教科版必修16 匀变速直线运动位移与时间的关系导学案

匀变速直线运动位移与时间的关系

一、匀速直线运动的位移

1．匀速直线运动的v­t图像：与时间轴平行的直线。

2．v­t图像与位移：匀速直线运动物体的位移在数值上等于v­t图像与时间轴所包围的面积。

二、匀变速直线运动的位移

1．由v­t图像求位移：

(1)推导。

①把物体的运动分成几个小段，如图甲，每段位移≈每段起始时刻速度×每段的时间＝对应矩形面积。所以，整个过程的位移≈各个小矩形面积之和。

②把运动过程分为更多的小段，如图乙，各小矩形的面积之和可以更精确地表示物体在整个过程的位移。

③把整个过程分得非常非常细，如图丙，小矩形合在一起成了一个梯形，梯形的面积就代表物体在相应时间间隔内的位移。

(2)结论：做匀变速直线运动的物体的位移对应着v­t图像中的图线与对应的时间轴所包围的面积。

2．位移与时间关系式：x＝v0t＋at2。

三、位移－时间图像

1．x­t图像：以时间t为横坐标，以位移x为纵坐标，描述位移随时间变化情况的图像。

2．常见x­t图像的解释符合科学实际的有①②。

①若物体静止，x­t图像是一条平行于时间轴的直线。

②若物体做匀速直线运动，x­t图像是一条倾斜的直线。

③若物体做匀变速直线运动，x­t图像是一条倾斜的直线。

知识点一　匀变速直线运动位移公式的理解与应用

1．公式x＝v0t＋at2：

矢量性：x＝v0t＋at2为矢量式，其中的v0、a、x均为矢量，使用公式时应先规定正方向。一般以v0的方向为正方向。

2．公式x＝v0t＋at2的四种典型情况：

3.公式x＝v0t＋at2的应用：

(1)适用范围：匀变速直线运动。

(2)用途：公式中包含四个物理量，不涉及末速度，已知其中任意三个物理量时，可求出剩余的一个物理量。

情境：v­t图像能形象直观地描述速度随时间的变化规律。

讨论：(1)如何根据v­t图像中的“面积”求位移？推导位移公式x＝v0t＋at2。

提示：如图所示，速度图线和时间轴所包围的梯形面积为S＝(OC＋AB)

·OA。

与之对应的物体的位移x＝(v0＋vt)t。

由速度公式vt＝v0＋at，代入上式得x＝v0t＋at2。

(2)利用公式x＝v0t＋at2求出的位移大小等于物体运动的路程吗？

提示：不一定，当物体匀减速运动到速度为零再反向以等大的加速度匀加速运动时，位移的大小小于路程。

【典例】汽车以10 m/s的速度在平直公路上匀速行驶，刹车后经过2 s速度变为

6 m/s，求：

(1)刹车过程中的加速度。

(2)刹车后前进9 m所用的时间。

(3)刹车后8 s内前进的距离。

【解析】(1)根据匀变速直线运动的速度—时间公式v＝v0＋at得：

a＝ m/s2＝－2 m/s2。

(2)汽车从刹车到停止的时间为：

t0＝＝ s＝5 s。

根据x＝v0t＋at2

得：9＝10t－t2

解得：t＝1 s或者t＝9 s＞t0，故t＝9 s应舍去，取t＝1 s。

(3)根据(2)可知汽车经过5 s停下，所以刹车后8 s内前进的距离即汽车刹车5 s内前进的距离，由逆向思维法可得：x＝at2＝×2×25 m＝25 m。

答案：(1)－2 m/s2　(2)1 s　(3)25 m

1．(多选)一物体从静止开始做匀加速直线运动，下面说法中正确的是(　　)

