2021学年第1章 二元一次方程组综合与测试学案设计

《二元一次方程组》全章复习与巩固（提高）知识讲解

【学习目标】

1.了解二元一次方程组及其解的有关概念；毛

2.掌握消元法（代入或加减消元法）解二元一次方程组的方法；

3.理解和掌握方程组与实际问题的联系以及方程组的解；

4.掌握二元一次方程组在解决实际问题中的简单应用；

5.通过对二元一次方程组的应用，培养应用数学的理念.

【知识网络】

【要点梳理】

要点一、二元一次方程组的相关概念

1. 二元一次方程的定义

定义：方程中含有两个未知数（一般用和），并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程.

要点诠释：

（1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数.

（2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1.

（3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式.

2.二元一次方程的解

定义：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解.

要点诠释：

二元一次方程的每一个解，都是一对数值，而不是一个数值，一般要用大括号联立起来，即二元一次方程的解通常表示为 的形式.

3. 二元一次方程组的定义

定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 此外，组成方程组的各个方程也不必同时含有两个未知数.例如，二元一次方程组.

要点诠释：

（1）它的一般形式为（其中，，，不同时为零）．

（2）更一般地，如果两个一次方程合起来共有两个未知数，那么它们组成一个二元一次方程组．

（3）符号“”表示同时满足，相当于“且”的意思．

4. 二元一次方程组的解

定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.

要点诠释：

（1）方程组中每个未知数的值应同时满足两个方程，所以检验是否是方程组的解，应把数值代入两个方程，若两个方程同时成立，才是方程组的解，而方程组中某一个方程的某一组解不一定是方程组的解.

（2）方程组的解要用大括号联立；

（3）一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组无解，而方程组 的解有无数个.

要点二、二元一次方程组的解法

1.解二元一次方程组的思想

2.解二元一次方程组的基本方法：代入消元法和加减消元法

（1）用代入消元法解二元一次方程组的一般过程：

①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有（或）的代数式表示（或），即变成（或）的形式；

②将（或）代入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去（或），得到一个关于（或）的一元一次方程；

③解这个一元一次方程，求出（或）的值；

④把（或）的值代入（或）中，求（或）的值；

⑤用“”联立两个未知数的值，就是方程组的解.

要点诠释：

 (1)用代入法解二元一次方程组时，应先观察各项系数的特点，尽可能选择变形后比较简单或代入后化简比较容易的方程变形；

(2)变形后的方程不能再代入原方程，只能代入原方程组中的另一个方程；

(3)要善于分析方程的特点，寻找简便的解法.如将某个未知数连同它的系数作为一个整体用含另一个未知数的代数式来表示，代入另一个方程，或直接将某一方程代入另一个方程，这种方法叫做整体代入法.整体代入法是解二元一次方程组常用的方法之一，它的运用可使运算简便，提高运算速度及准确率.

（2）用加减消元法解二元一次方程组的一般过程：

①根据“等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于0的数，等式仍然成立”的性质，将原方程组化成有一个未知数的系数绝对值相等的形式；

②根据“等式两边加上（或减去）同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程”的性质，将变形后的两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程；

③解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；

④把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值；

⑤将两个未知数的值用“”联立在一起即可.

要点诠释：

当方程组中有一个未知数的系数的绝对值相等或同一个未知数的系数成整数倍时，用加减消元法较简单.

要点三、实际问题与二元一次方程组

要点诠释：

（1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去；

（2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称；

（3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组.

要点四、三元一次方程组

1．定义：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做三元一次方程；含有三个相同的求知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组.

等都是三元一次方程组.

要点诠释：理解三元一次方程组的定义时，要注意以下几点：

（1）方程组中的每一个方程都是一次方程；

（2）如果三个一元一次方程合起来共有三个未知数，它们就能组成一个三元一次方程组.

2．三元一次方程组的解法

解三元一次方程组的基本思想仍是消元，一般的，应利用代入法或加减法消去一个未知数，从而化三元为二元，然后解这个二元一次方程组，求出两个未知数，最后再求出另一个未知数．解三元一次方程组的一般步骤是：

 （1）利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；

 （2）解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；

 （3）将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程；

 （4）解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值；

 （5）将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起．

要点诠释：

（1）有些特殊的方程组可用特殊的消元法，解题时要根据各方程特点寻求比较简单的解法．

（2）要检验求得的未知数的值是不是原方程组的解，将所求得的一组未知数的值分别代入原方程组里的每一个方程中，看每个方程的左右两边是否相等，若相等，则是原方程组的解，只要有一个方程的左、右两边不相等就不是原方程组的解．

