考点13 对数与对数函数（考点详解）-备战2022年新高考数学一轮复习考点微专题学案

考点13 对数与对数函数

本部分常结合对数的运算性质考查基本运算和对数中涉及到的求值或化简问题，而对数函数则常常结合函数的零点问题进行综合考查，属于考查的热点和难点内容，学生掌握起来不是很容易。

一、对数式的运算；

二、对数函数的图象及应用；

三、比较指数式、对数式的大小。

【易错警示】

在应用logaMn＝nlogaM时，易忽视M >0.

对数式的运算

1．对数的概念

一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．

2．对数的性质与运算法则

(1)对数的运算法则

如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：

①loga(MN)＝logaM＋logaN；

②loga＝logaM－logaN；

③logaMn＝nlogaM (n∈R)．

(2)对数的性质

①负数和零没有对数；

②loga1＝0，logaa＝1(a>0，且a≠1)；

③＝N(a>0，a≠1，且N>0)；

④logaaN＝N(a>0，且a≠1)．

(3)对数的换底公式

logab＝(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)．

对数运算的一般思路

(1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算性质化简合并．

(2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．

【典例】

1．(2013·陕西高考)设a，b，c均为不等于1的正实数， 则下列等式中恒成立的是(　　)

A．logab·logcb＝logca　　　 B．logab·logca＝logcb

C．loga(bc)＝logab·logac   D．loga(b＋c)＝logab＋logac

解析：选B　利用对数的换底公式进行验证，logab·logca＝·logca＝logcb，则B对．

2．计算下列各题：

(1)lg＋lg 70－lg 3－；

(2)log3·log5[4－(3)－7log72]．

解：(1)原式＝lg －＝lg 10－＝1－|lg 3－1|＝lg 3.

(2)原式＝log3 ·log5[2log210－(3)－7log72]

＝·log5(10－3－2)

＝·log55＝－.

对数函数的图象及应用

对数函数图象的特点[来源:Z|xx|k.Com]

(1)当a>1时，对数函数的图象呈上升趋势；

当0<a<1时，对数函数的图象呈下降趋势．

(2)对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，，函数图象只在第一、四象限．

【易错警示】

对数函数的性质

(1)定义域为(0，＋∞)；

(2)值域为R；

(3)过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0；

(4)当a>1时，在(0，＋∞)上是增函数；当0<a<1时，在(0，＋∞)上是减函数；[来源:学+科+网Z+X+X+K]

【典例】

例1　(1)已知函数f (x)＝loga(2x＋b－1)(a>0，a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是(　　)

A．0<a－1<b<1   B．0<b<a－1<1

C．0<b－1<a<1   D．0<a－1<b－1<1

答案　A

解析　由函数图象可知，f (x)为单调递增函数，故a>1.函数图象与y轴的交点坐标为(0，logab)，由函数图象可知－1<logab<0，解得<b<1.

综上有0<<b<1.

(2)方程4x＝logax在上有解，则实数a的取值范围为__________．

答案　

解析　若方程4x＝logax在上有解，则函数y＝4x和函数y＝logax在上有交点，

由图象知解得0<a≤.

4x<logax在上恒成立，则实数a的取值范围是________．

答案　

解析　当0<x≤时，函数y＝4x的图象在函数y＝logax图象的下方．又当x＝时，＝2，即函数y＝4x的图象过点.把点代入y＝logax，得a＝.若函数y＝4x的图象在函数y＝logax图象的下方，则需<a<1(如图所示)．

当a>1时，不符合题意，舍去．

所以实数a的取值范围是.[来源:学科网ZXXK]

  比较指数式、对数式的大小

解决对数函数综合问题时，无论是讨论函数的性质，还是利用函数的性质：

(1)要分清函数的底数是a∈(0,1)，还是a∈(1，＋∞)；

(2)确定函数的定义域，无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质，都要在其定义域上进行；

(3)如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误．

(1)比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也可用数形结合的方法．

(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.

【典例】

例3 已知函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)．

(1)若f(1)＝1，求f(x)的单调区间；

(2)是否存在实数a，使f(x)的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

解：(1)∵f(1)＝1，∴log4(a＋5)＝1，因此a＋5＝4，a＝－1，[来源:学科网]

这时f(x)＝log4(－x2＋2x＋3)．

由－x2＋2x＋3>0得－1<x<3，函数f(x)的定义域为(－1,3)．

令g(x)＝－x2＋2x＋3，则g(x)在(－1,1)上递增，在(1,3)上递减．

又y＝log4x在(0，＋∞)上递增，所以f(x)的单调递增区间是(－1,1)，递减区间是(1,3)．[来源:学科网ZXXK]

(2)假设存在实数a使f(x)的最小值为0，则h(x)＝ax2＋2x＋3应有最小值1，

因此应有 解得a＝.故存在实数a＝，使f(x)的最小值为0.