2021-2022学年八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）专题七 平行四边形中考真题专练（培优篇）（专项练习）

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专题七 平行四边形中考真题专练（培优篇）（专项练习） 一、单选题 1．（2018·四川达州·中考真题）如图，△ABC的周长为19，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为M，若BC=7，则MN的长度为（　　） A． B．2 C． D．3 2．（2018·四川攀枝花·中考真题）如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD，使B点落在点P处，折痕为EC，连结AP并延长AP交CD于F点，连结CP并延长CP交AD于Q点．给出以下结论： ①四边形AECF为平行四边形； ②∠PBA=∠APQ； ③△FPC为等腰三角形； ④△APB≌△EPC； 其中正确结论的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2012·四川德阳·中考真题）如图，点D是△ABC的边AB的延长线上一点，点F是边BC上的一个动点（不与点B重合）.以BD、BF为邻边作平行四边形BDEF，又APBE（点P、E在直线AB的同侧），如果，那么△PBC的面积与△ABC面积之比为【 】 A． B． C． D． 4．（2011·四川成都·中考真题）如图，①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含30°内角的菱形EFGH（不重叠无缝隙）．若①②③④四个平行四边形面积的和为14cm2，四边形ABCD面积是11cm2，则①②③④四个平行四边形周长的总和为（　　） A．48cm B．36cm C．24cm D．18cm 二、填空题 5．（2020·湖北武汉·中考真题）在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中，有下面的问题：如图，是平行四边形的对角线，点在上，，，则的大小是________． 6．（2018·江苏无锡·中考真题）如图，已知∠XOY=60°，点A在边OX上，OA=2．过点A作AC⊥OY于点C，以AC为一边在∠XOY内作等边三角形ABC，点P是△ABC围成的区域（包括各边）内的一点，过点P作PD∥OY交OX于点D，作PE∥OX交OY于点E．设OD=a，OE=b，则a+2b的取值范围是_____． 7．（2016·江苏常州·中考真题）如图，△APB中，AB=2，∠APB=90°，在AB的同侧作正△ABD、正△APE和正△BPC，则四边形PCDE面积的最大值是__． 8．（2011·河北·中考真题）如图,在□ABCD中，AB=3，AD=4，∠ABC=60°，过BC的中点E作EF⊥AB，垂足为点F，与DC的延长线相交于点H，则△DEF的面积是 . 9．（2010·广西钦州·中考真题）如图，在图（1）中，、、分别是的边、、的中点，在图（2）中，、、分别是的边、、的中点，…，按此规律，则第个图形中平行四边形的个数共有________个. 10．（2015·湖北十堰·中考真题）如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB为边向外作等边△ACD、等边△ABE，EF⊥AB，垂足为F，连接DF，当=____时，四边形ADFE是平行四边形． 11．（2017·青海西宁·中考真题）如图，将沿EF对折，使点A落在点C处，若，则AE的长为___. 三、解答题 12．（2018·湖北黄冈·中考真题）如图，在口ABCD中，分别以边BC，CD作等腰△BCF，△CDE，使BC=BF，CD=DE，∠CBF＝∠CDE，连接AF，AE. （1）求证：△ABF≌△EDA； （2）延长AB与CF相交于G，若AF⊥AE，求证BF⊥BC． 13．（2018·重庆·中考真题）如图，在平行四边形中，点是对角线的中点，点是上一点，且，连接并延长交于点，过点作的垂线，垂足为，交于点. （1）若，，求的面积； （2）若，求证：. 