考点09 函数的奇偶性与周期性（考点详解）-备战2022年新高考数学一轮复习考点微专题学案

考点09 函数的奇偶性与周期性

考试要求　1.结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义；2.结合三角函数，了解周期性的概念和几何意义.

本部分常常命制高考试题，难度中等，常结合分段函数、不等式等内容进行综合考查，难度中等。

一、判断函数的奇偶性；

二、函数的周期性及其应用；

三、函数性质的综合运用。

【易错警示】

1.f(0)＝0既不是f(x)是奇函数的充分条件，也不是必要条件.

2.函数f(x)满足的关系f(a＋x)＝f(b－x)表明的是函数图象的对称性，函数f(x)满足的关系f(a＋x)＝f(b＋x)(a≠b)表明的是函数的周期性，在使用这两个关系时不要混淆.

【规律总结】1.(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.

(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|).

2.奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.

3.函数周期性常用结论

对f(x)定义域内任一自变量的值x：

(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0).

(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0).

(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0).

4.对称性的三个常用结论

(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.

(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.

(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)关于点(b，0)中心对称.

判断函数的奇偶性

函数的奇偶性

【知识拓展】

奇函数在对称区间内不改变它的单调性，偶函数在对称区间内恰改变函数的单调性。

判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：

(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；

(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立.

【易错警示】

1.判断函数的奇偶性，首先应该判断函数定义域是否关于原点对称.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件.

2.利用函数奇偶性可以解决以下问题：

(1)求函数值；(2)求解析式；(3)求函数解析式中参数的值；(4)画函数图象，确定函数单调性.

【典例】

【例1】 判断下列函数的奇偶性：

(1)f(x)＝＋；

(2)f(x)＝；

(3)f(x)＝

解　(1)由得x2＝3，解得x＝±，

即函数f(x)的定义域为{－，}，

从而f(x)＝＋＝0.

因此f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，

∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数.

(2)由得定义域为(－1，0)∪(0，1)，关于原点对称.

∴x－2<0，∴|x－2|－2＝－x，∴f(x)＝.

又∵f(－x)＝＝－＝－f(x)，

∴函数f(x)为奇函数.

(3)显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称.

∵当x<0时，－x>0，

则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；

当x>0时，－x<0，

则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)；

综上可知：对于定义域内的任意x，总有f(－x)＝－f(x)成立，∴函数f(x)为奇函数.

函数的周期性及其应用

函数的周期性

(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.[来源:Zxxk.Com]

(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.

【易错警示】

在解决具体问题时，要注意结论“若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期”的应用.

【典例】

【例2】 (1)(一题多解)(2018·全国Ⅱ卷)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x).若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝(　　)

A.－50   B.0   C.2   D.50

(2)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0，6]上与x轴的交点个数为________.[来源:学#科#网Z#X#X#K]

解析　(1)法一　∵f(x)在R上是奇函数，且f(1－x)＝f(1＋x).

∴f(x＋1)＝－f(x－1)，即f(x＋2)＝－f(x).

因此f(x＋4)＝f(x)，则函数f(x)是周期为4的函数，

由于f(1－x)＝f(1＋x)，f(1)＝2，

故令x＝1，得f(0)＝f(2)＝0

令x＝2，得f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2，

令x＝3，得f(4)＝f(－2)＝－f(2)＝0，

故f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝2＋0－2＋0＝0，

所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12×0＋f(1)＋f(2)＝2.

法二　取一个符合题意的函数f(x)＝2sin，则结合该函数的图象易知数列{f(n)}(n∈N*)是以4为周期的周期数列.

故f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＋f(2)＝12×[2＋0＋(－2)＋0]＋2＋0＝2.

(2)因为当0≤x<2时，f(x)＝x3－x.又f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且f(0)＝0，

则f(6)＝f(4)＝f(2)＝f(0)＝0.

又f(1)＝0，∴f(3)＝f(5)＝f(1)＝0，

故函数y＝f(x)的图象在区间[0，6]上与x轴的交点有7个.

答案　(1)C　(2)7

  函数性质的综合运用

周期性与奇偶性结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.周期性、奇偶性与单调性结合.解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.

【典例】

角度1　函数单调性与奇偶性

【例3－1】 (2020·石家庄模拟)设f(x)是定义在[－2b，3＋b]上的偶函数，且在[－2b，0]上为增函数，则f(x－1)≥f(3)的解集为(　　)

A.[－3，3]   B.[－2，4]   C.[－1，5]   D.[0，6]

解析　因为f(x)是定义在[－2b，3＋b]上的偶函数，

所以有－2b＋3＋b＝0，解得b＝3，

由函数f(x)在[－6，0]上为增函数，得f(x)在(0，6]上为减函数.故f(x－1)≥f(3)⇒f(|x－1|)≥f(3)⇒|x－1|≤3，故－2≤x≤4.

