初中数学第十九章 平面直角坐标系综合与测试随堂练习题

八年级数学下册第十九章平面直角坐标系专题测试

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、如图，在平面直角坐标系中，将等边绕点A旋转180°，得到，再将绕点旋转180°，得到，再将绕点旋转180°，得到，…，按此规律进行下去，若点，则点的坐标为（       ）

A． B． C． D．

2、在平面直角坐标系中，点P（－3，－3）在（       ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3、如图，OA平分∠BOD，AC⊥OB于点C，且AC=2，已知点A到y轴的距离是3，那么点A关于x轴对称的点的坐标为（　　）

A．(2，3) B．(3，2) C．(-2，-3) D．(-3，-2)

4、如图，网格中的每个小正方形边长均为1，的顶点均落在格点上，若点A的坐标为，则到三个顶点距离相等的点的坐标为（       ）

A． B． C． D．

5、第24届冬季奥林匹克运动会将于2022年2月4日～20日在北京市和张家口市联合举行．以下能够准确表示张家口市地理位置的是（        ）

A．离北京市100千米 B．在河北省

C．在怀来县北方 D．东经114.8°，北纬40.8°

6、小明在介绍郑州外国语中学位置时，相对准确的表述为（       ）

A．陇海路以北 B．工人路以西

C．郑州市人民政府西南方向 D．陇海路和工人路交叉口西北角

7、点P在第二象限内，点P到x轴的距离是6，到y轴的距离是2，那么点P的坐标为（　　）

A．(﹣6，2) B．(﹣2，﹣6) C．(﹣2，6) D．(2，﹣6)

8、在平面直角坐标系xOy中，点A（0，2），B（a，0），C（m，n）（n＞0）.若△ABC是等腰直角三角形，且AB＝BC，当0＜a＜1时，点C的横坐标m的取值范围是（   ）

A．0＜m＜2 B．2＜m＜3 C．m＜3 D．m＞3

9、下列命题中为真命题的是（　　）

A．三角形的一个外角等于两内角的和

B．是最简二次根式

C．数，，都是无理数

D．已知点E(1，a)与点F(b，2)关于x轴对称，则a+b＝﹣1

10、下列命题为真命题的是（       ）

A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．在同一平面内，若，，则

C．的算术平方根是9 D．点一定在第四象限

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、在平面直角坐标系中，点M的坐标是，则点M到x轴的距离是_______．

2、在平面直角坐标系中，若点P的坐标为（x，y），点Q的坐标为（mx+y，x+my），则称点Q是点P的m级派生点，例如点P（1，2）（3×1+2，1+3×2），即Q（5，7）．如图点Q（﹣5，4）是点P（x，y）的﹣级派生点，点A在x轴上，且S△APQ＝4，则点A的坐标为 _____．

3、如图，在中，，顶点A的坐标为，P是上一动点，将点P绕点逆时针旋转，若点P的对应点恰好落在边上，则点的坐标为________．

4、如图所示，在平面直角坐标系中，．在y轴找一点P，使得的周长最小，则周长最小值为_______

5、如图，△ABC的顶点A，B分别在x轴，y轴上，∠ABC＝90°，OA＝OB＝1，BC＝2，将△ABC绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2021次旋转结束时，点C的坐标为 _____．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、这是某乡镇的示意图．试建立直角坐标系，用坐标表示各地的位置：

2、如图，在平面直角坐标系xOy中，三角形ABC三个顶点的坐标分别为（-2，-2），（3，1），（0，2），若把三角形ABC向上平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度得到三角形AʹBʹCʹ，点A，B，C的对应点分别为Aʹ，Bʹ，Cʹ．

(1)写出点Aʹ，Bʹ，Cʹ的坐标；

(2)在图中画出平移后的三角形AʹBʹCʹ；

(3)求三角形AʹBʹCʹ的面积．

3、如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，△ABO的三个顶点坐标分别为A （－1，3）， B （－4，3） ，O （0，0）．

