湘教版七年级下册6.2 方差导学案

方差——知识讲解

【学习目标】

1.了解极差、方差和标准差的意义和求法，体会它们刻画数据波动的不同特征，能借助计算器求出相应的数值；

2.学会用极差、方差与标准差来处理数据．并用它们来解决实际问题；

3.通过实例体会用样本估计总体的思想.

【要点梳理】

要点一、极差、方差与标准差

1.极差

一组数据中最大数据与最小数据的差，叫做极差（range），极差＝最大值－最小值.

要点诠释：

极差是最简单的一种度量数据波动情况的量，它受极端值的影响较大.一组数据的极差越小，这组数据的波动幅度也越小，也就越稳定.当个别极值远离其他数据时，极差往往不能充分地反映全体数据的实际离散程度.

2.方差

     在一组数据中，各个数据与它们的平均数的差的平方分别是，我们用它们的平均数，即用来描述这组数据的离散程度，并把它叫做这组数据的方差，记作.　　

要点诠释：

（1）方差反映的是一组数据偏离平均值的情况.方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小.

 （2）一组数据的每一个数都加上（或减去）同一个常数，所得的一组新数据的方差不变.

（3）一组数据的每一个数据都变为原来的倍，则所得的一组新数据的方差变为原来的倍.

3.标准差

通常，我们也用方差的算术平方根，即来描述一组数据的离散程度，并把它叫做这组数据的标准差，记作s.

要点诠释：

（1）标准差的数量单位与原数据一致.

 （2）一组数据的方差或标准差越小，这组数据的离散程度越小，这组数据就越稳定.

要点二、极差、方差与标准差的联系与区别

联系：极差与方差、标准差都是表示一组数据离散程度的特征数．

区别：极差表示一组数据波动范围的大小，它受极端数据的影响较大；方差反映了一组数据与其平均值的离散程度的大小．方差越大，稳定性越小；反之，则稳定性越好．所以一般情况下只求一组数据的波动范围时用极差，在考虑到这组数据的稳定性时用方差.

【典型例题】

类型一、极差、方差与标准差

1. 某水果店1至6月份的销售情况（单位：千克）为450、440、420、480、580、550，则这组数据的极差是        千克．

【思路点拨】将数据进行大小排列，根据极差的定义，极差=最大值-最小值.

【答案】160

【解析】最大数据是580，最小数据是420，所以极差是580-420=160.

【总结升华】本题考察极差的概念，关键是找准该组数据的最大值和最小值.

举一反三：

【变式】我国著名的珠穆朗玛峰海拔高达8844米，在它周围2千米的附近，耸立的几座著名山峰的高度如下表：

则这七座山峰海拔高度的极差为           米．

【答案】1699

2.一组数据－2，－1，0，1，2的方差是（    ）

 A．1 B．2  C．3 D．4

【思路点拨】先算出平均数，然后代入求方差的公式：

.

【答案】B

【解析】该组数据的平均数是0，所以=2.

【总结升华】此类题关键是掌握求方差的步骤，记准求方差的公式.

举一反三：

【变式】学校篮球队五名队员的年龄分别为，其方差为，则3年后这五名队员年龄的方差为______．

【答案】0.8

类型二、极差、方差与标准差的实际应用

3.甲、乙两班举行汉字输入比赛，参赛学生每分钟输入汉字的个数经统计计算后，填入下表：

    分析此表得出如下结论：（     ）

    （1）甲、乙两班学生成绩的平均水平相同；

    （2）乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数（每分钟输入汉字150个为优秀）

    （3）甲班学生成绩的波动情况比乙班成绩波动大．

    A．（1）（2）     B．（1）（2）（3）     C．（2）（3）     D．（1）（3）

【思路点拨】理清表格中所列数据代表的含义，以及数据差异而导致的不同.

