空间向量与空间角

时间：45分钟　　分值：100分

A学习达标

一、选择题(每小题6分，共36分)

1．设直线l与平面α相交，且l的方向向量为a，α的法向量为n，若〈a，n〉＝，则l与α所成的角为(　　)

A.　　B.

C.     D.

图1

解析：如图1所示，直线l与平面α所成的角θ＝－＝.

答案：C

2．三棱锥A－BCD中，平面ABD与平面BCD的法向量分别为n1，n2，若〈n1，n2〉＝，则二面角A－BD－C的大小为(　　)

A.     B.

C.或  D.或

图2

解析：如图2所示，当二面角A－BD－C为锐角时，它就等于〈n1，n2〉＝；当二面角A－BD－C为钝角时，它应等于π－〈n1，n2〉＝π－＝.

答案：C

3．已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E是AA1中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为(　　)

A.       B.

C.      D.

图3

解析：以DA、DC、DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图3，设AB＝a，则AD＝a，AA1＝2a.

B(a，a,0)，C(0，a,0)，D1(0,0,2a)，E(a,0，a)，＝(0，－a，a)，＝(0，－a,2a)，

∴cos〈，〉＝＝＝.

答案：C

4．已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为(　　)

A.        B.

C.        D.

图4

解析：设BC的中点为O，连接AO，A1O，则由题意知

A1O⊥平面ABC，

AO⊥BC，以AO，OC，OA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设侧棱长为2a，则OA1＝＝＝a，

则A(－a,0,0)，B(0，－a,0)，A1(0,0，a)．

所以cos〈，〉＝cos〈，〉＝

＝

＝＝.

答案：D

5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为AB、C1D1的中点，则A1B1与平面A1EF夹角的正弦值为(　　)

A.      B.

C.      D.

图5

解析：建系如图5，设正方体棱长为1，则A1(1,0,1)，E(1，，0)，F(0，，1)，B1(1,1,1)．

＝(0,1,0)，＝(0，，

－1)，＝(－1，，0)．设平面A1EF的一个法向量为n＝(x，y，z)，

则，即.

令y＝2，则.

∴n＝(1,2,1)，cos〈n，〉＝＝.

设A1B1与平面A1EF的夹角为θ，

则sinθ＝cos〈n，〉＝，即所求线面角的正弦值为.

答案：B

图6

6．如图6所示，已知点P为菱形ABCD外一点，且PA⊥面ABCD，PA＝AD＝AC，点F为PC中点，则二面角C－BF－D的正切值为(　　)

A.  B.

C.  D.

图7

解析：如图7，连结AC，AC∩BD＝O，连结OF，以O为原点，OB，OC，OF所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系O－xyz，设PA＝AD＝AC＝1，则BD＝，

∴B，F，

C，D，结合图形可知，＝且为面BOF的一个法向量，由＝，＝，可求得面BCF的一个法向量n＝(1，，)．

∴cos〈n，〉＝，sin〈n，〉＝，

∴tan〈n，〉＝.

答案：D

二、填空题(每小题8分，共24分)

7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为AB、CC1的中点，则异面直线EF与A1C1所成角的大小是________．

图8

解析：以A为原点建立直角坐标系(如图8所示)，设B(2,0,0)，则E(1,0,0)，F(2,2,1)，C1(2,2,2)，A1(0,0,2)，

∴＝(1,2,1)，＝(2,2,0)，

∴cos〈，〉

＝

＝＝，

∴〈，〉＝30°.

答案：30°

图9

8．如图9所示，P是二面角α－AB－β棱上一点，分别在α，β内引射线PM，PN，若∠BPM＝∠BPN＝45°，∠MPN＝60°，则二面角α－AB－β大小为________．

图10

解析：如图10，过M在α内作MF⊥AB，过F在β内作FN⊥AB交PN于点N，连结MN.

∵∠MPB＝∠NPB＝45°，

∴△PMF≌△PNF.

设PM＝1，则：MF＝NF＝，PM＝PN＝1，

又∵∠MPN＝60°，

∴MN＝PM＝PN＝1，

∴MN2＝MF2＋NF2，

∴∠MFN＝90°.