(1)△ABO向右平移5个单位，向上平移1个单位，得到△A1B1C1，画出△A1B1C1并写出点B1的坐标；

(2)画出△A1B1C1沿着x轴翻折后得到的△A2B2C2，并写出点A2的坐标．

4、问题背景：（1）如图①，已知中，，，直线m经过点A，直线m，直线m，垂足分别为点D，E，易证：______+______．

（2）拓展延伸：如图②，将（1）中的条件改为：在中，，D，A，E三点都在直线m上，并且有，请求出DE，BD，CE三条线段的数量关系，并证明．

（3）实际应用：如图③，在中，，，点C的坐标为，点A的坐标为，请直接写出B点的坐标．

5、如图，的顶点A，B分别在x轴，y轴上，；

(1)若，且点B（0，2），C（-2，-1），

①点C关于y轴对称点的坐标为______；

②求点A的坐标；

(2)若点B与原点重合，时，存在第三象限的点E和y轴上的点F，使，且A（3，0），C（0，m），F（0，n），线段EF的长度为，求AE的长．

-参考答案-

一、单选题

1、C

【解析】

【分析】

根据题意先求得的坐标，进而求得的坐标，发现规律，即可求得的坐标．

【详解】

解：∵是等边三角形，，将等边绕点A旋转180°，得到，

∴

，

则

同理可得，

……，

即

故选C

【点睛】

本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，坐标与图形，找到规律是解题的关键．

2、C

【解析】

【分析】

根据平面直角坐标系中各象限内点的坐标特征解答即可.

【详解】

解：因为A(−3,-3)中的横坐标为负，纵坐标为负，

故点P在第三象限．

故选C．

【点睛】

本题主要考查点所在的象限问题，四个象限的符号特点分别是：第一象限(+,+)；第二象限(−,+)；第三象限(−,−)；第四象限(+,−)．

3、D

【解析】

【分析】

根据点A到y轴的距离是3，得到点A横坐标为-3，根据角的平分线的性质定理，得到点A到x轴的距离为2即点A的纵坐标为2，根据x轴对称的特点确定坐标．

【详解】

∵点A到y轴的距离是3，

∴点A横坐标为-3，

过点A作AE⊥OD，垂足为E，

∵∠DAO=∠CAO，AC⊥OB，AC=2，

∴AE=2，

∴点A的纵坐标为2，

∴点A的坐标为（-3，2），

∴点A关于x轴对称的点的坐标为（-3，-2），

故选D．

【点睛】

本题考查了角的平分线的性质，点到直线的距离，点的轴对称坐标，正确确定点的坐标，熟练掌握对称点坐标的特点是解题的关键．

4、C

【解析】

【分析】

到△ABC三个顶点距离相等的点是AB与AC的垂直平分线的交点，画出交点，进而得出其坐标即可．

【详解】

解：平面直角坐标系如图所示，AB与AC的垂直平分线的交点为点O，

∴到△ABC三个顶点距离相等的点的坐标为（0，0），

故选：C．

【点睛】

本题主要考查了线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．

5、D

【解析】

【分析】

若将地球看作一个大的坐标系，每个位置同样有对应的横纵坐标，即为经纬度．

【详解】

离北京市100千米、在河北省、在怀来县北方均表示的是位置的大概范围，

东经114.8°，北纬40.8°为准确的位置信息．

故选：D．

【点睛】

本题考查了实际问题中的坐标表示，理解经纬度和横纵坐标的本质是一样的是解题的关键．

6、D

【解析】

【分析】

根据位置的确定需要两个条件：方向和距离进行求解即可．

【详解】

解：A、陇海路以北只有方向，不能确定位置，故不符合题意；

B、工人路以西只有方向，不能确定位置，故不符合题意；

C、郑州市人民政府西南方向只有方向，不能确定位置，故不符合题意；

D、陇海路和工人路交叉口西北角，是两个方向的交汇处，可以确定位置，符合题意；

故选D．

【点睛】

本题主要考查了确定位置，熟知确定位置的条件是解题的关键．

7、C

【解析】

【分析】

根据点（x，y）到x轴的距离为｜y｜，到y轴的距离｜x｜解答即可．

【详解】

解：设点P坐标为（x，y），

∵点P到x轴的距离是6，到y轴的距离是2，

∴｜y｜=6，｜x｜=2，

∵点P在第二象限内，

∴y=6，x=－2，

∴点P坐标为（－2，6），

故选：C．

【点睛】

本题考查点到坐标轴的距离、点所在的象限，熟知点到坐标轴的距离与坐标的关系是解答的关键．

8、B

【解析】

【分析】

过点C作CD⊥x轴于D，由“AAS”可证△AOB≌△BDC，可得AO=BD=2，BO=CD=n=a，即可求解．

【详解】

解：如图，过点C作CD⊥x轴于D，

∵点A（0，2），

∴AO=2，

∵△ABC是等腰直角三角形，且AB=BC，

∴∠ABC=90°=∠AOB=∠BDC，

∴∠ABO+∠CBD=90°=∠ABO+∠BAO，

∴∠BAO=∠CBD，

在△AOB和△BDC中，

，

∴△AOB≌△BDC（AAS），

∴AO=BD=2，BO=CD=n=a，

∴0＜a＜1，

∵OD=OB+BD=2+a=m，

∴

∴2＜m＜3，

故选：B．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．

9、D

【解析】

【分析】

利用三角形的外角的性质、最简二次根式的定义、无理数的定义及关于坐标轴对称的点的特点分别判断后即可确定正确的选项．

【详解】

解：A、三角形的外角等于不相邻的两个内角的和，故原命题错误，是假命题，不符合题意；

B、，不是最简二次根式，故原命题是假命题，不符合题意；

C、是有理数，故原命题错误，是假命题，不符合题意；

D、已知点E（1，a）与点F（b，2）关于x轴对称，a=1，b=-2，则a+b＝﹣1，正确，为真命题，符合题意．

故选：D．

【点睛】

考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解三角形的外角的性质、最简二次根式的定义、无理数的定义及关于坐标轴对称的点的特点，难度不大.