【答案】B

【解析】甲、乙两班学生的平均字数都是135个/分钟，所以平均水平相同；从中位数上看，乙班的151大于甲班的149，表明乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数；从方差上看，甲班的方差大于乙班的方差，所以甲班学生成绩的波动情况比乙班成绩波动大.因此，（1）（2）（3）都正确，选B.

【总结升华】此类题关键是要能从表格中筛选出所需要的信息，理解每个数据所代表的含义.

举一反三：

【变式】（2015•常德）某村引进甲乙两种水稻良种，各选6块条件相同的实验田，同时播种并核定亩产，结果甲、乙两种水稻的平均产量均为550kg/亩，方差分别为S甲2=141.7，S乙2=433.3，则产量稳定，适合推广的品种为（　　）

A．甲、乙均可 B．甲 C．乙 D．无法确定

【答案】B.

解：根据题意，可得甲、乙两种水稻的平均产量相同，

∵141.7＜433.3，

∴S甲2＜S乙2，

即甲种水稻的产量稳定，

∴产量稳定，适合推广的品种为甲种水稻．

故选：B．

4. 从甲、乙两种玉米苗中各抽10株，分别测得它们的株高如下：（单位：cm）

甲： 21  42   39  14  19  22  37  41  40  25

乙： 27  16   40  41  16  44  40  40  27  44

(1)根据以上数据分别求甲、乙两种玉米的极差和方差.

(2)哪种玉米的苗长得高些；

(3)哪种玉米的苗长得齐？

【思路点拨】本题考察极差、方差的定义.要求极差，只要用数据中最大值减去最小值，求到差值即可.利用方差的计算公式可以求到方差.

【答案与解析】

解：（1）甲的极差： 42-14=28(cm)；

        乙的极差：44-16=28(cm).

甲的平均值:

乙的平均值:

甲的方差:,

乙的方差:

（2）因为甲种玉米的平均高度小于乙种玉米的平均高度，所以乙种玉米的苗长的高.

（3）因为，所以甲种玉米的苗长得整齐.

【总结升华】本题既是一道和极差、方差计算有关的问题，又是利用方差解决实际问题的一道题目，关键是理解和掌握极差、方差的求解公式.

举一反三：

【变式】

为了比较甲、乙两种水稻的长势，农技人员从两块试验田中，分别随机抽取5棵植株，将测得的苗高数据绘制成下图：

请你根据统计图所提供的数据，计算平均数和方差，并比较两种水稻的长势．

【答案】

　　， 

　　甲种水稻比乙种水稻长得更高一些． 

　　， 

　　乙种水稻比甲种水稻长得更整齐一些． 

5.（2015春•安达市期末）甲、乙两台机床同时加工直径为10mm的同种规格零件，为了检查两台机床加工零件的稳定性，质检员从两台机床的产品中各抽取5件进行检测，结果如下（单位：mm）：

（1）分别求出这两台机床所加工零件直径的平均数和方差；

（2）根据所学的统计知识，你认为哪一台机床生产零件的稳定性更好一些，说明理由．

【思路点拨】（1）根据所给的两组数据，分布求出两组数据的平均数，再利用方差公式求两组数据的方差即可．

（2）根据甲的方差大于乙的方差，即可得出乙机床生产的零件稳定性更好一些．

【答案与解析】

解：（1）∵甲机床所加工零件直径的平均数是：（10+9.8+10+10.2+10）÷5=10，

乙机床所加工零件直径的平均数是：（9.9+10+10+10.1+10）÷5=10，

∴甲机床所加工零件直径的方差=[（10﹣10）2+（9.8﹣10）2+（10﹣10）2+（10.2﹣10）2+（10﹣10）2]=0.013，

乙机床所加工零件直径的方差=[（9.9﹣10）2+（10﹣10）2+（10﹣10）2+（10.1﹣10）2+（10﹣10）2]=0.004，

（2）∵S2甲＞S2乙，

∴乙机床生产零件的稳定性更好一些．

【总结升华】本题考查了平均数和方差，一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大．

举一反三：

【变式】某工厂甲、乙两名工人参加操作技能培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次测试成绩中随机抽取8次，数据如下(单位：分)