答案　B

规律方法　1.函数单调性与奇偶性结合.注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性.

2.本题充分利用偶函数的性质f(x)＝f(|x|)，避免了不必要的讨论，简化了解题过程.

角度2　函数的奇偶性与周期性

【例3－2】 (1)(2020·山东省实验中学检测)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋5)＝f(x)，且当x∈时，f(x)＝x3－3x，则f(2 018)＝(　　)

A.2   B.－18   C.18   D.－2

(2)(2020洛阳模拟)已知函数y＝f(x)满足y＝f(－x)和y＝f(x＋2)是偶函数，且f(1)＝，设F(x)＝f(x)＋f(－x)，则F(3)＝(　　)

A.   B.   C.π   D.[来源:学,科,网Z,X,X,K]

解析　(1)∵f(x)满足f(x＋5)＝f(x)，

∴f(x)是周期为5的函数，

∴f(2 018)＝f(403×5＋3)＝f(3)＝f(5－2)＝f(－2)，

∵f(x)是奇函数，且当x∈时，f(x)＝x3－3x，

∴f(－2)＝－f(2)＝－(23－3×2)＝－2，

故f(2 018)＝－2.

(2)由y＝f(－x)和y＝f(x＋2)是偶函数知f(－x)＝f(x)，且f(x＋2)＝f(－x＋2)，则f(x＋2)＝f(x－2).

∴f(x＋4)＝f(x)，则y＝f(x)的周期为4.

所以F(3)＝f(3)＋f(－3)＝2f(3)＝2f(－1)＝2f(1)＝.

答案　(1)D　(2)B

角度3　奇函数的最值性质

已知函数f(x)是定义在区间D上的奇函数，则对任意的x∈D，都有f(x)＋f(－x)＝0.特别地，若奇函数f(x)在D上有最值，则f(x)max＋f(x)min＝0，且若0∈D，则f(0)＝0.

【例3－3】设函数f(x)＝的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________.

解析　显然函数f(x)的定义域为R，

f(x)＝＝1＋，

设g(x)＝，则g(－x)＝－g(x)，

∴g(x)为奇函数，

由奇函数图象的对称性知g(x)max＋g(x)min＝0，

∴M＋m＝[g(x)＋1]max＋[g(x)＋1]min＝2＋g(x)max＋g(x)min＝2.

答案　2

角度4抽象函数的周期性

(1)如果f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中一个周期T＝2a.

(2)如果f(x＋a)＝(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.

(3)如果f(x＋a)＋f(x)＝c(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.

【例3－4】已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，有f(x＋3)＝－f(x)，且当x∈(0，3)时，f(x)＝x＋1，则f(－2 017)＋f(2 018)＝(　　)

A.3   B.2   C.1   D.0

解析　因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，

所以f(－2 017)＝－f(2 017)，

因为当x≥0时，有f(x＋3)＝－f(x)，

所以f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，即当x≥0时，自变量的值每增加6，对应函数值重复出现一次.

又当x∈(0，3)时，f(x)＝x＋1，

∴f(2 017)＝f(336×6＋1)＝f(1)＝2，

f(2 018)＝f(336×6＋2)＝f(2)＝3.

故f(－2 017)＋f(2 018)＝－f(2 017)＋3＝1.

答案　C

角度5抽象函数的对称性

已知函数f(x)是定义在R上的函数.

(1)若f(a＋x)＝f(b－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝对称，特别地，若f(a＋x)＝f(a－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.

(2)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(a－x)＝0，即f(x)＝－f(2a－x)，则f(x)的图象关于点(a，0)对称.

【例3－5】 (2020·日照调研)函数y＝f(x)对任意x∈R都有f(x＋2)＝f(－x)成立，且函数y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，f(1)＝4，则f(2 016)＋f(2 017)＋f(2 018)的值为________.

解析　因为函数y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，[来源:Z,xx,k.Com]

所以函数y＝f(x)的图象关于(0，0)对称，

所以f(x)是R上的奇函数，

f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故f(x)的周期为4.

所以f(2 017)＝f(504×4＋1)＝f(1)＝4，

所以f(2 016)＋f(2 018)＝－f(2 014)＋f(2 014＋4)

＝－f(2 014)＋f(2 014)＝0，

所以f(2 016)＋f(2 017)＋f(2 018)＝4.

答案　4