14．（2019·重庆·中考真题）在中，BE平分交AD于点E． （1）如图1，若，，求的面积； （2）如图2，过点A作，交DC的延长线于点F，分别交BE，BC于点G，H，且．求证：． 15．（2015·江苏宿迁·中考真题）如图，四边形ABCD中，,E是边CD的中点，连接BE并延长与AD的延长线相较于点F． （1）求证：四边形BDFC是平行四边形； （2）若△BCD是等腰三角形，求四边形BDFC的面积． 16．（2013·重庆·中考真题）已知：如图，在ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，CE=CD，点F为CE的中点，点G为CD上的一点，连接DF、EG、AG，∠1=∠2． （l）若CF=2，AE=3，求BE的长； （2）求证：． 17．（2019·重庆·中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，连结AE，EM⊥AE，垂足为E，交CD于点M，AF⊥BC，垂足为F，BH⊥AE，垂足为H，交AF于点N，点P显AD上一点，连接CP． （1）若DP=2AP=4，CP=，CD=5，求△ACD的面积． （2）若AE=BN，AN=CE，求证：AD=CM+2CE． 18．（2020·四川乐山·中考真题）点是平行四边形的对角线所在直线上的一个动点（点不与点、重合），分别过点、向直线作垂线，垂足分别为点、．点为的中点． （1）如图1，当点与点重合时，线段和的关系是 ； （2）当点运动到如图2所示的位置时，请在图中补全图形并通过证明判断（1）中的结论是否仍然成立？ （3）如图3，点在线段的延长线上运动，当时，试探究线段、、之间的关系． 参考答案 1．C 【解析】 【分析】 证明△BNA≌△BNE，得到BA=BE，即△BAE是等腰三角形，同理△CAD是等腰三角形，根据题意求出DE，根据三角形中位线定理计算即可． 【详解】 解：∵BN平分∠ABC，BN⊥AE， ∴∠NBA=∠NBE，∠BNA=∠BNE， 在△BNA和△BNE中， ， ∴△BNA≌△BNE， ∴BA=BE， ∴△BAE是等腰三角形， 同理△CAD是等腰三角形， ∴点N是AE中点，点M是AD中点（三线合一）， ∴MN是△ADE的中位线， ∵BE+CD=AB+AC=19-BC=19-7=12， ∴DE=BE+CD-BC=5， ∴MN=DE=． 故选C． 【点拨】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． 2．B 【解析】 【详解】 分析：①根据三角形内角和为180°易证∠PAB+∠PBA=90°，易证四边形AECF是平行四边形，即可解题； ②根据平角定义得：∠APQ+∠BPC=90°，由正方形可知每个内角都是直角，再由同角的余角相等，即可解题； ③根据平行线和翻折的性质得：∠FPC=∠PCE=∠BCE，∠FPC≠∠FCP，且∠PFC是钝角，△FPC不一定为等腰三角形； ④当BP=AD或△BPC是等边三角形时，△APB≌△FDA，即可解题． 详解：①如图，EC，BP交于点G； ∵点P是点B关于直线EC的对称点， ∴EC垂直平分BP， ∴EP=EB， ∴∠EBP=∠EPB， ∵点E为AB中点， ∴AE=EB， ∴AE=EP， ∴∠PAB=∠PBA， ∵∠PAB+∠PBA+∠APB=180°，即∠PAB+∠PBA+∠APE+∠BPE=2（∠PAB+∠PBA）=180°， ∴∠PAB+∠PBA=90°， ∴AP⊥BP， ∴AF∥EC； ∵AE∥CF， ∴四边形AECF是平行四边形， 故①正确； ②∵∠APB=90°， ∴∠APQ+∠BPC=90°， 由折叠得：BC=PC， ∴∠BPC=∠PBC， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC=∠ABP+∠PBC=90°， ∴∠ABP=∠APQ， 故②正确； ③∵AF∥EC， ∴∠FPC=∠PCE=∠BCE， ∵∠PFC是钝角， 当△BPC是等边三角形，即∠BCE=30°时，才有∠FPC=∠FCP， 如右图，△PCF不一定是等腰三角形， 故③不正确； ④∵AF=EC，AD=BC=PC，∠ADF=∠EPC=90°， ∴Rt△EPC≌△FDA（HL）， ∵∠ADF=∠APB=90°，∠FAD=∠ABP， 当BP=AD或△BPC是等边三角形时，△APB≌△FDA， ∴△APB≌△EPC， 故④不正确； 其中正确结论有①②，2个， 故选B． 