教科版必修1第一章 运动的描述综合与测试学案

这是一份教科版必修1第一章 运动的描述综合与测试学案，共10页。学案主要包含了加固训练等内容，欢迎下载使用。


知识点一 x­t图像与v­t图像
x­t图像与v­t图像的比较

【典例】(多选)(2018·全国卷Ⅲ) 甲、乙两车在同一平直公路上同向运动，甲做匀加速直线运动，乙做匀速直线运动。甲、乙两车的位置x随时间t的变化如图所示。下列说法正确的是( )
A．在t1时刻两车速度相等
B．从0到t1时间内，两车走过的路程相等
C．从t1到t2时间内，两车走过的路程相等
D．在t1到t2时间内的某时刻，两车速度相等
【解析】选C、D。由位移—时间图像的意义可知t1时刻两车在x1位置，图线的斜率不同，速度不等，A错；由于甲车起始位置不在原点，从0到t1时间内，两车走过的路程不等，B错；从t1到t2时间内，两车都从x1位置运动到x2位置，因此走过的路程相等，C对；从t1到t2时间内甲车图线的斜率先小于后大于乙车，因此在t1到t2时间内的某时刻，两车速度相等，D对。
1．(2020·新余高一检测)如图所示为甲、乙两个物体做直线运动的图像，则下列叙述正确的是( )
A．甲物体运动的轨迹是抛物线
B．甲物体8 s内运动所能达到的最大位移为80 m
C．乙物体前2 s的加速度为10 m/s2
D．乙物体8 s末距出发点最远
【解析】选B。 甲物体的位移图像并不是其运动轨迹，位移图像表示甲物体做的是直线运动，故A项错误； x­t图像中纵坐标的变化量表示物体的位移，则知t＝4 s时刻甲的位移最大为Δx＝80 m－0＝80 m，故B项正确； v­t图像中斜率表示加速度，则乙物体前2 s的加速度为a＝ eq \f(10－0,2) m/s2＝5 m/s2，故C项错误；乙物体在前4 s内沿正方向运动，后4 s内沿负方向运动，t＝8 s末回到了出发点，所以乙物体4 s末距出发点最远，故D项错误。
2.(多选)(2016·全国卷Ⅰ)甲、乙两车在平直公路上同向行驶，其v ­t图像如图所示。已知两车在t＝3 s 时并排行驶，则( )
A．在t＝1 s时，甲车在乙车后
B．在t＝0时，甲车在乙车前7.5 m
C．两车另一次并排行驶的时刻是t＝2 s
D．甲、乙车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离为40 m
【解析】选B、D。据图像可知，t＝1 s到t＝3 s，甲和乙运动位移都等于40 m，因此在t＝1 s时是两车另一次并排行驶，A、C错，D对；t＝0到t＝1 s，乙的位移为12.5 m，甲的位移为5 m，在t＝0时，甲车在乙车前7.5 m，B对。故选B、D。
【加固训练】
1．(多选)如图，直线a和曲线b分别是在平直公路上行驶的汽车a和b的位置—时间(x­t)图线。由图可知( )
A．在时刻t1，a车追上b车
B．在时刻t2，a、b两车运动方向相反
C．在t1到t2这段时间内，b车的速率先减少后增加
D．在t1到t2这段时间内，b车的速率一直比a车的大
【解析】选B、C。由x­t图像中直线a和曲线b的斜率及变化可知汽车a一直沿正方向做匀速直线运动，汽车b先沿正方向做速度越来越小的变速直线运动，速度为零以后再向负方向做速度越来越大的变速直线运动，其中t1、t2时刻a、b两车处于同一位置，且在t1时刻，b车追上a车，所以选项A错、选项B对；t1到t2时间内汽车a一直做匀速运动，汽车b先减速后加速，故选项C对、选项D错。
2．甲乙两汽车在一平直公路上同向行驶。在t＝0到t＝t1的时间内，它们的v­t图像如图所示。在这段时间内( )
A．汽车甲的平均速度比乙大
B．汽车乙的平均速度等于 eq \f(v1＋v2,2)
C．甲乙两汽车的位移相同
D．汽车甲的加速度大小逐渐减小，汽车乙的加速度大小逐渐增大
【解析】选A。因为图像与坐标轴所夹的面积表示物体的位移，因此在0～t1时间内，甲车的位移大于乙车的位移，根据 eq \x\t(v) ＝ eq \f(x,t) 可知，甲车的平均速度大于乙车的平均速度，选项A正确，C错误；因为乙车做非匀变速运动，故不能用 eq \f(v1＋v2,2) 计算平均速度，选项B错误；图线切线的斜率表示物体运动的加速度，据图知，甲乙两车的加速度均逐渐减小，选项D错误。