10、B

【解析】

【分析】

直接利用平行线的判定和性质、算术平方根的定义以及点的坐标特点分别判断即可．

【详解】

解：A、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原命题是假命题；

B、在同一平面内，如果a⊥b，b⊥c，则a//c，原命题是真命题；

C、的算术平方根是3，原命题是假命题；

D、若a＝0，则−a2＝0，则点（1，−a2）在x轴上，故原命题是假命题；

故选：B．

【点睛】

本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．

二、填空题

1、5

【解析】

【分析】

根据到x轴的距离等于纵坐标的绝对值解答即可．

【详解】

解：∵点M的坐标是，

∴点M到x轴的距离是，

故答案为：5．

【点睛】

此题考查了点的坐标，关键是掌握点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值．

2、 (6，0)或(2，0)

【解析】

【分析】

根据派生点的定义，可列出关于x，y的二元一次方程，求出x、y，即得出P点的坐标．设点A坐标为(t，0)，根据，即可列出，解出t的值，即得到A点坐标．

【详解】

根据点Q(-5，4)是点P(x，y)的级派生点，

∴，

解得：，

∴P点坐标为(4，0)．

设点A坐标为(t，0)，

∵，

∴，

解得：或

∴A点坐标为(6，0)或(2，0)．

故答案为(6，0)或(2，0)．

【点睛】

本题考查坐标与图形的性质，二元一次方程组的应用以及绝对值方程的应用．理解派生点的定义，根据派生点求出P点坐标是解答本题的关键．

3、

【解析】

【分析】

过点作轴，垂足为，证明，可得的长度，进而求得点的坐标．

【详解】

解：如图，过点作轴，垂足为，

将点P绕点逆时针旋转，点P的对应点恰好落在边上，

,

,

顶点A的坐标为，

是等腰直角三角形

故答案为：

【点睛】

本题考查了全等三角形的性质与判定，坐标与图形，旋转的性质，等腰三角形的性质与判定，添加辅助选构造全等是解题的关键．

4、

【解析】

【分析】

作点B关于y轴的对称点C，连接AC，与y轴的交点即为满足条件的点P，由勾股定理求出AC、AB的长，即可求得周长最小值．

【详解】

作点B关于y轴的对称点C，则点C的坐标为，连接AC，与y轴的交点即为满足条件的点P，如图所示

由对称的性质得：PB=PC

∴AB+PA+PB=AB+PA+PC≥AB+AC

即当点P在AC上时，周长最小，且最小值为AB+AC

由勾股定理得：，

∴周长最小值为

故答案为：

【点睛】

本题考查了点与坐标，两点间距离最短，对称的性质，勾股定理等知识，作点关于x轴的对称点是关键．

5、

【解析】

【分析】

过点C作 轴于点D，根据 OA＝OB＝1，∠AOB=90°，可得∠ABO=45°，从而得到∠CBD=45°，进而得到BD=CD=2，，可得到点，再由将△ABC绕点O顺时针旋转，第一次旋转90°后，点，将△ABC绕点O顺时针旋转，第二次旋转90°后，点，将△ABC绕点O顺时针旋转，第三次旋转90°后，点，将△ABC绕点O顺时针旋转，第四次旋转90°后，点， 由此发现，△ABC绕点O顺时针旋转四次一个循环，即可求解．

【详解】

解：如图，过点C作 轴于点D，

∵OA＝OB＝1，∠AOB=90°，

∴∠ABO=45°，

∵∠ABC＝90°，

∴∠CBD=45°，

∴∠BCD=45°，

∴BD=CD，

∵BC＝2，

∴ ，

∴BD=CD=2，

∴OD=OB+BD=3，

∴点，

将△ABC绕点O顺时针旋转，第一次旋转90°后，点，

将△ABC绕点O顺时针旋转，第二次旋转90°后，点，

将△ABC绕点O顺时针旋转，第三次旋转90°后，点，

将△ABC绕点O顺时针旋转，第四次旋转90°后，点，

由此发现，△ABC绕点O顺时针旋转四次一个循环，

∵ ，

∴第2021次旋转结束时，点C的坐标为．

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了勾股定理，坐标与图形，图形的旋转，明确题意，准确得到规律是解题的关键．