    (1)请你计算这两组数据的平均数、中位数；

    (2)现要从中选派一人参加操作技能比赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪名工人参加合适?请说明理由．

【答案】

解：(分)，

    (分)．

    甲、乙两组数据的中位数分别为83分、84分．

    (2)由(1)知分，所以

，

．

①从平均数看，甲、乙均为85分，平均水平相同；

②从中位数看，乙的中位数大于甲，乙的成绩好于甲；

③从方差来看，因为，，所以甲的成绩较稳定；

④从数据特点看，获得85分以上（含85分）的次数，甲有3次，而乙有4次，故乙的成绩好些；

⑤从数据的变化趋势看，乙后几次的成绩均高于甲，且呈上升趋势，因此乙更具潜力．

综上分析可知，甲的成绩虽然比乙稳定，但从中位数、获得好成绩的次数及发展势头等方面分析，乙具有明显优势，所以应派乙参赛更有望取得好成绩．

方差——巩固练习

【巩固练习】

一.选择题

1. （2015•齐齐哈尔）下列是某校教学活动小组学生的年龄情况：13，15，15，16，13，15，14，15（单位：岁）．这组数据的中位数和极差分别是（　　）

A．15，3   B．14，15      C．16，16     D．14，3

2.甲、乙二人在相同情况下，各射靶10次，两人命中环数的平均数V甲＝V 乙＝7，方差S甲2＝3，S乙2＝1.2，则射击成绩较稳定的是（   ）

    A．甲      B．乙      C．一样      D．不能确定

3.小伟五次数学考试成绩分别为：86分，78分，80分，85分，92分，李老师想了解小伟数学学习变化情况，则李老师最关注小伟数学成绩的（　　）

A．平均数  B．众数  C．中位数  D．方差

4.在2，3，4，5，五个数据中，平均数是4，那么这组数据的方差是（    ）

A.2   B.10  C.  D.

5.一组数据的方差为，将这组数据中的每个数都乘以2，所得新数据的方差是(    )．

    A．    B．    C．    D．

6.某学习小组位同学参加初中毕业生实验操作考试（满分20分）的平均成绩是分．其中三位男生的方差为（分），两位女生的成绩分别为分，分．则这个学习小组位同学考试分数的标准差为（　　）

Ａ．  Ｂ．  Ｃ．  Ｄ．

二.填空题

7.已知，5名同学目测同一本教科书的宽度时，产生的误差如下（单位：cm）：

2，－2，－1，1，0，则这组数据的极差为______cm．

8.已知一组数据0，1，2，3，4的方差为2，则数据20，21，22，23，24的方差为_____， 标准差为________．

9.对甲、乙两台机床生产的同一种型号的零件进行抽样检测（零件个数相同），其平均数、方差的计算结果是：机床甲：，；机床乙：，．由此可知：__________（填甲或乙）机床性能较好．

10. 为了比较甲、乙两种水稻秧苗是否出苗整齐，每种秧苗随机各取5株量出每株的长度如下表所示（单位：厘米）
  

经计算，所抽取的甲、乙两种水稻秧苗长度的平均数都是13厘米，方差S2甲=3.6厘米2，那么S2乙=　_________　厘米2，因此　_________　种水稻秧苗出苗更整齐．