知识点二 追及和相遇问题
1．追及和相遇问题中的一个条件和两个关系：
(1)一个条件：即两者速度相等，它往往是物体间能够追上、追不上或两者距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点。
(2)两个关系：即时间关系和位移关系，这两个关系可通过画运动示意图得到。
2．追及和相遇问题常见的情况：
假设物体A追物体B，开始时两个物体相距x0，有三种常见情况：
(1)A追上B时，必有xA－xB＝x0，且vA≥vB。
(2)要使两物体恰好不相撞，两物体同时到达同一位置时速度相同，必有xA－xB＝x0，vA＝vB。
(3)若使两物体保证不相撞，则要求当vA＝vB时，xA－xB＜x0，且之后vA≤vB。

【典例】(一题多解)一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以3 m/s2的加速度开始行驶，恰在这时一辆自行车以6 m/s的速度匀速驶来，从后面超过汽车。
(1)汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？
(2)什么时候汽车追上自行车？此时汽车的速度是多少？
【解析】(1)解法一：物理分析法
汽车开动后速度由零逐渐增大，而自行车的速度恒定。当汽车的速度还小于自行车的速度时，两者间的距离将越来越大，而一旦汽车的速度增加到超过自行车的速度，两车间的距离就将缩小，因此两者速度相等时两车相距最远。由v汽＝at＝v自得t＝ eq \f(v自,a) ＝2 s，Δxmax＝v自t－ eq \f(1,2) at2＝6 m。
解法二：用数学求极值方法求解
设汽车在追上自行车之前经时间t两车相距最远。
有Δx＝v自t－ eq \f(1,2) at2＝6t－ eq \f(3t2,2) ＝－ eq \f(3,2) (t－2)2＋6
上式所有物理量均采用国际单位制单位
由二次函数求极值的条件知，t＝2 s时，Δx最大，Δxmax＝6 m。
解法三：用图像法求解
自行车和汽车的v­t图像如图所示，由图可以看出：在相遇之前，在t0时刻两车速度相等时，自行车的位移(矩形面积)与汽车的位移(三角形面积)之差(即横线阴影部分面积)最大，所以，t0＝ eq \f(v自,a) ＝2 s，Δxmax＝ eq \f(1,2) ×2×6 m＝6 m。
(2)由图可以看出：在t0时刻以后，由汽车的v­t图线与自行车的v­t图线组成的三角形面积(竖线阴影部分面积)与横线阴影部分的面积相等时，两车的位移相等，所以由数学关系可得相遇时t′＝2t0＝4 s，v′汽＝2v自＝12 m/s。
答案：(1)2 s 6 m (2)4 s 12 m/s
A、B两车在同一直线上向右匀速运动，B车在A车前，A车的速度大小为v1＝8 m/s，B车的速度大小为v2＝20 m/s，如图所示。当A、B两车相距x0＝28 m时，B车因前方突发情况紧急刹车(已知刹车过程的运动可视为匀减速直线运动)，加速度大小为a＝2 m/s2，从此时开始计时，求：
(1)A车追上B车之前，两者相距的最大距离。
(2)A车追上B车所用的时间。
【解析】(1)当A、B两车速度相等时，相距最远
根据速度关系得：v1＝v2－at1①
代入数据解得：t1＝6 s
此时，根据位移公式得：xA＝v1t1②
xB＝v2t1－ eq \f(1,2) at eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ③
Δxm＝xB＋x0－xA
代入数据解得：Δxm＝64 m 。
(2)B车从刹车到停止运动所用时间：t0＝ eq \f(v2,a) ＝ eq \f(20,2) s＝10 s
所发生位移：xB＝ eq \f(v eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ,2a) ＝ eq \f(202,2×2) m＝100 m
此时：xA＝v1t0＝80 m