答案：90°

9．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，给出下列四个结论：①AC⊥BD；②AB、CD所成角为60°；③△ADC为等边三角形；④AB与平面BCD所成角为60°.其中真命题是________．(请将你认为是真命题的序号都填上)

解析：如图11将正方形①取BD中点O，连结AO、CO，

易知BD垂直于平面AOC，故BD⊥AC；

②如图11建立空间坐标系，设正方形边长为a，则A(a,0,0)，B(0，－a,0)，故＝(－a，－a,0)，C(0,0，a)，D(0，a,0)，故＝(0，a，－a)，由两向量夹角公式得：cos〈，〉＝－，故两异面直线所成的角为；

图11

③在直角三角形AOC中，由AO＝CO＝a解得：

AC＝AO＝a，故三角形ADC为等边三角形．

④易知∠ABO即为直线AB与平面BCD所成的角，可求得：

∠ABO＝45°，故④错．

答案：①②③

三、解答题(共40分)

图12

10．(10分)如图12在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E是棱AB上的动点．

(1)若异面直线AD1与EC所成角为60°，试确定此时动点E的位置；

(2)求三棱锥C－DED1的体积．

解：(1)以DA所在直线为x轴，以DC所在直线为y轴，以DD1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系．

设E(1，t,0)(0≤t≤2)，则A(1,0,0)，D(0,0,0)，D1(0,0,1)，C(0,2,0)，＝(1,0，－1)，＝(1，t－2,0)，

根据数量积的定义及已知得：

∴1＋0×(t－2)＋0＝×·cos60°，

∴t＝1，

∴E的位置是AB中点．

(2)VC－DED1＝VD1－DEC＝××2×1×1＝.

图13

11．(15分)(2011·课标全国高考)如图13，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD.

(1)证明：PA⊥BD；

(2)若PD＝AD，求二面角A－PB－C的余弦值．

解：(1)证明：因为∠DAB＝60°，AB＝2AD，由余弦定理得BD＝AD.

从而BD2＋AD2＝AB2，故BD⊥AD.

又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD.

所以BD⊥平面PAD.故PA⊥BD.

(2)如图14，以D为坐标原点，设AD的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D－xyz.则A(1,0,0)，B(0，，0)，C(－1，，0)，P(0,0,1)．

图14

＝(－1，，0)，＝(0，，－1)，

＝(－1,0,0)．

设平面PAB的法向量为n＝(x，y，z)，则

即

因此可取n＝(，1，)．

设平面PBC的法向量为m，

则

可取m＝(0，－1，－)．

cos〈m，n〉＝＝－.

故二面角A－PB－C的余弦值为－.

B创新探索

图15

12．(15分)已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是正方形，且PD⊥底面ABCD，其中PD＝AD＝a.

(1)求二面角A－PB－D的大小；

(2)在线段PB上是否存在一点E，使PC⊥平面ADE.若存在，试确定E点的位置；若不存在，请说明理由．

解：(1)方法一：连接AC，设AC交BD于点O，

图16

∵AC⊥BD，AC⊥PD，BD∩PD＝D，

∴AC⊥平面PBD，

过O点在平面PBD内作OF⊥PB于点F，

∵AO⊥PB且OF∩AO＝O，

∴PB⊥平面AOF，

AF⊂平面AOF，

∴AF⊥PB.

则∠OFA是二面角A－PB－D的平面角．

由已知得AB⊥PA，PA＝a，AB＝a，PB＝a，

∴AF＝＝a，

∴sin∠OFA＝＝，

∴∠OFA＝60°，∴二面角A－PB－D的大小为60°.

方法二：建立如图17所示的空间直角坐标系，∵PD＝AD＝a且ABCD为正方形，

图17

∴D(0,0,0)，A(a,0,0)，B(a，a,0)，P(0,0，a)，

＝(0,0，－a)，

＝(－a，－a,0)，

＝(a,0，－a)，＝(0，a,0)，

设平面PAB的法向量为m＝(xm，ym，zm)，

则，即，

令xm＝1，则m＝(1,0,1)．

设平面PBD的法向量n＝(xn，yn，zn)，

则，即，令xn＝1，

则n＝(1，－1,0)，

令m，n的夹角为θ，

则cosθ＝＝＝，θ＝60°，

显然二面角A－PB－D的平面角为锐角，

∴二面角A－PB－D的大小为60°.

(2)假设在线段PB上存在一点E，使PC⊥平面ADE.

则PC⊥DE，PC⊥AD.

取PC中点H，连接EH、DH，

∵PD＝AD＝DC，且PD⊥DC，

∴DH⊥PC，∴PC⊥平面DEH，

∴PC⊥EH.

∵PC⊥AD，AD∥BC，∴PC⊥BC.

∴EH∥BC，∵H为PC中点，∴E为PB中点．

即在线段PB上存在它的中点E，使PC⊥平面ADE.