A．第1 s内、第2 s内、第3 s内的运动距离之比一定是s1∶s2∶s3＝1∶4∶9

B．前1 s内、前2 s内、前3 s内的运动距离之比一定是x1∶x2∶x3＝1∶3∶5

C．第一段时间的末速度等于该段时间中间时刻瞬时速度的2倍

D．运动过程中，任意相邻等时间间隔内位移之差为定值

【解析】选C、D。根据s＝at2 ，得第1 s内运动的距离s1＝a×12＝a，第2 s内运动的距离，s2＝a×22－a×12＝a，第3 s内运动的距离s3＝a×32－a×22＝a，则第1 s内、第2 s内、第3 s内的运动距离之比一定是s1∶s2∶s3＝1∶3∶5，选项A错误；根据s＝at2，得前1 s内运动的距离s1′＝a×12＝a，前2 s内运动的距离s2′＝a×22＝a，前3 s内运动的距离s3′＝a×32＝a，则前1 s内、前2 s内、前3 s内的运动距离之比一定是1∶4∶9，选项B错误；第一段时间的初速度为零，末速度为v，则该段时间中间时刻的速度为＝ ，即v＝，即第一段时间的末速度等于该段时间中间时刻瞬时速度的2倍，选项C正确；设任意相邻等时间间隔为T，第一个T时间内的位移为xI＝v0T＋aT2，相邻第二个T时间内的位移为xⅡ＝(v0＋aT)T＋aT2，所以Δx＝xⅡ－xI＝aT2，所以运动过程中，任意相邻等时间间隔内位移之差为定值，选项D正确。

2．以36 km/h的速度行驶的汽车，刹车后做匀减速直线运动，若汽车在刹车后第2 s内的位移是6.25 m，求：

(1)汽车刹车过程中加速度的大小。

(2)刹车后5 s内的位移。

【解析】(1)汽车的初速度为：v0＝36 km/h＝10 m/s。

汽车在第2 s内的平均速度为＝＝ m/s＝6.25 m/s

所以汽车在第1.5 s末的速度为：v1.5＝＝6.25 m/s

加速度大小为a＝＝ m/s2＝2.5 m/s2。

(2)汽车从刹车到停下来的时间为t0＝＝ s＝4 s

所以刹车后5 s内的位移等于刹车后4 s内的位移，为x＝t0＝×4 m＝20 m。

答案：(1)2.5 m/s2　(2)20 m

【加固训练】

1．火车长100 m，从车头距离桥头200 m处由静止开始以1 m/s2的加速度做匀加速直线运动，桥长150 m。求火车过桥所用的时间。

【解析】根据题意，车头到达桥头时：x1＝200 m，

车尾通过桥尾时x2＝200 m＋100 m＋150 m＝450 m，v0＝0，a＝1 m/s2

由位移公式：x＝v0t＋at2

代入数据得：200 m＝×1 m/s2×t

450 m＝×1 m/s2×t

所以t2＝30 s，t1＝20 s

火车过桥的时间t2－t1＝10 s

答案：10 s

2．骑自行车的人以5 m/s的初速度匀减速地上一个斜坡(如图所示)，加速度的大小为0.4 m/s2，斜坡长30 m，骑自行车的人通过斜坡需要多少时间？

【解析】由位移公式x＝v0t＋at2，代入数据得：

30＝5t－×0.4t2，

解得：t1＝10 s，t2＝15 s。

t2＝15 s时，由v＝v0＋at可得v＝－1 m/s，所以t2＝15 s舍去。

答案：10 s

知识点二　位移－时间图像

x­t图像的应用

情境：如图所示的x­t图像反映了位移随时间的变化规律。

讨论：x­t图像能否表示物体运动的快慢和方向？

提示：能。x­t图线的斜率大小表示物体运动速度的大小，斜率的正、负可以表示物体运动速度的方向，斜率为正值，表明物体沿正方向运动；斜率为负值，表明物体沿负方向运动。

【典例】如图是A、B两个质点做直线运动的位移—时间图像。则(　　)

A．在运动过程中，A质点总比B质点运动得快

B．在0～t1这段时间内，两质点的位移相同

C．当t＝t1时，两质点的速度相等

D．当t＝t1时，A、B两质点的加速度不相等

【解析】选A。位移—时间图像中，图线的斜率对应物体的速度，所以A质点的速度比B质点的速度大，A正确；位移—时间图像中，位移等于初、末时刻对应的纵坐标的坐标差，所以在0～t1这段时间内，A质点的位移大于B质点的位移，B错误；t1时刻，两图像的斜率不同，两质点的速度不同，C错误；两物体都做匀速直线运动，加速度都等于零，D错误。

v­t和x­t图像的应用技巧

(1)确认是哪种图像，v­t图像还是x­t图像。

(2)理解并熟记五个对应关系。

①斜率与加速度或速度对应。

②纵截距与初速度或初始位置对应。

③横截距对应速度或位移为零的时刻。

④交点对应速度或位置相同。

⑤拐点对应运动状态发生改变。

1．如图所示，a、b分别为甲、乙两物体在同一直线上运动时的位移与时间的关系图像，其中a为过原点的倾斜直线，b为开口向下的抛物线。下列说法正确的是(　　)