则xA＜x0＋xB，可见此时A车并未追上B车，而是在B车停止后才追上。之后A车运动时间为：t2＝ eq \f(x0＋xB－xA,v1) ＝ eq \f(28＋100－80,8) s＝6 s
故所用时间为：t＝t0＋t2＝16 s。
答案：(1)64 m (2)16 s
【加固训练】
1．现有A、B两列火车在同一轨道上同向行驶，A车在前，其速度vA＝10 m/s，B车速度vB＝30 m/s。因大雾能见度低，B车在距A车600 m时才发现前方有A车，此时B车立即刹车，但B车要减速1 800 m才能够停止。
(1)B车刹车后减速运动的加速度多大？
(2)若B车刹车8 s后，A车以加速度a1＝0.5 m/s2加速前进，问能否避免事故？若能够避免则两车最近时相距多远？
【解析】(1)设B车减速运动的加速度大小为a，有
0－v eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(B)) ＝－2ax1，解得：a＝0.25 m/s2。
(2)设B车减速t秒时两车的速度相同，有
vB－at＝vA＋a1(t－Δt)
代入数值解得t＝32 s，
在此过程中B车前进的位移为xB＝vBt－ eq \f(at2,2) ＝832 m
A车前进的位移为
xA＝vAΔt＋vA(t－Δt)＋ eq \f(1,2) a1(t－Δt)2＝464 m，
因xA＋x>xB，故不会发生撞车事故，
此时Δx＝xA＋x－xB＝232 m。
答案：(1)0.25 m/s2 (2)可以避免事故 232 m
2．汽车正在以10 m/s的速度在平直的公路上匀速前进，在它的正前方x处有一辆自行车以4 m/s的速度做同方向的匀速直线运动，汽车立即关闭油门做a＝
－6 m/s2的匀变速运动。若汽车恰好碰不上自行车，则x的大小为( )
A．9.67 m B．3.33 m C．3 m D．7 m
【解析】选C。设经过t时间汽车的速度和自行车速度相同，解得t＝ eq \f(v－v0,a) ＝
1 s，t时间内汽车的位移x1＝ eq \f(v0＋v,2) t＝7 m，自行车的位移x2＝vt＝4 m，求得x＝x1－x2＝3 m，故C正确。
1．(2021·成都高一检测)甲、乙两物体一开始沿同一条直线相向运动，在t＝0时刻甲、乙相距x0＝3 m，它们的速度—时间图像如图所示。下列说法正确的是( )
A．t＝2 s时刻甲、乙速度相等，且恰好相遇
B．t＝1 s时刻甲、乙速度不相等，但恰好相遇
C．t＝1 s时刻，乙的速度方向发生改变，t＝2 s时刻追上甲
D．在t＝0到t＝4 s时间内，甲、乙仅相遇过一次
【解析】选B。 由题图可知t＝1 s时刻，乙的速度方向发生改变，t＝2 s时刻，甲、乙速度相等，但由图像与坐标轴围成的面积表示位移可知，乙围成的面积是0，说明乙回到出发点，甲的位移为4 m，所以两者此时没有相遇，故A、C错误； t＝1 s时刻，甲、乙速度不相等，由图像与坐标轴围成的面积表示位移可知，乙位移是1 m，甲的位移是2 m，两者位移之和刚好是3 m，所以恰好相遇，故B正确。 t＝1 s时到t＝3 s时，甲、乙两图像与坐标轴围成的面积相等，说明这段时间内两者的位移相等，由B项分析可知，t＝1 s时恰好相遇，所以t＝3 s时也恰好相遇，说明在t＝0到t＝4 s时间内，甲、乙相遇过两次，故D错误。
2．甲、乙两车同时、同地、向同一个方向做直线运动，它们在0～4 s内运动的v­t图像如图所示，下列不正确的是( )
A．在第2 s末，两车相距最远
B．在第2 s末，两车的速度相同
C．在0～4 s内，甲的加速度和乙的加速度的大小相等
D．在0～4 s内，甲、乙两车的平均速度相等
【解析】选C。由于质点的位移等于v­t图线与t轴围成的面积，由图像可知，t＝2 s时，两车相距最远，速度相同，故A、B正确；由图像知甲匀速运动，乙匀减速运动，斜率表示加速度，甲、乙的斜率不相等，故C错误；在0～4 s内，甲、乙两车的位移相等，所以平均速度相等，故D正确。
【加固训练】
1．一汽车从静止开始做匀加速直线运动，然后刹车做匀减速直线运动，直到停止。下列速度v和位移x的关系图像中，能描述该过程的是( )
