考点09 函数的奇偶性与周期性（考点专练）-备战2022年新高考数学一轮复习考点微专题

这是一份考点09 函数的奇偶性与周期性（考点专练）-备战2022年新高考数学一轮复习考点微专题，共13页。试卷主要包含了定义等内容，欢迎下载使用。

考点09 函数的奇偶性与周期性

判断函数的奇偶性
1.(2018·全国Ⅲ)已知函数f (x)＝ln(－x)＋1，f (a)＝4，则f (－a)＝________.
答案　－2
解析　∵f (x)＋f (－x)＝ln(－x)＋1＋ln(＋x)＋1＝ln(1＋x2－x2)＋2＝2，
∴f (a)＋f (－a)＝2，∴f (－a)＝－2.
2.（1）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是(　　)
A.y＝x＋sin 2x B.y＝x2－cos x
C.y＝2x＋ D.y＝x2＋sin x
(2)已知f(x)＝，g(x)＝，则下列结论正确的是(　　)
A.f(x)＋g(x)是偶函数 B.f(x)＋g(x)是奇函数
C.f(x)g(x)是奇函数 D.f(x)g(x)是偶函数
解析　(1)对于A，定义域为R，f(－x)＝－x＋sin 2(－x)＝－(x＋sin 2x)＝－f(x)，为奇函数；对于B，定义域为R，f(－x)＝(－x)2－cos(－x)＝x2－cos x＝f(x)，为偶函数；对于C，定义域为R，f(－x)＝2－x＋＝2x＋＝f(x)，为偶函数；对于D，y＝x2＋sin x既不是偶函数也不是奇函数.
(2)令h(x)＝f(x)＋g(x)，
因为f(x)＝，g(x)＝，
所以h(x)＝＋＝，
定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞).
因为h(－x)＝＝＝h(x)，
所以h(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数，
令F(x)＝f(x)g(x)＝，
定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞).
所以F(－x)＝＝，
因为F(－x)≠F(x)且F(－x)≠－F(x)，
所以F(x)＝g(x)f(x)既不是奇函数也不是偶函数.
答案　(1)D　(2)A

函数的周期性及其应用
(1)(2019·南充二模)设f(x)是周期为4的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝x(1＋x)，则f＝(　　)
A.－ B.－ C. D.
(2)(2017·山东卷)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2).若当x∈[－3，0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝________.
解析　(1)∵f(x)是周期为4的奇函数，
∴f＝－f＝－f
又0≤x≤1时，f(x)＝x(1＋x)
故f＝－f＝－＝－.
(2)∵f(x＋4)＝f(x－2)，
∴f[(x＋2)＋4]＝f[(x＋2)－2]，即f(x＋6)＝f(x)，
∴f(919)＝f(153×6＋1)＝f(1)，
又f(x)在R上是偶函数，
∴f(1)＝f(－1)＝6－(－1)＝6，即f(919)＝6.
答案　(1)A　(2)6

函数性质的综合运用
(1)(2019·重庆九校模拟)已知奇函数f(x)的图象关于直线x＝3对称，当x∈[0，3]时，f(x)＝－x，则f(－16)＝________.
(2)若函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是单调递增函数.如果实数t满足f(ln t)＋f≤2f(1)，那么t的取值范围是________.
解析　(1)根据题意，函数f(x)的图象关于直线x＝3对称，则有f(x)＝f(6－x)，
又由函数为奇函数，则f(－x)＝－f(x)，
则有f(x)＝－f(6－x)＝f(x－12)，
则f(x)的最小正周期是12，
故f(－16)＝f(－4)＝－f(4)＝－f(2)＝－(－2)＝2.
(2)由于函数f(x)是定义在R上的偶函数，
所以f(ln t)＝f，
由f(ln t)＋f≤2f(1)，
得f(ln t)≤f(1).[来源:Z#xx#k.Com]
又函数f(x)在区间[0，＋∞)上是单调递增函数，
所以|ln t|≤1，即－1≤ln t≤1，故≤t≤e.
答案　(1)2　(2)