点睛：本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质和判定，矩形的性质，翻折变换，平行四边形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 3．D 【解析】 【详解】 过点P作PH∥BC交AB于H，连接CH，PF，PE． ∵APBE，∴四边形APEB是平行四边形．∴PEAB．， ∵四边形BDEF是平行四边形，∴EFBD． ∴EF∥AB．∴P，E，F共线． 设BD=a， ∵，∴PE=AB=4a．∴PF=PE﹣EF=3a． ∵PH∥BC，∴S△HBC=S△PBC． ∵PF∥AB，∴四边形BFPH是平行四边形．∴BH=PF=3a． ∵S△HBC：S△ABC=BH：AB=3a：4a=3：4，∴S△PBC：S△ABC=3：4．故选D． 4．A 【解析】 【详解】 由题意得：⑤的面积=四边形ABCD面积﹣（①+②+③+④）=4cm2， ∴EFGH的面积=14+4=18cm2， 又∵∠F=30°， ∴菱形的边长为6cm， 而①②③④四个平行四边形周长的总和=2（AE+AH+HD+DG+GC+CF+FB+BE）=2（EF+FG+GH+HE）=48cm．故选A． 5．26°． 【解析】 【分析】 设∠BAC=x，然后结合平行四边形的性质和已知条件用x表示出∠EBA、∠BEC、 ∠BCE、 ∠BEC、 ∠DCA、∠DCB，最后根据两直线平行同旁内角互补，列方程求出x即可． 【详解】 解：设∠BAC=x ∵平行四边形的对角线 ∴DC//AB,AD=BC,AD//BC ∴∠DCA=∠BAC=x ∵AE=BE ∴∠EBA =∠BAC=x ∴∠BEC=2x ∵ ∴BE=BC ∴∠BCE=∠BEC =2x ∴∠DCB=∠BCE+∠DCA=3x ∵AD//BC， ∴∠D+∠DCB=180°，即102°+3x=180°，解得x=26°． 故答案为26°． 【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定和性质，运用平行四边形结合已知条件判定等腰三角形和掌握方程思想是解答本题的关键． 6．2≤a+2b≤5． 【解析】 【分析】 作辅助线，构建30度的直角三角形，先证明四边形EODP是平行四边形，得EP=OD=a，在Rt△HEP中，∠EPH=30°，可得EH的长，计算a+2b=2OH，确认OH最大和最小值的位置，可得结论． 【详解】 解：过P作PH⊥OY交于点H， ∵PD∥OY，PE∥OX， ∴四边形EODP是平行四边形，∠HEP=∠XOY=60°， ∴EP=OD=a， Rt△HEP中，∠EPH=30°， ∴EH=EP=a， ∴a+2b=2（a+b）=2（EH+EO）=2OH， 当P在AC边上时，H与C重合，此时OH的最小值=OC=OA=1，即a+2b的最小值是2； 当P在点B时，OH的最大值是：1+=，即（a+2b）的最大值是5， ∴2≤a+2b≤5． 故答案为：2≤a+2b≤5 【点拨】本题考查了等边三角形的性质、直角三角形30度角的性质、平行四边形的判定和性质，有难度，掌握确认a+2b的最值就是确认OH最值的范围． 7．1． 【解析】 【详解】 试题分析：先延长EP交BC于点F，得出PF⊥BC，再判定四边形CDEP为平行四边形，根据平行四边形的性质得出：四边形CDEP的面积=EP×CF=a×b=ab，最后根据，判断ab的最大值即可． 试题解析：延长EP交BC于点F，∵∠APB=90°，∠AOE=∠BPC=60°，∴∠EPC=150°，∴∠CPF=180°﹣150°=30°，∴PF平分∠BPC，又∵PB=PC，∴PF⊥BC，设Rt△ABP中，AP=a，BP=b，则 CF=CP=b，，∵△APE和△ABD都是等边三角形，∴AE=AP，AD=AB，∠EAP=∠DAB=60°，∴∠EAD=∠PAB，∴△EAD≌△PAB（SAS），∴ED=PB=CP，同理可得：△APB≌△DCB（SAS），∴EP=AP=CP，∴四边形CDEP是平行四边形，∴四边形CDEP的面积=EP×CF=a×b=ab，又∵≥0，∴2ab≤，∴ab≤1，即四边形PCDE面积的最大值为1．