【备战2022】高考数学选择题专题强化训练：利用导数研究函数的极值

这是一份【备战2022】高考数学选择题专题强化训练：利用导数研究函数的极值，共10页。试卷主要包含了选择题，多选题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共27小题；共135分）
1. 如图是函数 y=fx 的导数 y=fʹx 的图象，则下面判断正确的是
A. 在 −3,1 内 fx 是增函数
B. 在 x=1 时，fx 取得极大值
C. 在 4,5 内 fx 是增函数
D. 在 x=2 时，fx 取得极小值

2. 设函数 fx 的导函数为 fʹx，函数 y=xfʹx 的图象如图所示，则
A. fx 的极大值为 f3，极小值为 f−3
B. fx 的极大值为 f−3，极小值为 f3
C. fx 的极大值为 f−3，极小值为 f3
D. fx 的极大值为 f3，极小值为 f−3

3. 已知函数 fx 的导函数 fʹx 的图象如图所示，则下列叙述正确的是
A. 函数 fx 在 −∞,−4 上单调递减
B. 函数 fx 在 x=−1 处取得极大值
C. 函数 fx 在 x=−4 处取得极值
D. 函数 fx 只有一个极值点

4. 设 a∈R，若函数 y=ex+ax，x∈R，有大于零的极值点，则
A. a<−1B. a>−1C. a<−1eD. a>−1e

5. 函数 fx=ax3+x+1 有极值的充要条件是
A. a>0B. a≥0C. a<0D. a≤0

6. 已知函数 fx=ax3−bx+2 的极大值和极小值分别为 M，m，则 M+m=
A. 0B. 1C. 2D. 4

7. 设函数 fx=2x+lnx，则
A. x=12 为 fx 的极大值点B. x=12 为 fx 的极小值点
C. x=2 为 fx 的极大值点D. x=2 为 fx 的极小值点

8. 函数 y=1+3x−x3 有
A. 极小值 −1，极大值 1B. 极小值 −2，极大值 3
C. 极小值 −2，极大值 2D. 极小值 −1，极大值 3

9. 已知函数 fx=x2−mx−mex+2m（m∈R，e 是自然对数的底数）在 x=0 处取得极小值，则 fx 的极大值是
A. 4e−2B. 4e2C. e−2D. e2

10. 若 x=−2 是函数 fx=x2+ax−1ex−1 的极值点，则 fx 的极小值为
A. −1B. −2e−3C. 5e−3D. 1

11. 已知函数 fx=xlnx−aex（e 为自然对数的底数）有两个极值点，则实数 a 的取值范围是
A. 0,1eB. 0,eC. 1e,eD. −∞,e

12. 已知函数 fx=x3+mx2+m+6x+1 既存在极大值又存在极小值，则实数 m 的取值范围是
A. −1,2B. −∞,−3∪6,+∞
C. −3,6D. −∞,−1∪2,+∞

13. 已知函数 fx=2fʹ1lnx−x，则 fx 的极大值为
A. 2B. 2ln2−2C. eD. 2−e

14. 已知函数 fx=x3+ax2+bx−a2−7a 在 x=1 处取得极大值 10，则 ab 的值为
A. −23B. −2C. −2 或 −23D. 2 或 −23

15. 若函数 fx=x3+ax2+3x−9 在 x=−3 时取得极值，则 a=
A. 2B. 3C. 4D. 5

16. 等差数列 an 中的 a2，a4036 是函数 fx=13x3−4x2+6x−1 的两个极值点，则 lg2a2019 等于
A. 5B. 4C. 3D. 2

17. 若函数 fx=x2−3m+1x+3,x≤0mx2+xlnx,x>0 恰有三个极值点，则实数 m 的取值范围是
A. −12,−13B. −12,0C. −1,−13D. −1,−12

18. 已知函数 fx=x2+a2x+1ex，则“a=2”是“函数 fx 在 x=−1 处取得极小值”的
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件

19. 设 a∈R，若函数 fx=ex+ax，x∈R 有大于零的极值点，则 a 的取值范围是
A. −∞,−1B. −1,+∞C. −∞,−1eD. −1e,+∞

20. 若函数 fx=x3−2cx2+x 有极值点，则实数 c 的取值范围为
A. 32,+∞B. 32,+∞
C. −∞,−32∪32,+∞D. −∞,−32∪32,+∞

21. 设函数 fx=2x+lnx，则
A. x=12 为 fx 的极大值点B. x=12 为 fx 的极小值点
C. x=2 为 fx 的极大值点D. x=2 为 fx 的极小值点

22. 已知函数 fx=x3−px2−qx 的图象与 x 轴相切于 1,0 点，则 fx 的极小值为
A. 0B. −427C. −527D. 1

23. 已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn=n2+k+12n∈N∗，则 fx=x3−kx2−2x+1 的极大值为
A. 52B. 3C. 72D. 2

