，
由直线分别与函数和的图象交于点，
作出函数图像：

则的中点坐标为，
对于A，由，解得，故A正确；
对于B，，
因为，即等号不成立，所以，故B正确；
对于C，将与联立可得，即，
设，且函数为单调递增函数，
，，
故函数的零点在上，即，由，则，

，故C正确；
对于D，由，解得，
由于，则，故D错误；
故选：ABC
【点睛】本题考查了互为反函数的性质、基本不等式的应用、零点存在性定理以及对数的运算性质，考查了数形结合的思想，属于难题.
9．ABC【解析】A正确，；
B正确，令，得，
解得或，即的图象与x有两个交点；
C正确，因为，所以当，
即时，取最小值；
D错误，没有最大值；
E错误，取，则.
故选：ABC.
【点睛】本题考查了对数的运算、对数函数的性质、函数的对称性以及函数的单调性，属于基础题.
10．ACD【解析】由，，可得，故正确；
由，， 可得 ， ，故错误；
由，，，，则，则，可得，故正确；
由，，可得，故正确.
故选:
【点睛】本题考查不等式基本性质和利用指数函数、对数函数单调性比较大小，属于基础题.[来源:Z|xx|k.Com]
11．【解析】
当时，单调递减，而也单调递减，所以单调递增，
故答案为：
【点睛】本题考查复合函数单调性、对数函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.
12．【解析】因为，
所以，所以，所以，
解得或或.
故答案为：
【点睛】本题主要考查函数定义域的求法以及一元二次不等式，三角不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
13．.【解析】若，则，若：则，故不等式的解集是.
14．（1）e（2）1【解析】 (1)原式==e
（2）原式

【点睛】本题主要考查了指数幂的运算化简，对数的运算法则，换底公式，属于中档题.
15．(1) (2) (3) 【解析】（1）∵函数的图象关于原点对称，∴函数为奇函数，∴，
即，解得或（舍）.
（2）
当时，，
∵当时，恒成立，
∴.
（3）由（1）知，，即，即即在上有解，
在上单调递减
的值域为，
∴
16．（1）； （2）减函数，证明见解析； （3） .
【解析】（1）是上的奇函数,， 得
（2）减函数，证明如下：
设是上任意两个实数，且，[来源:Z&xx&k.Com]

，即， ，
，即，在上是减函数
（3）不等式恒成立，
是奇函数，即不等式恒成立
又 在上是减函数，不等式恒成立
当时，得
当时，得
综上，实数的取值范围是
【点睛】本题考查了函数的奇偶性与单调性，考查了不等式恒成立问题，考查了应用对数函数单调性解与对数有关的不等式，涉及了指数函数与对数函数的图象与性质，体现了转化思想在解题中的运用 .