A．物体甲做直线运动，物体乙始终沿正方向做曲线运动

B．t1时刻甲、乙两物体的位移相等、速度相等

C．t1到t2时间内两物体的平均速度相同

D．0～t2时间内两物体间距一直减小

【解析】选C。根据位移—时间图线的斜率表示速度，斜率正负表示速度的方向，得知物体甲做匀速直线运动；物体乙先沿正方向，后沿负方向做直线运动，故A错误。t1时刻甲、乙两物体的位移相同，处于同一位置，但图像的斜率不同，故速度不同，故B错误。t1到t2时间内两物体的位移相同，所用时间相同，则平均速度相同，故C正确。 0～t2时间内两物体间距先增加后减小，再增加，再减小，选项D错误。故选C。

2．(多选)A、B、C、D四个物体在同一条直线上做直线运动，A物体的x­t、B物体的v­t、C物体和D物体的a­t图像依次如图所示，规定水平向右为正方向，已知物体在t＝0时的速度均为零，且此时C物体在D物体的左边1.75 m处，则(　　)

A．其中0～4 s内物体运动位移最大的是B物体

B．其中0～4 s内物体运动位移最大的是C物体

C．t＝2.5 s时C物体追上D物体

D．t＝3.5 s时C物体追上D物体

【解析】选B、D。由A图的位移－时间图像可知，4 s末到达初始位置，总位移为零；由B图的速度－时间图像可知，速度在2 s内沿正方向，2～4 s沿负方向，方向改变，4 s内总位移为零；由C图像可知：物体在第1 s内做匀加速运动，第2 s内做匀减速运动，2 s末速度减为0，然后重复前面的过程，是单向直线运动，位移一直增大；由D图像可知：物体在第1 s内做匀加速运动，第2～3 s内做匀减速运动，2 s末速度减为0，第3 s内沿负方向运动，不是单向直线运动。则其中0～4 s内物体运动位移最大的是C物体，选项A错误，B正确；根据前面的分析，画出C、D两个物体的速度—时间图像如图：

v­t图像图线与时间轴围成的面积表示位移，由图可知在前2 s内两个物体的位移大小相等，所以前2 s内两个物体不可能相遇；第3 s内二者的位移大小是相等的，都是：Δx＝·t＝×1 m＝0.5 m，此时二者之间的距离：L＝L0＋(－Δx)－Δx＝1.75 m－0.5 m－0.5 m＝0.75 m，3 s末二者之间的距离是0.75 m，此时二者的速度大小相等，方向相反，所以相遇的时间大于3 s。设再经过Δt时间二者相遇，则：L＝2(vm·Δt－aΔt2)，代入数据可得：Δt＝0.5 s或1.5 s(舍去)，所以相遇的时刻在t＝3.5 s。故C错误，D正确，故选B、D。

【加固训练】

1．(多选)下列给出的四组图像中，能够反映同一直线运动的是(　　)

【解析】选B、C。A、B选项中的左图表明0～3 s内物体匀速运动，位移正比于时间，加速度为零，3～5 s内物体匀加速运动，加速度大小a＝＝2 m/s2，A错，B对；C、D选项中左图0～3 s位移不变，表示物体静止(速度为零，加速度为零)，3～5 s内位移与时间成正比，表示物体匀速，v＝＝2 m/s，a＝0，C对、D错。

2．(多选)a、b两个质点相对于同一质点在同一直线上运动的x­t图像如图所示。关于a、b的运动，下面说法正确的是(　　)

A．a、b两个质点运动的出发点相距5 m

B．质点a比质点b迟1 s开始运动

C．在0～3 s时间内a、b的位移大小相等，方向相反

D．1～2 s内，质点a运动的速率比质点b运动的速率大

【解析】选A、C。由题图可以看出：被选作参考系的质点位于坐标轴上的原点，质点a从坐标轴上＋5 m处向原点运动，经2 s到达坐标系原点，速率va＝2.5 m/s。在t＝1 s时，质点b从坐标系原点出发，沿坐标轴的正方向运动，1 s内的位移为5 m，速率vb＝5 m/s；0～3 s内，它们的位移大小相等，均为5 m，而方向相反。