【解析】选A。一汽车从静止开始做匀加速直线运动，对应的速度位移公式为v2－0＝2a加x加，对应图像为抛物线，之后刹车做匀减速直线运动直到停止，有v2－v eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(m)) ＝－2a减x减，得到v2＝v eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(m)) －2a减x减，其中vm为最大速度，比对图像A项正确。
2．一质点沿x轴正方向做直线运动，通过坐标原点时开始计时，其 eq \f(x,t) ­t的图像如图所示，则( )
A．质点做匀速直线运动，速度为0.5 m/s
B．质点做匀加速直线运动，加速度为0.5 m/s2
C．质点在第1 s内的平均速度为0.75 m/s
D．质点在1 s末速度为1.5 m/s
【解析】选D。 eq \f(x,t) ­t描述的是平均速度与时间的关系，由匀变速直线运动规律x＝v0t＋ eq \f(1,2) at2，得 eq \f(x,t) ＝v0＋ eq \f(1,2) at，故在 eq \f(x,t) ­t图像中知，图像的斜率k＝ eq \f(1,2) a＝ eq \f(0.5,1) ，a＝1 m/s2，截距b＝v0＝0.5 m/s，故选项A、B错误；质点在第1 s内的平均速度v1＝ eq \f(x,t) ＝0.5 m/s＋ eq \f(1,2) ×1×1 m/s＝1 m/s，故选项C错误；质点在1 s末速度为v＝v0＋at＝0.5 m/s＋1×1 m/s＝1.5 m/s，故D选项正确。
3.某一长直的赛道上，有一辆F1赛车，前方200 m处有一安全车以10 m/s的速度匀速前进，这时赛车从静止出发以2 m/s2的加速度追赶。
(1)求赛车出发3 s末的瞬时速度大小。
(2)赛车追上安全车之前与安全车最远相距多少米。
(3)当赛车刚追上安全车时，赛车手立即刹车，使赛车以4 m/s2的加速度做匀减速直线运动，求两车第二次相遇时赛车相对于出发点的位移大小。
【解析】(1)赛车在3 s末的速度v＝at3＝2×3 m/s＝6 m/s。
(2)当两车速度相等时，相距最远，则有t′＝ eq \f(v0,a) ＝ eq \f(10,2) s＝5 s
则相距的最远距离Δx＝v0t′＋s－ eq \f(1,2) at′2＝225 m。
(3)赛车追上安全车时有v0t＋s＝ eq \f(1,2) at2，
代入数据解得t＝20 s
两车相遇时赛车的速度v1＝at＝40 m/s
赛车减速到静止所用的时间t1＝ eq \f(v1,a′) ＝ eq \f(40,4) s＝10 s
赛车减速到静止前进的距离xmax＝ eq \f(v eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ,2a′) ＝200 m
相同的时间内安全车前进的距离x＝v0t1＝100 m第二次相遇时赛车的位移s′＝ eq \f(v eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ,2a) ＋xmax＝600 m。
答案：(1)6 m/s (2)225 m (3)600 m
4．一摩托车由静止开始在平直的公路上行驶，其运动过程的v­t图像如图所示。求：
(1)摩托车在0～20 s这段时间的加速度大小a。
(2)摩托车在0～75 s这段时间的平均速度大小 eq \x\t(v) 。
【解析】(1)据a＝ eq \f(vt－v0,t)
由图像斜率得a＝1.5 m/s2
(2)由v­t图像得0～75 s内车的位移s＝ eq \f(25＋75,2) ×30 m＝1 500 m
0～75 s内车的平均速度 eq \x\t(v) ＝ eq \f(s,t) ＝ eq \f(1 500,75) m/s＝20 m/s
答案：(1)1.5 m/s2 (2)20 m/sx ­t图像
v ­t图像
图像内容
点
表示某时刻质点所处的位置
表示某时刻质点的速度
面积
图线与横轴所围的面积表示该段时间内质点通过的位移
图线的斜率
表示质点运动的速度
表示质点运动的加速度
图线纵截距
表示质点的初始位置
表示质点的初速度
图线的交点
表示两质点相遇的时刻和位置
表示两质点在此时刻速度相同