湘教版七年级下册4.3 平行线的性质学案设计

同位角、内错角、同旁内角 知识讲解

【学习目标】

1.了解“三线八角”模型特征；

2．掌握同位角、内错角、同旁内角的概念，并能从图形中识别它们．

【要点梳理】

要点一、同位角、内错角、同旁内角的概念

1. “三线八角”模型

如图，直线AB、CD与直线EF相交(或者说两条直线AB、CD被第三条直线EF所截)，构成八个角，简称为“三线八角”，如图1.

要点诠释：

⑴两条直线AB,CD与同一条直线EF相交．

⑵“三线八角”中的每个角是由截线与一条被截线相交而成．

2. 同位角、内错角、同旁内角的定义

在“三线八角”中，如上图1，

（1）同位角：像∠1与∠5，这两个角分别在直线AB、CD的同一方，并且都在直线EF的同侧，具有这种位置关系的一对角叫做同位角.

（2）内错角：像∠3与∠5，这两个角都在直线AB、CD之间，并且在直线EF的两侧，像这样的一对角叫做内错角.

（3）同旁内角：像∠3和∠6都在直线AB、CD之间，并且在直线EF的同一旁，像这样的一对角叫做同旁内角.

要点诠释：

 (1)“三线八角”是指上面四个角中的一个角与下面四个角中的一个角之间的关系，显然是没有公共顶点的两个角.

(2)“三线八角”中共有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角．

【高清课堂：平行线及其判定403102   三线八角】

要点二、同位角、内错角、同旁内角位置特征及形状特征

要点诠释：巧妙识别三线八角的两种方法：

(1)巧记口诀来识别： 一看三线，二找截线，三查位置来分辨.

(2)借助方位来识别

根据这三种角的位置关系，我们可以在图形中标出方位，判断时依方位来识别，如图2．

【典型例题】

类型一、“三线八角”模型

1.

(1)图3中，∠1、∠2由直线         被直线        所截而成．

(2)图4中，AB为截线，∠D是否属于以AB为截线的三线八角图形中的角？

【答案】(1) EF，CD； AB．     （2）不是 ．  

【解析】（1）∠1、∠2两角共同的边所在的直线为截线，而另一边所在的直线为被截线．

      （2）因为∠D的两边都不在直线AB上，所以∠D不属于以AB为截线的三线八角图形中的角．

【总结升华】判断 “三线八角”的关键是找出哪两条直线是被截线，哪条直线是截线.

类型二、同位角、内错角、同旁内角的辨别

2.如图，(1)DE为截线,∠E与哪个角是同位角?

(2)∠B与∠4是同旁内角，则截出这两个角的截线与被截线是哪些直线？

 (3)∠B和∠E是同位角吗?为什么?

【答案与解析】

解：（1）DE为截线,∠E与∠3是同位角；

（2）截出这两个角的截线是直线BC,被截线是直线BF、DE；

（3）不是,因为∠B与∠E的两边中任一边没有落在同一直线上,所以∠B和∠E不是同位角.

【总结升华】确定角的关系的方法：（1）先找出截线，由截线与其它线相交得到的角有哪几个；（2）将这几个角抽出来，观察分析它们的位置关系；（3）再取其它的线为截线，再抽取与该截线相关的角来分析.

举一反三：

【变式】（2015•江干区一模）下列图形中，∠1和∠2不是同位角的是（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

解：选项A、B、D中，∠1与∠2在截线的同侧，并且在被截线的同一方，是同位角；

选项C中，∠1与∠2的两条边都不在同一条直线上，不是同位角．

3. （2014秋•太康县期末）如图，用数字标出的八个角中，同位角、内错角、同旁内角分别有哪些？请把它们一一写出来．

【答案与解析】

解：内错角：∠1与∠4，∠3与∠5，∠2与∠6，∠4与∠8；

同旁内角：∠3与∠6，∠2与∠5，∠2与∠4，∠4与∠5；

同位角：∠3与∠7，∠2与∠8，∠4与∠6．

【总结升华】要分析各对角是由哪两条直线被哪一条直线所截的，可以把复杂图形按题目要求分解成简单的图形后，结论便一目了然.

举一反三：

【变式】如图∠1、∠2、∠3、∠4、∠5中，哪些是同位角？哪些是内错角？哪些是同旁内角？

【答案】

解：同位角：∠5与∠1，∠4与∠3；

内错角：∠2与∠3，∠4与∠1；

同旁内角：∠4与∠2，∠5与∠3，∠5与∠4.

【高清课堂：平行线及其判定 403102  三线八角练习（2） 】

4. 分别指出下列图中的同位角、内错角、同旁内角.