三、解答题

1、见解析

【解析】

【详解】

2、 (1)Aʹ（-3，1），Bʹ（2，4），Cʹ（-1，5）；

(2)见解析

(3)△AʹBʹCʹ的面积为7．

【解析】

【分析】

（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；

（2）利用（1）中所求对应点位置画图形即可；

（3）利用△AʹBʹCʹ所在矩形面积减去周围多余三角形的面积进而得出答案．

(1)

解：根据平移的性质得： Aʹ（-3，1），Bʹ（2，4），Cʹ（-1，5）；

(2)

解：如图所示：△AʹBʹCʹ即为所求；

(3)

解：△AʹBʹCʹ的面积为：4×5-×2×4-×1×3-×3×5=7．

【点睛】

本题主要考查了平移变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键．

3、 (1)见解析，

(2)见解析，

【解析】

【分析】

（1）把△ABO的三个顶点A、B、O分别向平移5个单位，向上平移1个单位，得到对应点A1、B1、C1，依次连接这三个点即可得到△A1B1C1，即可写出点B1的坐标；

（2）把△A1B1C1的三个顶点A1、B1、C1沿着x轴翻折后得到A2、B2、C2依次连接这三点，得到△A2B2C2，由翻折即可写出点A2的坐标．

(1)

如图所示，；

(2)

如图所示，.

【点睛】

本题考查了平面直角坐标系中图形的平移与翻折，关键是确定三角形三个顶点平移与翻折后点的坐标．

4、（1）BD；CE；证明见详解；（2）DE=BD+CE；证明见详解；（3）点B的坐标为．

【解析】

【分析】

（1）根据全等三角形的判定和性质得到，，结合图形解答即可；

（2）根据三角形内角和定理、平角的定义证明，证明，根据全等三角形的性质得到，，结合图形解答即可；

（3）根据，得到，，根据坐标与图形性质解答即可．

【详解】

（1）证明：∵，，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

在和中

，

∴，

∴，，

∴，

 即：，

故答案为：BD；CE；

（2）解：数量关系： ，

证明：在中，，

∵，，

∴，

在和中，

∴，

∴，，

∴；

（3）解：如图，作轴于E，轴于F，

由（1）可知，，

∴，，

∴，

∴点B的坐标为．

【点睛】

本题考查的是全等三角形的判定和性质、坐标与图形性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．

5、 (1)①（2，-1）；②（3,0）．

(2)6．

【解析】

【分析】

（1）①根据关于y轴对称的点纵坐标不变、横坐标变为原来的相反数即可解答；②设A点坐标为（a，0），再运用两点间距离公式求得BC的长，进而求得AB的长，然后根据两点间距离公式即可求解；

（2）作点F关于x轴的对称点H（0，-n），则AF=AH、OF=OH，过点H作HN⊥AC于点N，过点F作FM⊥AE于点M，则C（0，m）、H（0，-n）、m<0、n>0，进一步说明HC=EF；然后再证明△FEM≌△HCN得到FM=HN、EM=CN，证明Rt△AFM≌Rt△AHN得到AM=AN，进一步说明AE=AC，最后求得AC的长即可．

(1)

解：（1）①由关于y轴对称的点纵坐标不变、横坐标变为原来的相反数，则点C（-2，-1）关于y轴对称点的坐标为（2，-1）；

故答案是（2，-1）；

②设A点坐标为（a，0）

∵B（0，2），C（-2，-1），

∴BC=

∴AB=BC=

∴，解得a=3.

∴点A的坐标为（3,0）．

(2)

解：（2）作点F关于x轴的对称点H（0，-n），则AF=AH、OF=OH，过点H作HN⊥AC于点N，过点F作FM⊥AE于点M，

∵C（0，m），H（0，-n），m<0，n>0，

∴HC=OC-OH=-m-n，

∵EF=-m-n，

∴HC=EF，

∵∠AEF=∠ACO=30°，

∴∠FME=∠HNC，

∴△FEM≌△HCN（AAS），

∴FM=HN，EM=CN，

在Rt△AFM和Rt△AHN中，

AF=AH，FM=HN

∴Rt△AFM≌Rt△AHN（HL），

∴AM=AN，

∴EM+AM=CN+AN，

∴AE=AC，

∵∠ACO=30°，A（3，0），

∴OA=3，

∴AC=2OA=6，

∴AE=6．

【点睛】

本题主要考查了轴对称、两点间的距离公式、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识点，综合应用相关知识成为解答本题的关键．