考点08 函数的单调性与最值（考点详解）-备战2022年新高考数学一轮复习考点微专题学案

考点08 函数的单调性与最值

函数的单调性经常作为考试内容，是热点知识点之一，考查有关已知单调性求解某一参数的值或范围问题，多以客观题或填空题形式考查，考查难度小，属于基础题。

一、确定函数的单调性；

二、函数单调性的应用；

【易错警示】

1．在判断函数的单调性时，你还知道哪些等价结论？

提示　对∀x1，x2∈D，x1≠x2，>0⇔f (x)在D上是增函数；对∀x1，x2∈D，x1≠x2，(x1－x2)·[f (x1)－f (x2)]>0⇔f (x)在D上是增函数．减函数类似．

2．写出函数y＝x＋(a>0)的增区间．

提示　(－∞，－]和[，＋∞)．

确定函数的单调性

函数的单调性

(1)单调函数的定义

(2)单调区间的定义

如果函数y＝f (x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f (x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f (x)的单调区间．

【知识拓展】

连续函数在闭区间上一定存在最大值和最小值

确定函数单调性的四种方法

(1)定义法：利用定义判断．

(2)导数法：适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数．

(3)图象法：由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．

(4)性质法：利用函数单调性的性质，尤其是利用复合函数“同增异减”的原则时，需先确定简单函数的单调性．

【易错警示】

1.(1)求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间，如例1(1).(2)单调区间不能用集合或不等式表达，且图象不连续的单调区间要用“和”“，”连接.

2.(1)函数单调性的判断方法有：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法.

(2)函数y＝f[g(x)]的单调性应根据外层函数y＝f(t)和内层函数t＝g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则.

【典例】

命题点1　求具体函数的单调区间

例1　(1)(2019·郴州质检)函数f (x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(　　)

A．(－∞，－2)   B．(－∞，1)

C．(1，＋∞)   D．(4，＋∞)

答案　D

解析　由x2－2x－8>0，得f (x)的定义域为{x|x>4或x<－2}．

设t＝x2－2x－8，则y＝ln t为增函数．

要求函数f (x)的单调递增区间，即求函数t＝x2－2x－8的单调递增区间(定义域内)．

∵函数t＝x2－2x－8在(4，＋∞)上单调递增，在(－∞，－2)上单调递减，

∴函数f (x)的单调递增区间为(4，＋∞)．

故选D.

(2)设函数f (x)＝g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的单调递减区间是__________．

答案　[0,1)

解析　由题意知g(x)＝该函数图象如图所示，其单调递减区间是[0,1)．

命题点2　判断或证明函数的单调性

例2　讨论函数f (x)＝(a>0)在(－∞，1)上的单调性．

解　方法一　∀x1，x2∈(－∞，1)，且x1<x2，

f (x)＝a＝a，

f (x1)－f (x2)＝a－a

＝，由于x1<x2<1，

∴x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0，

故当a>0时，f (x1)－f (x2)>0，

即f (x1)>f (x2)，

∴函数f (x)在(－∞，1)上单调递减．

方法二　f′(x)＝＝－，

∵(x－1)2>0，a>0，∴f′(x)<0，

故a>0时，f (x)在(－∞，1)上是减函数．

函数单调性的应用

1.函数的最值

2.函数单调性应用问题的常见类型及解题策略

(1)比较大小．

(2)求最值．

(3)解不等式．利用函数的单调性将“f”符号脱掉，转化为具体的不等式求解，应注意函数的定义域．

【拓展延伸】

求函数最值的四种常用方法

(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.

(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.

(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.

(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.

【典例】

命题点1　比较函数值的大小

例3　(1)若函数f (x)＝x2，设a＝log54，b＝，c＝，则f (a)，f (b)，f (c)的大小关系是(　　)

A．f (a)>f (b)>f (c)   B．f (b)>f (c)>f (a)

C．f (c)>f (b)>f (a)   D．f (c)>f (a)>f (b)

答案　D

解析　因为函数f (x)＝x2在(0，＋∞)上单调递增，而0<＝log53<log54<1<，所以f (b)<f (a)<f (c)．故选D.

(2)已知定义在R上的函数f (x)＝2|x－m|＋1(m∈R)为偶函数．记a＝f (log22)，b＝f (log24)，c＝f (2m)，则a，b，c的大小关系为(　　)

A．a<b<c   B．c<a<b

C．a<c<b   D．c<b<a

答案　B

解析　∵定义在R上的函数f (x)＝2|x－m|＋1(m∈R)为偶函数，∴m＝0，∴f (x)＝2|x|＋1，∴当x∈(－∞，0)时，f (x)是减函数，当x∈(0，＋∞)时，f (x)是增函数．∵a＝f (log22)＝f (1)，b＝f (log24)＝f (2)，c＝f (2m)＝f (0)，∴a，b，c的大小关系为c<a<b.

命题点2　求函数的最值

例4　(1)函数f (x)＝x－log2(x＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________．

答案　3

解析　由于y＝x在R上单调递减，y＝log2(x＋2)在[－1,1]上单调递增，所以f (x)在[－1,1]上单调递减，故f (x)在[－1,1]上的最大值为f (－1)＝3.

(2)(2020·深圳模拟)函数y＝的最大值为________．

答案　

解析　令＝t，则t≥2，∴x2＝t2－4，∴y＝＝，

设h(t)＝t＋，则h(t)在[2，＋∞)上为增函数，

∴h(t)min＝h(2)＝，∴y≤＝(x＝0时取等号)．即y最大值为.

命题点3　解函数不等式

例5　(1)已知函数f (x)＝若f (2－x2)>f (x)，则实数x的取值范围是________．

答案　(－2,1)

解析　根据函数f (x)的图象可知，f (x)是定义在R上的增函数．∴2－x2>x，∴－2<x<1.

(2)已知函数f (x)＝ln x＋2x，若f (x2－4)<2，则实数x的取值范围是______________．

答案　(－，－2)∪(2，)

解析　因为函数f (x)＝ln x＋2x在定义域(0，＋∞)上单调递增，且f (1)＝ln 1＋2＝2，所以由f (x2－4)<2得，f (x2－4)<f (1)，所以0<x2－4<1，解得－<x<－2或2<x<.

命题点4　求参数的取值范围

例6　(1)已知f (x)＝是(－∞，＋∞)上的减函数，则实数a的取值范围是(　　)

A．(0,1)   B.

C.   D.

答案　C

解析　由f (x)是减函数，得

∴≤a＜，∴实数a的取值范围是.

(2)已知函数f (x)＝若f (x)在(0，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为________．

答案　(1,2]

解析　由题意，得12＋a－2≤0，则a≤2，又y＝ax－a (x>1)是增函数，故a>1，所以a的取值范围为1<a≤2.

(3)已知函数y＝loga(2－ax)在[0,1]是减函数，则实数a的取值范围是________．

答案　(1,2)

解析　设u＝2－ax，

∵a>0且a≠1，

∴函数u在[0,1]上是减函数．

由题意可知函数y＝logau在[0,1]上是增函数，

∴a>1.又∵u在[0,1]上要满足u>0，

∴得a<2.

综上得1<a<2.