【答案与解析】

解： 同位角：∠B与∠ACD，∠B与∠ECD；

     内错角：∠A与∠ACD，∠A与∠ACE；

     同旁内角：∠B与∠ACB，∠A与∠B，∠A与∠ACB，∠B与∠BCE．

【总结升华】在复杂图形中，分析同位角、内错角、同旁内角，应把图形分解成几个“两条直线与同一条直线相交”的图形，并抽取交点处的角来分析．

举一反三：

【变式】请写出图中的同位角、内错角、同旁内角．

【答案】

解：∠1与∠5，∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8是同位角；

∠2与∠8，∠3与∠5是内错角；

∠2与∠5，∠3与∠8是同旁内角.

类型三、同位角、内错角、同旁内角大小之间的关系

5. 如图直线DE、BC被直线AB所截，

(1)∠1和∠2、∠1和∠3、∠1和∠4各是什么角？每组中两角的大小关系如何？

(2)如果∠1=∠4，那么∠1和∠2相等吗？∠1和∠3互补吗？为什么？

【答案与解析】

解：(1)∠1和∠2是内错角；∠1和∠3是同旁内角；∠1和∠4是同位角． 每组中两角的大小均不确定．

(2) ∠1与∠2相等，∠1和∠3互补. 理由如下：

① ∵∠1=∠4（已知）

    ∠4＝∠2（对顶角相等）  

   ∴∠1＝∠2.

② ∵∠4＋∠3＝180°(邻补角定义)

    ∠1＝∠4(已知)

∴∠1＋∠3＝180°

    即∠1和∠3互补.

综上，如果∠1=∠4，那么∠1与∠2相等，∠1和∠3互补．

【总结升华】在“三线八角”中，如果有一对同位角相等，则其他对同位角也分别相等，并且所有的内错角相等，所有同旁内角互补．

举一反三：

【变式1】若∠1与∠2是内错角，则它们之间的关系是    (    ) ．

A．∠1＝∠2    B．∠1＞∠2    C．∠1＜∠2     D．∠1＝∠2或∠1＞∠2或∠1＜∠2

【答案】D

【变式2】下列命题：①两条直线相交，一角的两邻补角相等，则这两条直线垂直；②两条直线相交，一角与其邻补角相等，则这两条直线垂直；③内错角相等，则它们的角平分线互相垂直；④同旁内角互补，则它们的角平分线互相垂直，其中正确的个数为（　　）．

A．4       B．3      C．2         D．1

【答案】C （提示：②④正确）．

【巩固练习】

一、选择题

1．如图，直线AD、BC被直线AC所截，则∠1和∠2是(    ).

    A．内错角    B．同位角    C．同旁内角    D．对顶角

2．如图，能与构成同位角的有(    ).

    A．4个    B．3个    C．2个    D．1个

3．如图，下列说法错误的是(    ).

 ①∠1和∠3是同位角；       ②∠1和∠5是同位角；

③∠1和∠2是同旁内角；     ④∠1和∠4是内错角.

A．①②    B．②③    C．②④    D．③④

4．若∠1与∠2是同位角，则它们之间的关系是(    ).

A．∠1＝∠2 ；   B．∠1＞∠2 ； 

 C．∠1＜∠2；    D．∠1＝∠2或∠1＞∠2或∠1＜∠2.

5．（2015•宿迁）如图所示，直线a，b被直线c所截，∠1与∠2是（　　）

A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．邻补角

6. 已知图（1）—（4）：

在上述四个图中，∠1与∠2是同位角的有（  ）.

A．（1）（2）（3）（4）  B．（1）（2）（3）  C．（1）（3）  D．（1）

7.如图，下列结论正确的是（   ）.

A．∠5与∠2是对顶角；     B．∠1与∠3是同位角； 

C．∠2与∠3是同旁内角；   D．∠1与∠2是同旁内角.

8.在图中，∠1与∠2不是同旁内角的是  （  ）.

二、填空题

9．（2015•鞍山二模）如图，当直线BC、DC被直线AB所截时，∠1的同位角是_______，同旁内角是_______；当直线AB、AC被直线BC所截时，∠1的同位角是________；当直线AB、BC被直线CD所截时，∠2的内错角是________．

10．如图，

(1)∠1和∠ABC是直线AB、CE被直线________所截得的________角；

  (2)∠2和∠BAC是直线CE、AB被直线________所截得的________角；

    (3)∠3和∠ABC是直线________、________被直线________所截得的________角；

 (4)∠ABC和∠ACD是直线________、________被直线         所截得的________角；

    (5)∠ABC和∠BCE是直线________、________被直线        所截得的________角．

11．如图，若∠1＝95°，∠2＝60°，则∠3的同位角等于________，∠3的内错角等于________，∠3的同旁内角等于________．

12．如图，在图中的∠1、∠2、∠3、∠4、∠5和∠B中，同位角是________，内错角是________，同旁内角是________．

13．如图，直线a、b、c分别与直线d、e相交，与∠1构成同位角的角共有________个，和∠l构成内错角的角共有________个，与∠1构成同旁内角的角共有________个．

14.如图，三条直线两两相交，其中同旁内角共有       对，同位角共有      对，内错角共有       对.