知识点三　匀变速直线运动的两个重要推论

1．推论1：

(1)表达式：做匀变速直线运动的物体，在一段时间t内的平均速度等于这段时间内中间时刻的瞬时速度，还等于这段时间初、末速度和的一半，即＝＝。

(2)推导：设物体的初速度为v0，做匀变速直线运动的加速度为a，t秒末的速度为v。由x＝v0t＋at2得，①

平均速度＝＝v0＋at②

由速度公式v＝v0＋at知，当t′＝时，＝v0＋a③

由②③得＝④

又v＝v＋a⑤

联立以上各式解得v＝，所以＝＝。

2．推论2：

(1)表达式：在任意两个连续相等的时间间隔T内，位移之差是一个常量，即Δx＝xⅡ－xⅠ＝aT 2

(2)推导：时间T内的位移x1＝v0T＋aT2①

在时间2T内的位移x2＝v0×2T＋a(2T)2②

则xⅠ＝x1，xⅡ＝x2－x1③

由①②③得Δx＝xⅡ－xⅠ＝aT2

(3)应用。

①判断物体是否做匀变速直线运动。

②求加速度。

情境：如图为一段记录小车做匀变速运动的纸带，打点计时器的打点周期为T，A、B、C为相邻的三个计时点，其中AB＝s1，BC＝s2。

讨论：(1)小车在B点的速度为多少？

提示：vB＝。

(2)小车运动的加速度大小是多少？

提示：a＝。

【典例】(一题多解)一物体做匀变速直线运动，在连续相等的两个时间间隔内，通过的位移分别是24 m和64 m，每一个时间间隔为4 s，求物体的初速度、末速度及加速度大小。

【解析】解法一：基本公式法

如图所示，由位移公式得x1＝vAT＋aT2，x2＝vA·2T＋a(2T)2－，vC＝vA＋a·2T，将x1＝24 m，x2＝64 m，T＝4 s代入以上三式，解得a＝

2.5 m/s2，vA＝1 m/s，vC＝21 m/s。

解法二：平均速度法

连续两段相等时间T内的平均速度分别为

1＝＝ m/s＝6 m/s，2＝＝ m/s＝16 m/s

且1＝，2＝，由于B是A、C的中间时刻，

则vB＝＝＝ m/s＝11 m/s

解得vA＝1 m/s，vC＝21 m/s，加速度为a＝＝ m/s2＝2.5 m/s2。

解法三：逐差法

由Δx＝aT2可得a＝＝ m/s2＝2.5 m/s2，又x1＝vAT＋aT2，

vC＝vA＋a·2T，联立解得vA＝1 m/s，vC＝21 m/s。

答案：1 m/s　21 m/s　2.5 m/s2

速度的四种求解方法

(1)基本公式法，设出初速度和加速度，列方程组求解。

(2)推论法，利用逐差法先求加速度，再求速度。

(3)平均速度公式法，弄清最大速度是第一个过程的末速度，第二个过程的初速度。平均速度整个过程不变。

(4)图像法，通过画v­t图像求解。

1．一物体自距地面高为H的位置处自由下落，当它的速度达到着地速度一半时，它的下落高度为(　　)

A．　　　B．　　　C．　　　D．

【解析】选B。设物体落地时的速度大小为v。由v2－v＝2gx得下落H的过程中有：v2－0＝2gH，下落速度为着地速度一半时的过程中有：－0＝2gh，联立可得：h＝。故B正确，A、C、D错误。

2．物体以某一速度冲上一光滑斜面(足够长)，先做匀减速直线运动，后沿斜面滑下做匀加速直线运动，全过程加速度不变。已知前4 s内位移是1.6 m，随后4 s内位移是零，则下列说法中正确的是(　　)

A．物体的初速度大小为0.8 m/s

B．物体的加速度大小为0.2 m/s2

C．物体向上运动的最大距离为1.8 m

D．物体回到斜面底端，总共用时10 s

【解析】选C。设沿斜面向上为正方向，由Δx＝aT2，得物体上滑的加速度为：a＝＝ m/s2＝－0.1 m/s2。根据匀变速直线运动的位移—时间关系，知物体前4 s内的位移x＝v0t＋at2，得物体的初速度为：v0＝0.6 m/s，故A、B错误；物体向上运动的最大距离为：xm＝＝1.8 m，故C正确；据x＝v0t＋at2得，当x＝0时物体回到出发点，总共用时为：t＝12 s，故D错误。

【加固训练】

(多选)物体从静止开始做匀加速直线运动，已知第4 s内与第2 s内的位移之差是4 m，则可知(　　)