3. 三元一次方程组的应用

列三元一次方程组解应用题的一般步骤：

（1）弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如x，y，z)表示题目中的两个(或三个)未知数；

（2）找出能够表达应用题全部含义的相等关系；

（3）根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组；

（4）解这个方程组，求出未知数的值；

（5）写出答案(包括单位名称)．

要点诠释：

(1)解实际应用题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的应该舍去．

(2)“设”、“答”两步，都要写清单位名称，应注意单位是否统一．

(3)一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组．

【典型例题】

类型一、二元一次方程组的相关概念 

1.在下列方程中，只有一个解的是（ ）

A.     B.    C.   D.

【思路点拨】逐一求每个选项中方程组的解，便得出正确答案

【答案】C.

【解析】选项A、B、D中，将方程，两边同乘以3得，从而可以判断A、B选项中的两个二元一次方程矛盾，所以无解；而D中两个方程实际是一个二元一次方程，所以有无数组解，排除法得正确答案为C.

【总结升华】在（其中，，，均不为零），

（1）当时，方程组无解；（2）当，方程组有无数组解；

（3）当，方程组有唯一解．

举一反三：

【高清课堂：二元一次方程组章节复习409413 例1（3）】

【变式1】若关于x、y的方程是二元一次方程，则m =       ．

【答案】1．

【变式2】已知方程组有无数多个解，则a、b 的值等于        ．  

【答案】a＝﹣3，b＝﹣14．

类型二、二元一次方程组的解法    

2. (黄冈调考)解方程组

【思路点拨】本题结构比较复杂，一般应先化简，再消元．仔细观察题目，不难发现，方程组中的每一个方程都含有(x-y)，因此可以把(x-y)看作一个整体，消去(x-y)可得到一个关于y的一元一次方程．

【答案与解析】

 解：由①×9得：6(x-y)+9y＝45    ③

    ②×4得：6(x-y)-10y＝-12        ④

    ③-④得：19y＝57，

    解得y＝3．

    把y＝3代入①，得x＝6．

所以原方程组的解是．

【总结升华】本题巧妙运用整体法求解方程组，显然比加减法或代入法要简单，在平时求方程组的解时，要善于发现方程组的特点，运用整体法求解会收到事半功倍的效果．

举一反三：

【变式】(换元思想)解方程组

【答案】

解：设，．

则原方程组可化为，解得．

所以 即．

∴  ．

3.方程的整数解的个数是       ．

【思路点拨】把1表示成两个非负整数的和，这两个数只能是1与0，于是一个方程裂变为多个方程组，通过解方程组来求解的个数．

【答案】2组

【解析】

解：由条件得或

即 或

即或或或，

解得，或或或

【总结升华】根据已知条件构造出方程组，再选择恰当方法求得方程组的解，然后再所求得出答案．

举一反三：

【变式】已知二元一次方程组 的解为，，则         .

【答案】11.

类型三、实际问题与二元一次方程组

4.用8块相同的长方形地砖拼成一块矩形地面，地砖的拼放方式及相关数据如图所示，求每块地砖的长与宽.

【思路点拨】初看这道题目中没有提供任何相等关系，但是题目提供的图形隐含着矩形两条宽相等，两条长相等，我们设每个小长方形的长为x，宽为y，就可以列出一个关于x、y的二元一次方程组.

【答案与解析】

解：设每块地砖的长为xcm与宽为ycm，根据题意得：

，解得：

答：每块地砖长为45cm，宽为15cm

【总结升华】有些题目的相等关系不是直接给我们的，这就需要我们仔细阅读题目，设法提炼出题目中隐含的相等关系.

举一反三：

【变式】如图，长方形ABCD中放置9个形状、大小都相同的小长方形（尺寸如图），求图中阴影部分的面积.

【答案】

解：设每个小长方形的长为x，宽为y，根据题意得：

，解得

所以阴影部分的面积为：.

答：图中阴影部分的面积为82.