三、解答题

15．如图，∠1和哪些角是内错角? ∠1和哪些角是同旁内角? ∠2和哪些角是内错角? ∠2和哪些角是同旁内角?它们分别是由哪两条直线被哪一条线截成的?

16．指出图中的同位角、内错角、同旁内角．

17. （2015春•惠城区期中）指出图中各对角的位置关系：

（1）∠C和∠D是　   　角；

（2）∠B和∠GEF是　  　角；

（3）∠A和∠D是　  　角；

（4）∠AGE和∠BGE是　  　角；

（5）∠CFD和∠AFB是　  　角．

【答案与解析】

一、选择题

1. 【答案】A  

【解析】∠1与∠2是直线AD、BC被直线AC所截而成，且这两角都在被截线AD、BC之间，在截线AC两侧，所以为内错角．

2．【答案】B

【解析】如图，与能构成同位角的有：∠1，∠2，∠3．

3. 【答案】C

【解析】②错因：∠1与∠5没有公共边，不是“三线八角”中的角；④错因：∠4没在截线的内侧，所以∠1与∠4不是内错角．

4. 【答案】D

【解析】由两角是同位角，内错角或同旁内角得不出它们大小之间的关系．

5.【答案】A．

6. 【答案】C

【解析】图（2）或图（4）中的∠1与∠2没有公共边，不属于“三线八角”中的角．

7. 【答案】D

8. 【答案】D

【解析】选项D中∠1与∠2没有公共边，不属于“三线八角”中的角．

二、填空题

9.【答案】∠2,  ∠5,  ∠3,  ∠4

【解析】先看哪两条线被哪一条线所截，再判断它们的关系．

10.【答案】(1)BD(或BC),  同位； (2)AC,  内错；  (3)AB, AC,  BC,  同旁内;

            (4)AB， AC， BC，同位； (5)AB， CE， BC，同旁内．

【解析】可以从复杂图形中抽出简单图形进行分析．

11．【答案】85°， 85°，  95°

【解析】∠3的同位角和内错角均与∠1互补，故它们的度数均为：180°－95°=85°，

而∠3的同旁内角是∠1的对顶角，所以∠3的同旁内角的度数等于∠1的度数．

12．【答案】∠l与∠B，∠4与∠B；∠2与∠5，∠3与∠4；∠2与∠4，∠3与∠5，∠3与∠B，∠B与∠5．

13．【答案】3，2，2

【解析】如图，与∠1是同位角的是：∠2, ∠3,∠4；与∠1是内错角的是：∠5,

∠6；与∠1是同旁内角的是：∠7，∠8．

14．【答案】6,  12,  6

【解析】每个“三线八角”中共有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角，而两两相交，且不交于同一点的三条直线共有三个“三线八角”，所以同旁内角共有：（对），同位角共有：（对），同旁内角共有：（对）．

三、解答题

15. 【解析】

解：∠1和∠DAB是内错角，由直线DE和BC被直线AB所截而成；

∠1和∠BAC是同旁内角，由直线BC和AC被直线AB所截而成；

∠1和∠2也是同旁内角，是直线AB和AC被直线BC所截而成；

∠1和∠BAE也是同旁内角，是直线DE和BC被直线AB所截而成；

∠2和∠EAC是内错角，是直线DE和BC被直线AC所截而成；

∠2和∠BAC是同旁内角，是直线AB和BC被直线AC所截而成；

∠2和∠1也是同旁内角，是直线AB和AC被直线BC所截而成；

∠2和∠DAC也是同旁内角，是直线DE和BC被直线AC所截而成．

16．【解析】

解：如图，可分解成三个基本图形，由图(1)得内错角：∠BAD和∠B；

由图(2)得同位角：∠DAE和∠C，同旁内角：∠CAD和∠C；

由图(3)得同位角：∠BAE和∠C，内错角：∠B和∠BAE，同旁内角：∠B和∠C，∠B和∠BAC，∠C和∠BAC．

即原图形中共有两组同位角，两组内错角，四组同旁内角．

17.【解析】

解：（1）∠C和∠D是同旁内角；

（2）∠B和∠GEF是同位角；

（3）∠A和∠D是内错角；

（4）∠AGE和∠BGE是邻补角；

（5）∠CFD和∠AFB是对顶角；

故答案为：（1）同旁内角 （2）同位角 （3）内错角 （4）邻补角 （5）对顶角