数学八年级下册第三章 图形的平移与旋转综合与测试习题ppt课件

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【中考·苏州】如图，在△ABC中，点E在BC边上，AE＝AB，将线段AC绕A点旋转到AF的位置，使得∠CAF＝∠BAE，连接EF，EF与AC交于点G.
(1)求证：EF＝BC；
(2)若∠ABC＝65°，∠ACB＝28°，求∠FGC的度数．
解：∵AB＝AE，∠ABC＝65°，∴∠BAE＝180°－65°×2＝50°.∴∠FAG＝∠BAE＝50°.∵△BAC≌△EAF，∴∠F＝∠ACB＝28°.∴∠FGC＝∠FAG＋∠F＝50°＋28°＝78°.
如图，P是正方形ABCD内一点，点P到正方形的三个顶点A，B，C的距离分别为PA＝1，PB＝2，PC＝3.求正方形ABCD的边长．
又∵PC＝3，∴PC2＝PQ2＋CQ2.∴∠PQC＝90°.∴∠CQB＝135°＝∠APB.又∵∠QPB＝45°，∴∠APB＋∠QPB＝180°.∴A，P，Q三点共线．
如图，在△ABC中，M是BC的中点，E，F分别在AC，AB上，且ME⊥MF.求证：EF证明：由题意可知BM＝MC，∴可将△BFM绕点M旋转180°得到△CNM，连接EN，如图所示．∴BF＝CN，FM＝MN，点F，M，N共线．又∵ME⊥MF，∴EN＝EF.在△ENC中，EN如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，将一个含30°角的直角三角尺DEF的直角顶点D放在AC的中点上(直角三角尺的短直角边为DE，长直角边为DF)，将直角三角尺DEF绕D点按逆时针方向旋转．
(1)在图①中，DE交AB于点M，DF交BC于点N，求证：DM＝DN.
∵∠EDF＝90°＝∠MDB＋∠BDN，∠BDC＝90°＝∠BDN＋∠CDN，∴∠MDB＝∠NDC.又∵BD＝CD，∠ABD＝∠C，∴△BMD≌△CND(SAS)．∴DM＝DN.
(2)继续旋转至如图②的位置，延长AB交DE于点M，延长BC交DF于点N，DM＝DN是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
解：DM＝DN仍然成立．证明如下：如图②，连接BD，由(1)知BD⊥AC，BD＝CD，∠ABD＝∠ACB＝45°.∵∠ABD＋∠MBD＝∠ACB＋∠NCD＝180°，∴∠MBD＝∠NCD.∵∠BDM＋∠MDC＝90°＝∠MDC＋∠CDN，∴∠BDM＝∠CDN.又∵BD＝CD，∴△BDM≌△CDN(ASA)．∴DM＝DN.
如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，∠B＋∠ADC＝180°，对角线AC＝m.求四边形ABCD的面积．
解：将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，如图所示．∵AB＝AD，∴旋转后AB与AD重合，AC＝AE，∠B＝∠ADE，∠BAC＝∠DAE.∵∠B＋∠ADC＝180°，∴∠ADE＋∠ADC＝180°.∴点C，D，E在同一条直线上．
【点拨】图形的旋转是全等变换，若两个图形全等，则它们的面积相等，故可利用旋转将不规则的图形转化成规则的图形，以便于求图形的面积．
如图①，把两个全等的等腰直角三角尺ABC和EFG(其直角边长均为4)叠放在一起，且使三角尺EFG的直角顶点G与三角尺ABC的斜边中点O重合．
现将三角尺EFG绕点O顺时针旋转角 α(旋转角α满足条件：0°<α<90°)，四边形CHGK是旋转过程中两个三角尺的重叠部分(如图②)．在上述旋转过程中，四边形CHGK的面积有何变化？
解：如图，连接GC，则GC＝GB，∠ACG＝∠BCG＝45°.∵∠KGC与∠HGB都是旋转角，∴∠KGC＝∠HGB＝α.
当∠EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，在图②和图③这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，S△DEF，S△CEF，S△ABC又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．
解：题图②成立；题图③不成立．如图，过点D作DM⊥AC于点M，DN⊥BC于点N，则∠DMA＝∠DME＝∠DNF＝∠MDN＝90°.又由题意知∠A＝∠B＝45°，AD＝BD，∴△ADM≌△BDN(AAS)．∴DM＝DN.
【点拨】通过旋转图形改变图形的位置来探究解决是否成立问题时，动态中无法判断结论是否成立，可以通过寻找运动范围的某一固定时刻，探究其结论的正确性，这就是“动中求静”的思想．
如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E是边AC上任意一点(点E与点A，C不重合)，以CE为一直角边作Rt△ECD，∠ECD＝90°，连接BE，AD.若Rt△ABC和Rt△ECD都是等腰直角三角形．(1)猜想线段BE，AD之间的数量关系及位置关系，直接写出结论．
解：BE＝AD，BE⊥AD.
(2)现将图①中的Rt△ECD绕着点C顺时针旋转n°，得到图②，请判断(1)中的结论是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
解：BE＝AD，BE⊥AD仍然成立．证明：设BE与AC的交点为点F，BE与AD的交点为点G，如图所示．
∵Rt△ABC和Rt△ECD都是等腰直角三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠ECD＝90°.∴∠ACD＝∠BCE.∴△ACD≌△BCE(SAS)．∴AD＝BE，∠CAD＝∠CBE.∵∠BFC＝∠AFE，∴∠AGF＝∠ACB＝90°.∴BE⊥AD.
(1)探究发现：下面是一道例题及其解答过程，请补充完整．如图①，在等边三角形ABC内部有一点P，若∠APB＝150°.求证：AP2＋BP2＝CP2.
证明：如图①，将△APC绕A点逆时针旋转60°得到△AP′B，连接PP′，则△APP′为等边三角形，PC＝________．∴∠APP′＝60°，PA＝PP′.又∵∠APB＝150°，∴∠BPP′＝90°.∴P′P2＋BP2＝________，即PA2＋PB2＝PC2.
(2)类比延伸：如图②，在等腰三角形ABC中，∠BAC＝90°，△ABC内部有一点P，若∠APB＝135°，试判断线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明．
解：2PA2＋PB2＝PC2.证明：如图①，将△APC绕A点逆时针旋转90°，得到△AP′B，连接PP′，则P′A＝PA，∠P′AP＝90°，P′B＝PC.∴∠APP′＝45°，P′P2＝P′A2＋PA2＝2PA2.∵∠APB＝135°，∴∠BPP′＝90°.∴P′P2＋BP2＝P′B2.∴2PA2＋BP2＝PC2.
(3)联想拓展：如图③，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，点P在直线AB的上方，且∠APB＝60°，满足(kPA)2＋PB2＝PC2，请直接写出k的值．