24. 已知函数 fx=x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是
A. ∃x0∈R，fx0=0
B. 函数 y=fx 的图象是中心对称图形
C. 若 x0 是 fx 的极小值点，则 fx 在区间 −∞,x0 上单调递减
D. 若 x0 是 fx 的极值点，则 fʹx0=0

25. 已知 a 为函数 fx=x3−12x 的极小值点，则 a =
A. −4B. −2C. 4D. 2

26. 已知函数 fx=x3+ax2+a+6x+1 有极大值和极小值，则实数 a 的取值范围是
A. −1,2B. −∞,−3∪6,+∞
C. −3,6D. −∞,−1∪2,+∞

27. 设函数 fx 满足 x2fʹx+2xfx=exx，f2=e28，则 x>0 时 fx
A. 有极大值，无极小值B. 有极小值，无极大值
C. 既有极大值又有极小值D. 既无极大值也无极小值

二、多选题（共3小题；共15分）
28. 定义在区间 −12,4 上的函数 fx 的导函数 fʹx 图象如图所示，则下列结论正确的是
A. 函数 fx 在区间 0,4 单调递增
B. 函数 fx 在区间 −12,0 单调递减
C. 函数 fx 在 x=1 处取得极大值
D. 函数 fx 在 x=0 处取得极小值

