考点12 指数与指数函数（考点详解）-备战2022年新高考数学一轮复习考点微专题学案

考点12 指数与指数函数

考试要求　1.通过对有理数指数幂a(a>0，且a≠1；m，n为整数，且n>0)、实数指数幂ax(a>0，且a≠1；x∈R)含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质；2.通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念；3.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点.

   在指数函数的单调性上常常结合指数的运算性质进行命题，经常和二次函数、一次函数等函数综合考查考生对指数的运算处理和函数的基本性质的掌握上。

本节内容在高考中属于知识性考察范围，主要考查指数函数以及有它复合而成的函数的图象和性质，大多涉及比较大小，奇偶性，过定点，点调性及求最值。预计在2021年高考中，指数函数与对数函数和分段函数综合仍是重点和热点。

一、指数幂的运算；

二、指数函数的图象及应用；

三、指数函数的性质及应用。

【易错警示】

 (1)＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．

(2)有理数指数幂的运算性质：aras＝ar＋s，(ar)s＝ars，(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q.

(3)画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，.

(4)在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象越高，底数越大.

（5）对与复合函数有关的问题，要弄清楚复合函数由哪些基本初等函数复合而成，并且一定要注意函数的定义域.

（6）对可化为a2x＋b·ax＋c＝0或a2x＋b·ax＋c≥0(≤0)形式的方程或不等式，常借助换元法解题，但应注意换元后“新元”的范围.

指数幂的运算

1.根式

(1)概念：式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.

(2)性质：()n＝a(a使有意义)；当n为奇数时，＝a，当n为偶数时，＝|a|＝

2.分数指数幂

(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是a－＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.[来源:学科网ZXXK]

(2)有理指数幂的运算性质：aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q.

1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：(1)必须同底数幂相乘，指数才能相加；(2)运算的先后顺序.

2.当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.

3.运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.

【典例】

【例1】 化简下列各式：

(1)＋2－2·－(0.01)0.5；

(2)(a>0，b>0).

解 (1)原式＝1＋×－

＝1＋×－＝1＋－＝.

（2）原式＝＝a＋－1＋b1＋－2－＝.

例2.计算

【答案】-45

指数函数的图象及应用

指数函数及其性质

(1)概念：函数y＝ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数.

(2)指数函数的图象与性质

【易错警示】

对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到.特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.

【典例】

【例3】 (1)不论a为何值，函数y＝(a－1)2x－恒过定点，则这个定点的坐标是(　　)

A.    B.

C.    D.

(2)若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________.

解析　(1)y＝(a－1)2x－＝a－2x，令2x－＝0，得x＝－1，

故函数y＝(a－1)2x－恒过定点.

(2)在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝b的图象，如图所示.

∴当0<b<2时，两函数图象有两个交点，从而函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点.

∴b的取值范围是(0，2).

答案　(1)C　(2)(0，2)

指数函数的性质及应用

比较指数式的大小的方法是：(1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；(2)不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小.

【知识拓展】

1.根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算.

2.判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x＝1得到底数的值再进行比较.

3.指数函数的单调性取决于底数a的大小，当底数a与1的大小关系不确定时应分0<a<1和a>1两种情况分类讨论.

求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断.

【易错提醒】

在研究指数型函数的单调性时，当底数a与“1”的大小关系不确定时，要分类讨论.

【典例】

角度1　指数函数的单调性

【例4－1】 (1)下列各式比较大小正确的是(　　)

A.1.72.5>1.73    B.0.6－1>0.62

C.0.8－0.1>1.250.2    D.1.70.3<0.93.1

(2)设函数f(x)＝若f(a)<1，则实数a的取值范围是________.

解析　(1)A中，∵函数y＝1.7x在R上是增函数，2.5<3，

∴1.72.5<1.73，错误；

B中，∵y＝0.6x在R上是减函数，－1<2，

∴0.6－1>0.62，正确；

C中，∵(0.8)－1＝1.25，

∴问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小.

∵y＝1.25x在R上是增函数，0.1<0.2，

∴1.250.1<1.250.2，即0.8－0.1<1.250.2，错误；

D中，∵1.70.3>1, 0<0.93.1<1，

∴1.70.3>0.93.1，错误.

(2)当a<0时，原不等式化为－7<1，

则2－a<8，解之得a>－3，所以－3<a<0.

当a≥0时，则<1，0≤a<1.

综上知，实数a的取值范围是(－3，1).

答案　(1)B　(2)(－3，1)

角度2　与指数函数有关的复合函数的单调性

【例4－2】 (1)已知函数f(x)＝2|2x－m|(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上是增加的，则m的取值范围是______.

(2)若函数f(x)＝的值域是，则f(x)的单调递增区间是________.

解析　(1)令t＝|2x－m|，则t＝|2x－m|在区间上是增加的，在区间上是减少的.而y＝2t在R上是增加的，所以要使函数f(x)＝2|2x－m|在[2，＋∞)上是增加的，则有≤2，即m≤4，所以m的取值范围是(－∞，4].

(2)令g(x)＝ax2＋2x＋3，

由于f(x)的值域是，

所以g(x)的值域是[2，＋∞).

因此有解得a＝1，

这时g(x)＝x2＋2x＋3，f(x)＝.

由于g(x)的单调递减区间是(－∞，－1]，

所以f(x)的单调递增区间是(－∞，－1].

答案　(1)(－∞，4]　(2)(－∞，－1]

角度3　函数的最值问题　易错警示

【例4－3】 如果函数y＝a2x＋2ax－1(a>0，且a≠1)在区间[－1，1]上的最大值是14，则a的值为________.

解析　令ax＝t，则y＝a2x＋2ax－1＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2.当a>1时，因为x∈[－1，1]，所以t∈，又函数y＝(t＋1)2－2在上单调递增，所以ymax＝(a＋1)2－2＝14，解得a＝3(负值舍去).当0<a<1时，因为x∈[－1，1]，所以t∈，又函数y＝(t＋1)2－2在上单调递增，则ymax＝－2＝14，解得a＝(负值舍去).综上，a＝3或a＝.

答案　3或

【例5】若存在，使得不等式成立，则实数______．

【答案】[−4,5]

【解析】存在x∈[−2,−1],使得不等式(m2−m)4x−2x−1⩽0成立，

∴反面为对任意的x∈[−2,−1],不等式(m2−m)4x−2x−1>0恒成立，∴(m2−m)>2x+14x=12x+14x，令t=12x,t∈[2,4]，

∵12x+14x=t2+t⩽20，∴m2−m−20>0，∴m>5或m<−4，故m的范围为[−4,5]

变式：若函数在上存在零点，则正实数的取值范围是（   ）

（A）     （B）     （C）     （D）

【答案】A

【解析】，在上存在零点等价于有解，，，即，，故选A.

【例6】已知函数，（其中为常数且）的图象经过点

（1）求的解析式

（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围

【解析】（1）则，   

（2）在上恒成立等价于在上恒成立

令

，当

所以m的取值范围为．