故答案为1． 考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；最值问题． 8．2 【解析】 【详解】 ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC=4,AB∥CD，AB=CD=3， ∵E为BC中点， ∴BE=CE=2， ∵∠B=60°，EF⊥AB， ∴∠FEB=30°， ∴BF=1， 由勾股定理得：EF=， ∵AB∥CD， ∴∠B=∠ECH， 在△BFE和△CHE中， ∴△BFE≌△CHE(ASA)， ∴EF=EH=，CH=BF=1， ∵S△DHF=DHFH=4， ∴S△DEF=S△DHF=2. 故答案为2. 9． 【解析】 【分析】 根据平行四边形的判断定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．在图（1）中，有3个平行四边形；在图（2）中，有6个平行四边形；…按此规律，则第n个图形中平行四边形的个数共有3n个． 【详解】 在图（1）中，、、分别是的边、、的中点， ，， 四边形、、是平行四边形，共有3个， 在图（2）中，、、分别是的边、、的中点， 同理可证：四边形、、、、，是平行四边形，共有6个. …按此规律，则第个图形中平行四边形的个数共有个. 故答案为：3n 【点拨】本题考查了平行四边形的判定：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．由特殊到一般，善于从中找出规律是关键． 10．． 【解析】 【详解】 试题分析：当=时，四边形ADFE是平行四边形．理由如下： ∵=，∴∠CAB=30°，∵△ABE为等边三角形，EF⊥AB，∴EF为∠BEA的平分线，∠AEB=60°，AE=AB，∴∠FEA=30°，又∠BAC=30°，∴∠FEA=∠BAC，在△ABC和△EAF中，∵∠ACB=∠EFA，∠BAC=∠AEF，AB=AE，∴△ABC≌△EAF（AAS），∵∠BAC=30°，∠DAC=60°，∴∠DAB=90°，即DA⊥AB，∵EF⊥AB，∴AD∥EF，∵△ABC≌△EAF，∴EF=AC=AD，∴四边形ADFE是平行四边形．故答案为． 考点：1．平行四边形的判定；2．等边三角形的性质；3．综合题；4．压轴题． 11． 【解析】 【分析】 【详解】 试题分析：过点C作CG⊥AB的延长线于点G， 在▱ABCD中，∠D=∠EBC，AD=BC，∠A=∠DCB， 由于▱ABCD沿EF对折，∴∠D′=∠D=∠EBC，∠D′CE=∠A=∠DCB，D′C=AD=BC， ∴∠D′CF+∠FCE=∠FCE+∠ECB，∴∠D′CF=∠ECB， 在△D′CF与△ECB中， ,∴△D′CF≌△ECB（ASA）,∴D′F=EB，CF=CE， ∵DF=D′F，∴DF=EB，AE=CF 设AE=x，则EB=8﹣x，CF=x，∵BC=4，∠CBG=60°，∴BG=BC=2，由勾股定理可知：CG=2， ∴EG=EB+BG=8﹣x+2=10﹣x 在△CEG中，由勾股定理可知：（10﹣x）2+（2）2=x2， 解得：x=AE= 考点： 1.翻折变换（折叠问题）；2.平行四边形的性质． 12．（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】 【详解】 分析：（1）证明AB=DE，FB=AD，∠ABF=∠ADE即可解决问题； （2）只要证明FB⊥AD即可解决问题. 详（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AD=BC，∠ABC=∠ADC， ∵BC=BF，CD=DE， ∴BF=AD，AB=DE， ∵∠ADE+∠ADC+∠EDC=360°，∠ABF+∠ABC+∠CBF=360°，∠EDC=∠CBF， ∴∠ADE=∠ABF， 在△ABF与△EDA中， ∵AB＝DE，∠ABF＝∠ADE，BF=AD ∴△ABF≌△EDA． （2）证明：延长FB交AD于H． ∵AE⊥AF， ∴∠EAF=90°， ∵△ABF≌△EDA， ∴∠EAD=∠AFB， ∵∠EAD+∠FAH=90°， ∴∠FAH+∠AFB=90°， ∴∠AHF=90°，即FB⊥AD， ∵AD∥BC， ∴FB⊥BC． 