5.（龙岩）已知：用2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货11吨．某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）1辆A型车和1辆车B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？
（2）请你帮该物流公司设计租车方案；
（3）若A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．

【答案与解析】

【总结升华】本题实际上是求二元一次方程组的正整数．

举一反三：

【变式1】甲、乙两班学生到集市上购买苹果，价格如下：

甲班分两次共购买苹果70千克(第二次多于第一次)，共付出189元，而乙班则一次购买苹果70千克。

(1)乙班比甲班少付出多少元？
(2)甲班第一次、第二次分别购买苹果多少千克？

【答案】

解：（1） （元）

答：乙班比甲班少付出49元．

（2）设甲班第一次、第二次分别购买苹果、千克，则依据题意得：

①当，，则有：

，解得：，经检验满足题意；

   ②当，，则有：

    ，解得：，经检验不满足题意；

③当，，则有：，不满足题意．

答：甲班第一次购买苹果28千克，第二次购买42千克．

【高清课堂：实际问题与二元一次方程组（一）409143 例3、】

【变式2】某校为七年级学生安排宿舍，若每间宿舍住5人，则有4人住不下；若每间宿舍住6人，则有一间只住4人，且空两间宿舍，求该年级寄宿生人数及宿舍间数.

【答案】

解：设该年级有寄宿生x人，宿舍y间.

答：该年级寄宿生有94人，宿舍18间.

类型四、三元一次方程组

6.现有面值为2元、1元和5角的纸币共24张，币值共计29元，其中面值为2元的比1元的少6张，求三种面值各多少张？

【思路点拨】此题有三个未知数：面值分别为2元、1元、5角的纸币的张数，相等关系：

（1）面值为2元、1元和5角的纸币共24张；

（2）24张纸币的币值共计29元；

（3）面值为2元的比1元的少6张.

【答案与解析】

解：设面值为2元、1元和5角的纸币分别为张、张和.

依题意，得

把③分别代入①和②，得

⑤×2，得

，得，.

把代入③，得.

把代入①，得.

所以方程组的解是

答：面值为2元、1元和5角的纸币分别为7张、13张和4张.

【总结升华】列方程时，单位要统一，如本题中的5角要化为元.

举一反三：

【变式】解方程组

【答案】

解：各方程去分母，整理得

由①，得，④

把④分别代入②、③并整理成方程组，得

解这个方程组，得  将、值代入④求得.

所以方程组的解是

《二元一次方程组》全章复习与巩固（提高）巩固练习

【巩固练习】

一、选择题

1．如果方程组的解与方程组的解相同，则的值为（    ）.
　　A.-1 　　　B.2 　　　C.1 　　　D.0  

2．某商场的老板销售一种商品，他要以不低于进价20%价格才能出售，但为了获得更多利润，他以高出进价80%的价格标价．若你想买下标价为360元的这种商品，最多降价多少时商店老板才能出售（　　）．

A．80元  B．100元    C．120元  D．160元

3．若5x-6y=0，且xy≠0，则的值等于（    ）.

A. 　　　B.　　　 C.1 　　　D.-1

4．若方程组的解是则方程组

的解是（　　）．

A．     B．     C．      D．   

5．若下列三个二元一次方程：，，有公共解，那么的值应是（    ）.

　　A.-4 　　　B.4　　　 C.3 　　　D.-3

6. (甘肃白银)中央电视台2套“开心辞典”栏目中，有一期的题目如图所示，两个天平都平衡，则与两个球体质量相等的正方体的个数为(     ) ．

A．5    B．4    C．3    D．2

7.如图，用两根长度均为Lcm的绳子，分别围成一个正方形和圆．则围成的正方形和圆的面积比较（    ）．

A．正方形的面积大 　　　B．圆的面积大 　　　C．一样大 　　D．根据L的变化而变化

8.三元一次方程的非负整数解的个数有（    ）．

A．20001999个　　　B．19992000个　　　C．2001000个 　　　D．2001999个

二、填空题

9．已知 的解满足，则            .

10．有甲、乙、丙三种商品，如果购甲3件、乙2件，丙1件共需315元钱，购甲1件、乙2件、丙3件共需285元钱，那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需          元钱．

11.方程|a|+|b|=2 的自然数解是____________  ．

12.某超市在“六一节，大促销”活动中规定：一次购买的商品超过200元时，就可享受打折优惠.小红同学准备为班级购买奖品，需买6本影集和若干支钢笔，已知影集每本15元，钢笔每支8元，她至少买        支钢笔才能享受打折优惠.

13. 若x+y=a，x-y=1 同时成立，且x、y 都是正整数，则a 的值为________.

14．若 ，则____________.

15. 为确保信息安全，信息需加密传输，发送方将明加密为密文传输给接收方，接收方收到密文后解密还原为明文．已知某种加密规则为：明文a，b对应的密文为a-2b，2a+b．例如，明文1，2对应的密文是-3，4，当接收方收到密文是1，7时，解密得到的明文是        .