29. 设函数 fx=x3−3x2+2x，若 x1，x2（x1A. 若 0<λ<2，则 fx1B. 若 −4<λ<0，则 fx1C. 若 −2<λ<0，则 fx1>fx2
D. 若 λ<−4，则 fx1
30. 对于函数 fx=lnxx，下列说法正确的有
A. 函数 fx 的减区间为 0,e
B. fx 在 x=e 处取得极大值 1e
C. fx 有两个不同的零点
D. π4>4π
答案
第一部分
1. C【解析】根据题意，依次分析选项：
对于 A，在 −3,−32 上，fʹx<0，fx 为减函数，A错误；
对于B，在 −32,2 上，fʹx>0，fx 为增函数，x=1 不是 fx 的极大值点，B错误；
对于C，在 4,5 上，fʹx>0，fx 为增函数，C正确；
对于 D，在 −32,2 上，fʹx>0，fx 为增函数，在 2,4 上，fʹx<0,fx 为减函数，则在 x=2 时 fx 取得极大值，D错误；
故选：C．
2. D【解析】当 x<−3 时，y=xfʹx>0，
所以 fʹx<0；
同理可得，当 −3当 x>3 时，fʹx<0，
所以 fx 的极大值是 f3，fx 的极小值是 f−3．
3. D【解析】由导函数的图象可得，当 x∈−∞,2 时，fʹx>0，函数 fx 单调递增；
当 x∈2,+∞ 时，fʹx<0，函数 fx 单调递减．
由于函数的单调减区间为 2,+∞，所以A不正确；
当 x=2 时，函数 fx 取得极大值，所以B不正确；
只有当 x=2 时函数取得极大值，所以C不正确，D正确．
4. A【解析】题意即 ex+a=0 有大于 0 的实根，数形结合令 y1=ex，y2=−a，则两曲线交点在第一象限，结合图象易得 −a>1⇒a<−1．
5. C
【解析】因为 fʹx=3ax2+1，
所以 fʹx=3ax2+1=0⇒3a=−1x2<0，即 a<0，应选答案C．
6. D【解析】由题意得，fʹx=3ax2−b，设方程 3ax2−b=0 的两个根分别为 x1，x2，则 fx 在 x1，x2 处取到极值，则 M+m=4−bx1+x2+ax1+x2x1+x22−3x1x2，又 x1+x2=0，x1x2=−b3a，所以 M+m=4．
7. D【解析】函数 fx 的定义域为 0,+∞，fʹx＝−2x2+1x=x−2x2，当 x=2 时，fʹx=0；当 x>2 时，fʹx>0，函数 fx 为增函数；当 08. D【解析】因为 y=1+3x−x3，
所以 yʹ=−3x2+3．
令 yʹ=−3x2+3=0，得 x=±1．
当 x<−1 时，yʹ<0；
当 −10．
所以 x=−1 是极小值点，此时 y=−1．
同理可证 x=1 是极大值点，此时 y=3．
9. A【解析】由题意知，fʹx=x2+2−mx−2mex，
由 fʹ0=−2m=0，解得 m=0．
则 fx=x2ex，fʹx=x2+2xex，
令 fʹx=0，解得 x=0 或 x=−2，
故函数 fx 的单调递增区间是 −∞,−2，0,+∞，单调递减区间是 −2,0，
所以函数 fx 在 x=−2 处取得极大值 f−2=4e−2．
10. A
【解析】由题可得
fʹx=2x+aex−1+x2+ax−1ex−1=x2+a+2x+a−1ex−1,
因为 fʹ−2=0，所以 a=−1，fx=x2−x−1ex−1，
故 fʹx=x2+x−2ex−1，令 fʹx>0，解得 x<−2 或 x>1，
所以 fx 在 −∞,−2，1,+∞ 上单调递增，在 −2,1 上单调递减，
所以 fx 的极小值为 f1=1−1−1e1−1=−1．
11. A【解析】fʹx=lnx−aex+1，
若函数 fx=xlnx−aex 有两个极值点，
则 y=a 和 gx=lnx+1ex 在 0,+∞ 上有 2 个交点，
gʹx=1x−lnx−1exx>0，
令 ℎx=1x−lnx−1，则 ℎʹx=−1x2−1x<0，
ℎx 在 0,+∞ 上单调递减，而 ℎ1=0，
故当 x∈0,1 时，ℎx>0，即 gʹx>0，gx 单调递增；
当 x∈1,+∞ 时，ℎx<0，即 gʹx<0，gx 单调递减，
故 gxmax=g1=1e，
而 x→0 时，gx→−∞；x→+∞ 时，gx→0，
因为 y=a 和 gx=lnx+1ex 在 0,+∞ 上有 2 个交点，
所以 012. B【解析】因为 fx=x3+mx2+m+6x+1，
所以 fʹx=3x2+2mx+m+6，由于函数 y=fx 既有极大值，又有最小值，则导函数 y=fʹx 有两个零点，
所以 Δ=4m2−12m+6>0，即 m2−3m−18>0，解得 m<−3 或 m>6．
所以实数 m 的取值范围是 −∞,−3∪6,+∞．
13. B【解析】fx=2fʹ1lnx−x，则 fʹx=2fʹ11x−1．
令 x=1，得 fʹ1=2fʹ1−1，
所以 fʹ1=1，则 fx=2lnx−x，fʹx=2x−1=2−xx，
所以函数 fx 在 0,2 上单调递增，在 2,+∞ 上单调递减，则 fx 的极大值为 f2=2ln2−2．
14. A【解析】由题可知：fʹx=3x2+2ax+b，所以 fʹ1=0，f1=10，
即 fʹ1=3+2a+b=0,f1=1+a+b−a2−7a=10, 可得 a=−2,b=1 或 a=−6,b=9,
当 a=−2，b=1 时，可知 fʹx=3x−1x−1；
令 fʹx>0，所以 x<13 或 x>1；
令 fʹx<0，所以 13函数 fx 在 −∞,13，1,+∞ 递增，在 13,1 递减
所以可知函数 fx 在 x=1 处取极小值，故不符合题意；
所以 a=−6，b=9，所以 ab=−23．
15. D
【解析】因为 fx=x3+ax2+3x−9，所以 fʹx=3x2+2ax+3，
又函数 fx=x3+ax2+3x−9 在 x=−3 时取得极值，
所以 fʹ−3=27−6a+3=0，解得 a=5．
16. D
17. A
18. A【解析】若 fx 在 x=−1 处取得极小值，fʹx=x2+a2+2x+a2+1ex=x+1x+a2+1ex．