点睛：本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型． 13．（1）；（2）证明见解析 【解析】 【分析】 （1）由AH=3，HE=1可求得AB的长，根据勾股定理可求得BH的长，然后根据三角形的面积公式进行求解即可； （2）过点A作AM⊥BC于点M，交BG于点K，过点G作GN⊥BC于点N，结合图形根据已知条件可以得到，继而可得到，通过证明，可得，根据等腰三角形的性质可求得，再根据平行四边形的性质可以证明，从而得，继而可得. 【详解】 （1） ， ， 又在中，， ； （2）过点A作AM⊥BC于点M，交BG于点K，过点G作GN⊥BC于点N， =90°， =45°， =45° ， ， ， =90°， ， =180°， =180°， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， . 【点拨】本题考查了勾股定理、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质等，综合性较强，正确添加辅助线、应用数形结合思想进行解题是关键. 14．（1）；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】 （1）作于O，由平行四边形的性质得出，由直角三角形的性质得出，证出，得出，由三角形面积公式即可得出结果； （2）作交DF的延长线于P，垂足为Q，连接PB、PE，证明得出，再证明得出，即可得出结论． 【详解】 （1）解：作于O，如图1所示： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴，，，， ∴，， ∴， ∵BE平分， ∴， ∴， ∴， ∴的面积； （2）证明：作交DF的延长线于P，垂足为Q，连接PB、PE，如图2所示： ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴． 【点拨】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质、线段垂直平分线的性质等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 15．（1）见解析；（2）6或 【解析】 【分析】 （1）根据平行线的性质和中点的性质证明三角形全等，然后根据对角线互相平分的四边形是平行四边形完成证明； （2）由等腰三角形的性质，分三种情况：①BD=BC,②BD=CD,③BC=CD,分别求四边形的面积． 【详解】 解：（1）证明：∵∠A=∠ABC=90° ∴AF∥BC ∴∠CBE=∠DFE,∠BCE=∠FDE ∵E是边CD的中点 ∴CE=DE ∴△BCE≌△FDE（AAS） ∴BE=EF ∴四边形BDFC是平行四边形 （2）若△BCD是等腰三角形 ①若BD=BC=3 在Rt△ABD中，AB= ∴四边形BDFC的面积为S=×3=6； ②若BC=DC=3 过点C作CG⊥AF于G，则四边形AGCB是矩形， 所以，AG=BC=3， 所以，DG=AG-AD=3-1=2， 在Rt△CDG中，由勾股定理得， ∴四边形BDFC的面积为S=． ③BD=CD时，BC边上的中线应该与BC垂直，从而得到BC=2AD=2，矛盾，此时不成立； 综上所述，四边形BDFC的面积是6或 【点拨】本题考查了平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，（1）确定出全等三角形是解题的关键，（2）难点在于分情况讨论． 16．