16.三个同学对问题“若方程组的解是，

求方程组的解．”提出各自的想法．甲说：“这个题目好象条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，通过换元替换的方法来解决”．参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是________．

三、解答题

17.解下列方程组：

（1）；                     （2）．

18.（湖南湘潭市）下列是按一定规律排列的方程组集合和它的解的集合的对应关系，若方程组集合中的方程自左向右依次记作方程组一，方程组二，方程组三，…，方程组.
　　， ， ，…， .
　　对应方程组的解的集合：
　　， ， ，…， .
　（1）将方程组一的解填入横线上；
　（2）按照方程组和它的解的变化规律，将方程组和它的解填入横线上；
　（3）若方程组 的解是 ，求的值，并判定该方程组是否符合上述规律.

19.某小区准备新建50个停车位，用以解决小区停车难的问题.已知新建1个地上停车位和1个地下停车位共需0.6万元；新建3个地上停车位和2个地下停车位共需1.3万元.

（1）该小区新建1个地上停车位和1个地下停车位各需多少万元？

（2）该小区的物业部门预计投资金额超过12万元而不超过13万元，那么共有几种建造停车位的方案？

20.甲地到乙地全程是3.3km，一段上坡，一段平路，一段下坡. 如果保持上坡每小时行3km，平路每小时行4km，下坡每小时行5km，那么从甲地到乙地需行51分，从乙地到甲地需行53.4分.求从甲地到乙地时上坡、平路、下坡的路程各是多少？

三、解答题

【答案与解析】

一、选择题

1. 【答案】C；

【解析】把 代入 ，得，①+②得，
　　　　　　　　所以．

2. 【答案】C；

【解析】解：设最多降价x元时商店老板才能出售．则可得：×（1+20%）+x=360

解得：x=120．

3. 【答案】A.

4. 【答案】A；

   【解析】由题意可得，解得．

5. 【答案】B；

   【解析】由方程与构成方程组，解得 ，
　 　　　把代入，得.

6. 【答案】A ；

【解析】解：设一个球体、圆柱体与正方体的质量分别为x、y、z， 根据已知条件，

有

①×2－②×5，得2x＝5y，即与2个球体质量相等的正方体的个数为5．

7. 【答案】B.

8. 【答案】C；

【解析】当时，，分别取0，1，2，3，…，1999，对应取1999，1998，…，0，有2000组整数解；同理可得当，有1999组整数解；当时，有1998组整数解，…，当时，有1组整数解．故非负整数解共有：

2000＋1999＋1998＋…＋1＝2001000（个）．

二、填空题

9.【答案】；

  【解析】由 得 ，再代入，

得，所以 .

10.【答案】150； 

   【解析】设甲乙丙三种商品的单价分别为，则

，将两式相加，可得，所以．

11.【答案】.

12.【答案】14；

【解析】设小红买支钢笔才能享受打折优惠，则：

，

解得，又为正整数，

所以．

13.【答案】a为大于或等于3的奇数；  

   【解析】由，解得，又为正整数，所以a为大于或等于3的奇数．

14.【答案】；

【解析】通过对原方程组的消元，可分别得出的关系式．

15．【答案】3，1；

【解析】由于本密码的解密钥匙是： 明文a，b对应的密文为a-2b，2a+b．

    故当密文是1，7时，

    得，  解得．也就是说，密文1，7分别对应明文3，1．

16．【答案】；

【解析】解：由题意得：

①②两边分别乘以5得：

与原方程组

对比得：

∴  方程组的解应该为：．

三、解答题

17.【解析】

解：（1）原方程组可化为 ，
　　　　由①×3－②×2，得，所以. 把代入①，得.
　　　　所以原方程组的解为 .
　（2）原方程组可化为： ，
　　　　　　　　①×2－②得：，
　　　　　　　　①×3－③得：
　　解由④⑤组成的方程组得， ，把代入①中，得.
　　所以原方程组的解为 .

18.【解析】

解：（1） ，①＋②得，，①－②得， ，∴ .
　　（2）方程组为 ，其解为 .
　　（3）把代入，得. ∴ .
　　　　∴方程组为 ，不符合上述规律.

19.【解析】

20. 【解析】

解：设从甲地到乙地时上坡、平路、下坡的路程分别是x千米，y千米，z千米，则

答：从甲地到乙地时上坡、平路、下坡的路程分别是1.2千米，0.6千米，1.5千米.