令 fʹx=0，得 x=−1 或 x=−a2−1．
①若 a=0，fʹx=x+12ex≥0．
故 fx 在 R 上单调递增，fx 无极小值；
②若 a≠0，−a2−1<−1，
故当 x<−a2−1 时，fʹx>0，fx 单调递增，
当 −a2−1当 x>−1 时，fʹx>0，fx 单调递增．
故 fx 在 x=−1 处取得极小值．
综上，函数 fx 在 x=−1 处取得极小值 ⇔a≠0．
所以“a=2”是“函数 fx 在 x=−1 处取得极小值”的充分不必要条件．
19. A【解析】fʹx=ex+a，若函数 fx=ex+ax，x∈R 有大于零的极值点，则方程 fʹx=0 有正根，即方程 ex+a=0 有正数解，则 a=−ex<−e0=−1，即 a<−1．
20. D
【解析】若函数 fx=x3−2cx2+x 有极值点，
则 fʹx=3x2−4cx+1=0 有两个不等实根，
故 Δ=−4c2−12>0，解得 c>32 或 c<−32．
所以实数 c 的取值范围为 −∞,−32∪32,+∞．
21. D【解析】因为 fx=2x+lnx，所以 fʹx=−2x2+1x=x−2x2，x>0．
当 x>2 时，fʹx>0，fx 为增函数；
当 0所以 x=2 为 fx 的极小值点，故选D．
22. A【解析】由题知 fʹx=3x2−2px−q，fʹ1=3−2p−q=0，f1=1−p−q=0，
联立 3−2p−q=0,1−p−q=0,
解得 p=2,q=−1,
所以 fx=x3−2x2+x，fʹx=3x2−4x+1，
令 fʹx=3x2−4x+1=0，
解得 x=1 或 x=13，
经检验知 x=1 是函数 fx 的极小值点，
所以 fx极小值=f1=0．
23. A【解析】由于等差数列前 n 项和公式中，常数项为 0，
所以 k+12=0，
所以 k=−12，
所以 fx=x3+12x2−2x+1，
所以 fʹx=3x2+x−2=3x−2x+1，
故函数 fx 在 −∞,−1 和 23,+∞ 上单调递增，在 −1,23 上单调递减，
故当 x=−1 时，fx 取得极大值，为 f−1=52．
24. C【解析】A：对于三次函数 fx=x3+ax2+bx+c，
由于当 x→−∞ 时，y→−∞，
当 x→+∞ 时，y→+∞，
故 ∃x0∈R，fx0=0，故A正确；
B：因为
f−2a3−x+fx=−2a3−x3+a−2a3−x2+b−2a3−x+c+x3+ax2+bx+c=4a327−2ab3+2c,
f−a3=−a33+a−a32+b−a3+c=2a327−ab3+c,
因为 f−2a3−x+fx=2f−a3，
所以点 P−a3,f−a3 为对称中心，故B正确；
C：若取 a=−1，b=−1，c=0，则 fx=x3−x2−x，
对于 fx=x3−x2−x，因为 fʹx=3x2−2x−1，
所以由 fʹx=3x2−2x−1>0 得 x∈−∞,−13∪1,+∞，
由 fʹx=3x2−2x−1<0 得 x∈−13,1，
所以函数 fx 的单调增区间为：−∞,−13，1,+∞，减区间为：−13,1，
故 1 是 fx 的极小值点，但 fx 在区间 −∞,1 不是单调递减，故C错误；
D：若 x0 是 fx 的极值点，根据导数的意义，则 fʹx0=0，故D正确．
25. D
【解析】fʹx=3x2−4，令 fʹx>0，得 x>2 或 x<−2；令 fʹx<0，得 −226. B【解析】因为 fʹx=3x2+2ax+a+6，由已知可得 fʹx=0 有两个不相等的实根．
所以 Δ=4a2−4×3a+6>0，即 a2−3a−18>0．
所以 a>6 或 a<−3．
27. D【解析】由 x2fʹx+2xfx=exx，得 fʹx=ex−2x2fxx3，令 gx=ex−2x2fx，x>0，所以 gʹx=ex−2x2fʹx−4xfx=xex−2exx．令 gʹx=0，得 x=2．当 x>2 时，gʹx>0；当 00 时，fʹx≥0，则 fx 在 0,+∞ 上是增函数，所以 fx 无极大值也无极小值．
第二部分
28. A， B， D
【解析】结合导数与函数单调性的关系可知，当 −12≤x<0 时，fʹx<0，则函数单调递减，当 0≤x≤4 时，fʹx≥0，此时函数单调递增，
故当 x=0 时，函数取得极小值，没有极大值，
故选：ABD．
29. C， D
【解析】依题意 gx=x3−3x2+2+12λx，
则 gʹx=3x2−6x+2+12λ，令 gʹx=0，
由题意知 Δ=36−4×3×2+12λ>0，
解得 λ<2．依题意，x1，x2 是 gʹx 的两个零点，
所以 x1+x2=2,x1⋅x2=2+12λ3,（∗）
且 3x12−6x1+2+12λ=0, ⋯⋯①3x22−6x2+2+12λ=0, ⋯⋯②
① + ②，得 3x12+x22−6x1+x2+4+λ=0, ⋯⋯③
将（∗）代入③，化简得 x12+x22=8−λ3（∗∗）．
所以
fx1−fx2=x13−x23−3x12−x22+2x1−x2=x1−x2x12+x22+x1x2−3x1+x2+2, ⋯⋯④
将（∗），（∗∗）代入④，得
fx1−fx2=x1−x28−λ3+2+12λ3−6+2=−x1−x2λ+46.
由于 x1−x2<0，
所以当 0<λ<2，−4<λ<0，−2<λ<0 时，λ+4>0，fx1−fx2>0，fx1>fx2，
故A，B错误，C正确．
当 λ<−4 时，λ+4<0，fx1−fx2<0，fx130. B， D
【解析】因为 fx=lnxxx>0，
所以 fʹx=1−lnxx2x>0，
令 fʹx>0，解得 0令 fʹx<0，解得 x>e，
所以函数 fx 的增区间为 0,e，减区间为 e,+∞，故A错误；
函数在 x=e 处取得极大值 fe=1e，故B正确；
令 fx=lnxx=0，得 lnx=0，可得 x=1，
所以函数 fx 只有一个零点，故C错误；
因为 4>π>3>e，
所以 ln444π，故D正确．