（1）;（2）见解析 【解析】 【分析】 （1）根据平行四边形对边相等的性质，由已知，经过等量代换得到直角三角形ABE的AB长，从而由已知的AE长，应用勾股定理可求得BE的长． （2）过点GH∥BC交AE于点H，则∠CEG=∠EGH，通过△CEG≌△CDF得到点G为CD的中点，从而确定GH是AE的垂直平分线，根据线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等的性质，得到GA=GE，进而根据等腰三角形三线合一的性质，得∠EGH=∠AGH，从而得证． 【详解】 解：（1）∵CF=2，点F为CE的中点，∴CE=4． ∵CE=CD，∴CD=4． ∵四边ABCD是平行四边形，∴AB=CD=4． ∵ AE⊥BC，AE=3，∴． （2）如图，过点GH∥BC交AE于点H，则∠CEG=∠EGH． ∵∠1=∠2，∠C=∠C，CE=CD， ∴△CEG≌△CDF（AAS）．∴CG=CF． ∵点F为CE的中点，∴点G为CD的中点． ∴点H为AE的中点，即GH是AE的垂直平分线． ∴GA=GE．∴∠EGH=∠AGH． ∴． 17．（1）；（2）见解析. 【解析】 【分析】 （1）作CG⊥AD于G，设PG=x，则DG=4-x，在Rt△PGC和Rt△DGC中，由勾股定理得出方程，解方程得出x=1，即PG=1，得出GC=4，求出AD=6，由三角形面积公式即可得出结果； （2）连接NE，证明△NBF≌△EAF得出BF=AF，NF=EF，再证明△ANE≌△ECM得出CM=NE，由NF=NE=MC，得出AF=MC+EC，即可得出结论. 【详解】 解：（1）解：作CG⊥AD于G，如图1所示： 设PG＝x，则DG＝4﹣x， 在Rt△PGC中，GC2＝CP2﹣PG2＝17﹣x2， 在Rt△DGC中，GC2＝CD2﹣GD2＝52﹣（4﹣x）2＝9+8x﹣x2， ∴17﹣x2＝9+8x﹣x2， 解得：x＝1，即PG＝1， ∴GC＝4， ∵DP＝2AP＝4， ∴AD＝6， ∴S△ACD＝×AD×CG＝×6×4＝12； （2）证明：连接NE，如图2所示： ∵AH⊥AE，AF⊥BC，AE⊥EM， ∴∠AEB+∠NBF＝∠AEB+∠EAF＝∠AEB+∠MEC＝90°， ∴∠NBF＝∠EAF＝∠MEC， 在△NBF和△EAF中， ， ∴△NBF≌△EAF（AAS）， ∴BF＝AF，NF＝EF， ∴∠ABC＝45°，∠ENF＝45°，FC＝AF＝BF， ∴∠ANE＝∠BCD＝135°，AD＝BC＝2AF， 在△ANE和△ECM中，， ∴△ANE≌△ECM（ASA）， ∴CM＝NE， 又∵NF＝NE＝MC， ∴AF＝MC+EC， ∴AD＝MC+2EC． 【点拨】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积公式等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键. 18．（1）；（2）补图见解析，仍然成立，证明见解析；（3），证明见解析 【解析】 【分析】 （1）证明△AOE≌△COF即可得出结论； （2）（1）中的结论仍然成立，作辅助线，构建全等三角形，证明△AOE≌△CGO，得OE＝OG，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出结论； （3）FC＋AE＝OE，理由是：作辅助线，构建全等三角形，与（2）类似，同理得，得出，，再根据，，推出，即可得证． 【详解】 解：（1）如图1，∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC， ∵AE⊥BP，CF⊥BP， ∴∠AEO＝∠CFO＝90°， ∵∠AOE＝∠COF， ∴△AOE≌△COF（AAS）， ∴OE＝OF； （2）补全图形如图所示，仍然成立， 证明如下：延长交于点， ∵， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）当点在线段的延长线上时，线段、、之间的关系为， 证明如下：延长交的延长线于点，如图所示， 由（2） 可知 ， ∴，， 又∵，， ∴， ∴． 【点拨】本题考查了平行四边形、全等三角形的性质和判定以及等腰三角形的性质和判定，以构建全等三角形和证明三角形全等这突破口，利用平行四边形的对角线互相平分得全等的边相等的条件，从而使问题得以解决．