1已知奇函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝0，
若f(x－1)>0，则x的取值范围为(　　)
A.{x|02} B.{x|x<0或x>2}
C.{x|x<0或x>3} D.{x|x<－1或x>1}
2.定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且在[0，1]上是减函数，则有(　　)
A.f B.f C.f D.f 3.已知函数f (x)的定义域为R，当x∈[－2,2]时，f (x)单调递减，且函数y＝f (x＋2)为偶函数，则下列结论正确的是(　　)
A．f (π) B．f (π) C．f () D．f () 4.下列函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是(　　)
A．f (x)＝x＋sin 2x B．f (x)＝x2－cos x
C．f (x)＝3x－ D．f (x)＝x2＋tan x
5.设f (x)＝ex＋e－x，g(x)＝ex－e－x，f (x)，g(x)的定义域均为R，下列结论错误的是(　　)
A．|g(x)|是偶函数 B．f (x)g(x)是奇函数
C．f (x)|g(x)|是偶函数 D．f (x)＋g(x)是奇函数
6.设函数f (x)在[1，＋∞)上为增函数，f (3)＝0，且g(x)＝f (x＋1)为偶函数，则不等式g(2－2x)<0的解集为________．
7.(多填题、新定义题)定义：函数f(x)在闭区间[a，b]上的最大值与最小值之差为函数f(x)的极差.若定义在区间[－2b，3b－1]上的函数f(x)＝x3－ax2－(b＋2)x是奇函数，则a＋b＝________，函数f(x)的极差为________.
8.设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f(x＋1)＝f(x－1)，已知当x∈[0，1]时，f(x)＝2x，则有
①2是函数f(x)的周期；
②函数f(x)在(1，2)上是减函数，在(2，3)上是增函数；
③函数f(x)的最大值是1，最小值是0.
其中所有正确命题的序号是________.
9.对于函数y＝f (x)，若存在x0，使f (x0)＋f (－x0)＝0，则称点(x0，f (x0))是曲线f (x)的“优美点”．已知f (x)＝若曲线f (x)存在“优美点”，则实数k的取值范围为________．
10．若f (x)是定义在(－1,1)上的奇函数，且当x∈[0,1)时f (x)为增函数，求不等式f (x)＋f <0的解集．




1.下列函数中，既是偶函数，又在(0，1)上单调递增的函数是(　　)
A.y＝|log3x| B.y＝x3
C.y＝e|x| D.y＝cos |x|
2.设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)＝ 则g(－8)＝(　　)
A.－2 B.－3 C.2 D.3
3.已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(－2，0)时，f(x)＝2x2，则f(2 019)等于(　　)
A.－2 B.2 C.－98 D.98
4.已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x).若a＝g(－log25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为(　　)
A.a C.b 5.(2019·山东、湖北部分重点中学模拟)已知定义在R上的函数f(x)在[1，＋∞)上单调递减，且f(x＋1)是偶函数，不等式f(m＋2)≥f(x－1)对任意的x∈[－1，0]恒成立，则实数m的取值范围是(　　)
A.[－3，1] B.[－4，2]
C.(－∞，－3]∪[1，＋∞) D.(－∞，－4]∪[2，＋∞)
6.若函数f(x)＝xln(x＋)为偶函数，则a＝________.[来源:学科网]
7.若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0 8.设函数f(x)＝ln(1＋|x|)－，则使得f(x)＞f(2x－1)成立的x的取值范围是________.
9.已知函数f(x)＝是奇函数.
(1)求实数m的值；
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围.
10.设函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意实数x都有f＝－f成立.
(1)证明y＝f(x)是周期函数，并指出其周期；
(2)若f(1)＝2，求f(2)＋f(3)的值；
(3)若g(x)＝x2＋ax＋3，且y＝|f(x)|·g(x)是偶函数，求实数a的值.
11.设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.
(1)求f(π)的值；
(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积.
12.判断下列函数的奇偶性：
(1)f (x)＝x3＋x，x∈[－1,4]；
(2)f (x)＝ln ；
(3)f (x)＝＋(a>0，且a≠1)；
(4)f (x)＝