11．（2015•济宁）甲乙两地9月上旬的日平均气温如图所示，则甲乙两地这10天日平均气温方差大小关系为S甲2　     　S乙2（填＞或＜）．

12.甲、乙两人比赛射飞镖，两人所得的平均环数相同，其中甲所得环数的方差为13，乙所得环数如下：2，5，6，9，8，则成绩比较稳定的是________．

三.解答题

13.为了了解市场上甲、乙两种手表日走时误差的情况，从这两种手表中各随机抽取10块进行测试，两种手表日走时误差的数据如下（单位：秒）：

（1）计算甲、乙两种手表日走时误差的平均数；

（2）你认为甲、乙两种手表中哪种手表走时稳定性好？说说你的理由．

14.（2015•丹东模拟）甲、乙两人在5次打靶测试中命中的环数如下：

甲：8，8，8，8，9

乙：5，9，7，10，9

（1）填写下表

（2）教练根据5次成绩，选择甲参加射击比赛，教练的理由是什么？

（3）如果乙再射击1此，命中8环，那么乙的射击成绩的方差　  　（填“变大”“变小”或“不变”）

15. 某公司对两名业务主管上半年六个月的工作业绩考核得分如下（每个月满分为10分）：

甲  5  6  8  7  9   7

乙  3  6  7  9  10  7

（1）分别求出甲、乙两人的平均得分．

（2）根据所学方差知识，请你比较谁的工作业绩较稳定．

16. 一次期中考试中，五位同学的数学、英语成绩等有关信息如下表所示：（单位：分）

（1）求这五位同学在本次考试中数学成绩的平均分和英语成绩的标准差；

（2）为了比较不同学科考试成绩的好与差，采用标准分是一个合理的选择．标准分的计算公式是：标准分＝（个人成绩－平均成绩）÷成绩标准差．

从标准分看，标准分大的考试成绩更好．请问同学在本次考试中，数学与英语哪个学科考得更好？

【答案与解析】

一.选择题

1.【答案】A；

【解析】解：按从小到大的顺序排列为：13，13，14，15，15，15，15，16，故中位数为（15+15）÷2=15，极差为16﹣13=3．故选A．

2．【答案】B；

 【解析】方差越小，数据的波动越小，成绩越稳定.∵S乙2＞S甲2，∴乙成绩更稳定.

3．【答案】D；

  【解析】因为方差最能表现成绩的波动变化情况.所以选D.

4.【答案】A；

【解析】根据平均数可以算出x=6，然后代入方差公式求即可.

5.【答案】D.

6.【答案】B；

【解析】∵，所以

=18，位同学考试分数的标准差为：

==2.答案选B.

二.填空题

7．【答案】4.

8．【答案】2；.

【解析】由于一组数据的每一个数都加上（或减去）同一个常数，所得的一组新数据的方差不变.在本题中，所求的数据相当于在数据0，1，2，3，4的基础上，每一个数据都增加20，所以方差仍为2，因此标准差为.

9.【答案】甲；

  【解析】甲、乙机床生产的零件平均数相同，方差越小，表示波动越小，机床性能越好.

10．【答案】2，乙；

【解析】平均数相同，方差越小，表示波动越小，也就越整齐.

11．【答案】＞；

   【解析】解：观察平均气温统计图可知：乙地的平均气温比较稳定，波动小；

则乙地的日平均气温的方差小，

故S2甲＞S2乙．

故答案为：＞．

12.【答案】乙；

   【解析】由题意知＝6，，则乙的成绩比较稳定.

三.解答题

13.【解析】

解：（1），

．

（2），

由知甲种手表走时稳定性好.

14.【解析】

解：（1）甲的众数为8；

乙的平均数==8，乙的中位数==8；

（2）因为甲乙的平均数相等，而甲的方差小，成绩比较稳定，所以选择甲参加射击比赛；

（3）如果乙再射击1次，命中8环，平均数不变，根据方差公式可得乙的射击成绩的方差变小．

故答案为8，8，8；变小．

15.【解析】

解：（1），

．

（2），

．

∵，

∴甲的工作业绩较稳定．

16.【解析】

解：（1）数学考试成绩的平均分数学，

　　英语考试成绩的标准差

英语．

　　（2）设同学数学考试成绩标准分为数学，英语考试成绩标准分为英语，则

　　数学，英语．

　　数学>英语，

　　从标准分来看，同学数学比英语考得更好．