A．第1 s内的位移为2 m

B．第2 s末的速度为4 m/s

C．物体运动的加速度为1 m/s2

D．物体在第5 s内的平均速度为9 m/s

【解析】选B、D。设物体的加速度为a，第4 s内位移x4＝a×42－a×32＝a，第2 s内位移x2＝a×22－a×12＝a，由题意可得4＝x4－x2＝2a，所以a＝2 m/s2，C错误；第1 s内的位移x1＝×2×12 m＝1 m，A错误；第2 s末的速度v2＝2×2 m/s＝4 m/s，B正确；第5 s内的位移x5＝×2×52 m－×2×42 m＝9 m，所以平均速度为9 m/s，D正确。

【拓展例题】考查内容：刹车问题的应用

【典例】一辆汽车刹车前的速度为126 km/h，刹车获得的加速度大小为

10 m/s2，则：

(1)汽车刹车开始后5 s内滑行的距离为多少米？

(2)从开始刹车到汽车运动41.25 m所经历的时间？

【解析】v0＝126 km/h＝35 m/s

(1)从开始刹车到停止的时间为t＝＝ s＝3.5 s，由于t1＝5 s>3.5 s，所以此时汽车已经停止，5 s内的位移即为3.5 s内的位移，x＝t＝×3.5 m＝61.25 m

(2)由位移公式x＝v0t＋at2代入数据得41.25＝35t－×10t2，解得t＝1.5 s(t＝5.5 s，不符合题意，舍去)

答案：(1)61.25 m　(2)1.5 s

1．某物体做匀变速直线运动，其位移与时间的关系为x＝0.5t＋t2(m)，则当物体的速度为3 m/s时，物体已运动的时间为(　　)

A．3 s　　　B．2.5 s　　　C．1.25 s　　　D．6 s

【解析】选C。根据x＝v0t＋at2＝0.5t＋t2(m)知，初速度v0＝0.5 m/s，加速度a＝2 m/s2。根据速度—时间公式v＝v0＋at得，t＝＝1.25 s。故C正确。

【加固训练】

一物体由静止开始做匀变速直线运动，在时间t内通过的位移为x，则它从出发开始经过的位移所用的时间为(　　)

A．　　 　B．　　 　C．　　 　D．t

【解析】选B。由位移公式得x＝at2，＝at′2，所以＝4，故t′＝，B正确。

2．甲、乙两物体朝同一方向做匀速直线运动，已知甲的速度大于乙的速度，t＝0时，乙物体在甲物体前一定距离处，则两个物体运动的x­t图像应是(　　)

【解析】选C。位移—时间图像中图线的斜率的绝对值表示速度大小，由于甲的速度较大，所以甲的斜率较大，B、D错；纵坐标表示位置，乙在甲的前面，可知A错。

3．如图是某监测系统每隔2.5 s拍摄的关于卫星发射起始加速阶段火箭的一组照片，已知火箭的长度为40 m。现在用刻度尺测量照片上的位置关系，结果如图所示，请你估算火箭的加速度大小a。

【解析】由火箭长度为40 m可知，刻度尺上的1 cm相当于实际长度20 m。量出前后两段位移分别为4.00 cm 和6.50 cm，对应的实际位移分别为80 m和

130 m，由Δx＝aT2可得130 m－80 m＝a×(2.5 s)2

即a＝8 m/s2

答案：8 m/s2

4．现有甲、乙两辆汽车同时从汽车站由静止驶出，甲车先做匀加速直线运动，10 s后速度达到20 m/s，之后开始做匀速直线运动，乙车出发后一直做匀加速直线运动，发现自己和甲车之间的距离在发车30 s后才开始变小。求：

(1)甲、乙车的加速度分别为多大。

(2)甲、乙两车在相遇之前的最大距离是多少。

(3)甲、乙两车经多长时间相遇。

【解析】(1)乙车和甲车之间的距离在发车30 s后才开始变小，知乙车在30 s时速度才达到20 m/s。

则甲车的加速度为：a1＝＝ m/s2＝2 m/s2

乙车的加速度为：a2＝＝ m/s2＝ m/s2

(2)两车速度相等时，相距最远，即经过30 s的时间。

此时甲车的位移为：＝t1＋v(30－t1)＝(×10＋20×20) m＝500 m

乙车的位移为：＝t2＝×30 m＝300 m

则甲、乙两车的最大距离是：Δx＝－＝500 m－300 m＝200 m。

(3)设甲、乙两车经过t时间相遇，根据x甲′＝

则有：t1＋v(t－t1)＝a2t2

代入数据得：×10＋20(t－10)＝×t2

解得：t＝(30＋10) s

答案：(1) 2 m/s2　 m/s2　(2)200 m   (3)(30＋10) s