拓展练
1.答案　A
解析　由题意知函数f(x)在(－∞，0)上单调递增，且f(－1)＝0，
不等式f(x－1)>0⇔f(x－1)>f(1)或f(x－1)>f(－1).
∴x－1>1或0>x－1>－1，
解之得x>2或0 2.答案　C
解析　由题设知：f(x)＝－f(x－2)＝f(2－x)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝1对称；函数f(x)是奇函数，其图象关于坐标原点对称，由于函数f(x)在[0，1]上是减函数，所以f(x)在[－1，0]上也是减函数，综上函数f(x)在[－1，1]上是减函数；
又f＝f＝f，－<<，
∴f 即f 3.答案　C
解析　∵y＝f (x＋2)为偶函数，
∴f (－x＋2)＝f (x＋2)，
∴f (3)＝f (1)，f (π)＝f (4－π)．
∵0<4－π<1<，
当x∈[－2,2]时，f (x)单调递减，
∴f (4－π)>f (1)>f ()，
∴f () 4.答案　D
解析　对于选项A，函数的定义域为R，f (－x)＝－x＋sin 2(－x)＝－(x＋sin 2x)＝－f (x)，所以f (x)＝x＋sin 2x为奇函数；对于选项B，函数的定义域为R，f (－x)＝(－x)2－cos(－x)＝x2－cos x＝f (x)，所以f (x)＝x2－cos x为偶函数；对于选项C，函数的定义域为R，f (－x)＝3－x－＝－＝－f (x)，所以f (x)＝3x－为奇函数；只有f (x)＝x2＋tan x既不是奇函数也不是偶函数．故选D.
5.答案　D
解析　f (－x)＝e－x＋ex＝f (x)，f (x)为偶函数．
g(－x)＝e－x－ex＝－g(x)，g(x)为奇函数．
|g(－x)|＝|－g(x)|＝|g(x)|，|g(x)|为偶函数，A正确；
f (－x)g(－x)＝f (x)[－g(x)]＝－f (x)g(x)，
所以f (x)g(x)为奇函数，B正确；
f (－x)|g(－x)|＝f (x)|g(x)|，
所以f (x)|g(x)|是偶函数，C正确；
f (x)＋g(x)＝2ex，
f (－x)＋g(－x)＝2e－x≠－[f (x)＋g(x)]，
所以f (x)＋g(x)不是奇函数，D错误，故选D.
6.答案　(0,2)
解析　由已知g(x)在[0，＋∞)上为增函数，g(2)＝0，
又g(x)为偶函数，
∴g(2－2x)<0可化为g(2－2x) ∴|2－2x|<2，∴－2<2x－2<2，解得0 7.答案　1　4
解析　由f(x)在[－2b，3b－1]上为奇函数，所以区间关于原点对称，故－2b＋3b－1＝0，b＝1，又由f(－x)＋f(x)＝0可求得a＝0，所以a＋b＝1.又f(x)＝x3－3x，f′(x)＝3x2－3，易知f(x)在(－2，－1)，(1，2)上单调递增，f(x)在(－1，1)上单调递减，所以在[－2，2]上的最大值、最小值分别为f(－1)＝f(2)＝2，f(1)＝f(－2)＝－2，所以极差为4.
8.答案　①②
解析　在f(x＋1)＝f(x－1)中，令x－1＝t，
则有f(t＋2)＝f(t)，
因此2是函数f(x)的周期，故①正确；
当x∈[0，1]时，f(x)＝2x是增函数，
根据函数的奇偶性知，f(x)在[－1，0]上是减函数，根据函数的周期性知，函数f(x)在(1，2)上是减函数，在(2，3)上是增函数，故②正确；
由②知，f(x)在[0，2]上的最大值f(x)max＝f(1)＝2，f(x)的最小值f(x)min＝f(0)＝f(2)＝20＝1且f(x)是周期为2的周期函数，∴f(x)的最大值是2，最小值是1，故③错误.
9.答案　(－∞，2－2]
解析　由“优美点”的定义，可知若点(x0，f (x0))是曲线y＝f (x)的“优美点”，则点(－x0，－f (x0))也在曲线y＝f (x)上．如图所示作出函数y＝x2＋2x(x<0)的图象，然后作出其关于原点对称的图象，此图象对应的函数解析式为y＝－x2＋2x(x>0)．
设过定点(0,2)的直线y＝k1x＋2与曲线y＝f (x)＝－x2＋2x(x>0)切于点A(x1，f (x1))，[来源:学&科&网]
则k1＝－2x1＋2＝，
解得x1＝或x1＝－(舍去)，
所以k1＝－2＋2.
由图可知，若曲线y＝f (x)存在“优美点”，则k≤2－2.

10.解　∵f (x)为奇函数，且在[0,1)上为增函数，[来源:学科网ZXXK]
∴f (x)在(－1,0)上也是增函数．
∴f (x)在(－1,1)上为增函数．
f (x)＋f <0⇔f (x)<－f ＝f ⇔⇔－ ∴不等式f (x)＋f <0的解集为


模拟练
1.答案　C
解析　对于A选项，函数定义域是(0，＋∞)，故是非奇非偶函数，显然B项中，y＝x3是奇函
数.
对于C选项，函数的定义域是R，是偶函数，且当x∈(0，＋∞)时，函数是增函数，故在(0，1)上单调递增，正确.
对于D选项，y＝cos |x|在(0，1)上单调递减.
2.答案　A
解析　法一　当x<0时，－x>0，且f(x)为奇函数，
则f(－x)＝log3(1－x)，所以f(x)＝－log3(1－x).
因此g(x)＝－log3(1－x)，x<0，
故g(－8)＝－log39＝－2.
法二　由题意知，g(－8)＝f(－8)＝－f(8)＝－log39＝－2.
3.答案　B
解析　由f(x＋4)＝f(x)知，f(x)是周期为4的函数，
f(2 019)＝f(504×4＋3)＝f(3)，
又f(x＋4)＝f(x)，∴f(3)＝f(－1)，
由－1∈(－2，0)得f(－1)＝2，
∴f(2 019)＝2.
4.答案　C
解析　法一　易知g(x)＝xf(x)在R上为偶函数，
∵奇函数f(x)在R上是增函数，且f(0)＝0.
∴g(x)在(0，＋∞)上是增函数.
又3>log25.1>2>20.8，且a＝g(－log25.1)＝g(log25.1)，
∴g(3)>g(log25.1)>g(20.8)，则c>a>b.[来源:学科网]
法二　(特殊化)取f(x)＝x，则g(x)＝x2为偶函数且在(0，＋∞)上单调递增，又3>log25.1>20.8，
从而可得c>a>b.
5.答案　A
解析　因为f(x＋1)是偶函数，所以f(－x＋1)＝f(x＋1)，所以f(x)的图象关于x＝1对称，由f(m＋2)≥f(x－1)得|(m＋2)－1|≤|(x－1)－1|，即|m＋1|≤|x－2|在x∈[－1，0]恒成立，所以|m＋1|≤|x－2|min，所以|m＋1|≤2，解得－3≤m≤1.
6.答案　1
解析　f(x)为偶函数，则y＝ln(x＋)为奇函数，
所以ln(x＋)＋ln(－x＋)＝0，
则ln(a＋x2－x2)＝0，∴a＝1.
7.答案　－2
解析　∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0，
又f(x)在R上的周期为2，
∴f(2)＝f(0)＝0.
又f＝f＝－f＝－4＝－2，
∴f＋f(2)＝－2.
8.答案　
解析　由f(x)＝ln(1＋|x|)－，知f(x)为R上的偶函数，于是f(x)＞f(2x－1)即为f(|x|)＞f(|2x－1|).
当x≥0时，f(x)＝ln(1＋x)－，所以f(x)为[0，＋∞)上的增函数，则由f(|x|)＞f(|2x－1|)得|x|＞|2x－1|，两边平方得3x2－4x＋1＜0，解得＜x＜1.
9.解　(1)设x<0，则－x>0，
所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.
又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x).
于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，
所以m＝2.
(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，
结合f(x)的图象知所以1 故实数a的取值范围是(1，3].
10.解　(1)由f＝－f，
且f(－x)＝－f(x)，知f(3＋x)＝f＝
－f＝－f(－x)＝f(x)，
所以y＝f(x)是周期函数，且T＝3是其一个周期.
(2)因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，
且f(－1)＝－f(1)＝－2，又T＝3是y＝f(x)的一个周期，所以f(2)＋f(3)＝f(－1)＋f(0)＝－2＋0＝－2.
(3)因为y＝|f(x)|·g(x)是偶函数，
且|f(－x)|＝|－f(x)|＝|f(x)|，所以|f(x)|为偶函数.
故g(x)＝x2＋ax＋3为偶函数，即g(－x)＝g(x)恒成立，
于是(－x)2＋a(－x)＋3＝x2＋ax＋3恒成立.
于是2ax＝0恒成立，所以a＝0.
11.解　(1)由f(x＋2)＝－f(x)得，
f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，
所以f(x)是以4为周期的周期函数，
所以f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4.
(2)由f(x)是奇函数且f(x＋2)＝－f(x)，
得f[(x－1)＋2]＝－f(x－1)＝f[－(x－1)]，
即f(1＋x)＝f(1－x).
故知函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称.
又当0≤x≤1时，f(x)＝x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如下图所示.

当－4≤x≤4时，f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S，则S＝4S△OAB＝4×＝4.
12.解　(1)∵f (x)＝x3＋x，x∈[－1,4]的定义域不关于原点对称，∴f (x)既不是奇函数也不是偶函数．
(2)f (x)的定义域为(－2,2)，
f (－x)＝ln ＝－ln ＝－f (x)，
∴函数f (x)为奇函数．
(3)∵f (x)的定义域为{x|x∈R，且x≠0}，
其定义域关于原点对称，并且有
f (－x)＝＋＝＋
＝＋＝－＋
＝－1＋＋
＝－＝－f (x)．
即f (－x)＝－f (x)，∴f (x)为奇函数．
(4)显然函数f (x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．
∵当x<0时，－x>0，
则f (－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f (x)；
当x>0时，－x<0，
则f (－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f (x)；
综上可知，对于定义域内的任意x，总有f (－x)＝－f (x)，
∴函数f (x)为奇函数．