2022届高考数学二轮专题测练-利用导数研究函数的极值

这是一份2022届高考数学二轮专题测练-利用导数研究函数的极值，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共20小题；共100分）
1. 已知函数 fx 在 x=x0 处连续，下列命题中正确的是
A. 导数为零的点一定是极值点
B. 如果在 x=x0 附近的左侧 fʹx>0，右侧 fʹx<0，那么 fx0 是极大值
C. 如果在 x=x0 附近的左侧 fʹx>0，右侧 fʹx<0，那么 fx0 是极小值
D. 如果在 x=x0 附近的左侧 fʹx<0，右侧 fʹx>0，那么 fx0 是极大值

2. 函数 fx=x3+ax2+bx+a2+a 在 x=1 处有极值为 7，则 a 等于
A. −3 或 3B. 3 或 −9C. 3D. −3

3. 已知 x=1 是函数 fx=lnx+ax 的极值点，则实数 a 的值是
A. 1B. −1C. 2D. −2

4. 已知 x=1 是函数 fx=lnx+ax 的极值点，则实数 a 的值是
A. 1B. −1C. 2D. −2

5. 已知函数 fx 和 gx 的导函数 fʹx，gʹx 图象分别如图所示，则关于函数 y=gx−fx 的判断正确的是
A. 有 3 个极大值点B. 有 3 个极小值点
C. 有 1 个极大值点和 2 个极小值点D. 有 2 个极大值点和 1 个极小值点

6. 设函数 fx 在 R 上可导，其导函数为 fʹx，且函数 y=1−xfʹx 的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是
A. fx 有极大值 f−2B. fx 有极小值 f−2
C. fx 有极大值 f1D. fx 有极小值 f1

7. 已知函数 fx=x3+ax2+a+6x+1 有极大值和极小值，则实数 a 的取值范围是
A. −1,2B. −∞,−3∪6,+∞
C. −3,6D. −∞,−1∪2,+∞

8. 已知 a 为函数 fx=x3−12x 的极小值点，则 a 等于
A. −4B. −2C. 4D. 2

9. 函数 fx=ax3+bx2+cx−34a,b,c∈R 的导函数为 fʹx，若不等式 fʹx≤0 的解集为 x−2≤x≤3，fx 的极小值等于 −115，则 a 的值是
A. −8122B. 13C. 2D. 5

10. 已知函数 fx=x3+ax2+bx+a2 在 x=1 处有极值 10，则 f2 等于
A. 11 或 18B. 11C. 18D. 17 或 18

11. 若函数 fx=ex−ax−a2 在 R 上有小于 0 的极值点，则实数 a 的取值范围是
A. −1,0B. 0,1C. −∞,−1D. 1,+∞

12. 已知函数 fx=x2+a2x+1ex，则“a=2”是“函数 fx 在 x=−1 处取得极小值”的
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件

13. 设函数 fx=2x+lnx，则
A. x=12 为 fx 的极大值点B. x=12 为 fx 的极小值点
C. x=2 为 fx 的极大值点D. x=2 为 fx 的极小值点

14. 已知函数 y=x3−3x+c 的图象与 x 轴恰有两个公共点，则 c=
A. −2 或 2B. −9 或 3C. −1 或 1D. −3 或 1

15. 设函数 fx 在 R 上可导，其导函数为 fʹx，且函数 fx 在 x=−2 处取得极大值，则函数 y=xfʹx 的图象可能是
A. B.
C. D.

16. 若函数 fx=ex−ax−b 在 R 上有小于 0 的极值点，则实数 a 的取值范围是
A. −1,0B. 0,1C. −∞,−1D. 1,+∞

17. 设函数 fx=x2−2x+1+alnx 有两个极值点 x1，x2，且 x1A. 0,1+2ln24B. 1−2ln24,0
C. 1+2ln24,+∞D. −∞,1−2ln24

18. 若函数 fx=ex−m+1lnx+2m+1x−1 恰有两个极值点，则实数 m 的取值范围为
A. −e2,−eB. −∞,−e2
C. −∞,−12D. −∞,−e−1

19. 已知函数 fx=exx2+2klnx−kx，若 x=2 是函数 fx 的唯一极值点，则实数 k 的取值范围是
A. −∞,e24B. −∞,e2C. 0,2D. 2,+∞

20. 已知 a 为常数，函数 fx=xlnx−ax 有两个极值点 x1，x2x1A. fx1>0，fx2>−12B. fx1<0，fx2<−12
C. fx1>0，fx2<−12D. fx1<0，fx2>−12

二、填空题（共5小题；共25分）
21. 判断下列结论是否正确．（请在括号中打“√”或“×”）
（1）函数的极大值不一定比极小值大．
（2）函数的极小值一定是函数的最小值．
（3）开区间上的单调连续函数无最值．

22. 已知函数 fx=2ex+12ax2+ax+1 有一个极值，则实数 a 的取值范围为 ．

23. 函数 fx=x3+ax2+x+b 在 x=1 时取得极值，则实数 a= ．

24. 已知函数 fx=x,x≤0x2−2ax,x>0 有极大值且有极小值，则实数 a 的取值范围是 ．

25. 设函数 fx=x−22x+bex，若 x=2 是 fx 的一个极大值点，则实数 b 的取值范围为 ．

三、解答题（共5小题；共65分）
26. 已知函数 fx=1x+lnx，求函数 fx 的极值．

27. 已知函数 fx=x2−1−2alnxa≠0，求函数 fx 的极值．

28. 设函数 fx=x22−klnx，k>0，求 fx 的单调区间和极值．

29. 对于函数 fx，若 fx0=x0，则称 x0 为 fx 的不动点，设 fx=x3+ax2+bx+3．
（1）当 a=0 时，
（i）求 fx 的极值点；
（ii）若存在 x0 既是 fx 的极值点，也是 fx 的不动点，求 b 的值；
（2）是否存在 a，b，使得 fx 有两个极值点，且这两个极值点均为 fx 的不动点?说明理由．

30. 已知 fx=2x+3−ln2x+12x+1．
（1）求证：当 x=0 时 fx 取得极小值；
（2）是否存在满足 n>m≥0 的实数 m，n，当 x∈m,n 时，fx 的值域为 m,n?若存在，求 m，n 的值；若不存在，请说明理由．
答案
第一部分
1. B【解析】根据极值的概念，在 x=x0 附近的左侧 fʹx>0，函数单调递增；在 x=x0 附近的右侧 fʹx<0，函数单调递减，
所以 fx0 为极大值．
2. C
3. A【解析】fʹx=1x−ax2=1x2x−a，x=a 为 fx 的极值点，因此 a=1．
故选A．
4. A【解析】fʹx=1x−ax2=1x2x−a，x=a 为 fx 的极值点，因此 a=1．
5. D
6. A
7. B【解析】提示：fʹx=0 有两相异实根．
8. D【解析】因为 fx=x3−12x，所以 fʹx=3x2−12，
令 fʹx=0，得 x1=−2，x2=2．
当 x∈−∞,−2,2,+∞ 时，fʹx>0，则 fx 单调递增；
当 x∈−2,2 时，fʹx<0，则 fx 单调递减，
所以 fx 的极小值点为 a=2．
9. C【解析】由已知可得 fʹx=3ax2+2bx+c，
由 3ax2+2bx+c≤0 的解集为 x−2≤x≤3 可知 a>0，
且 −2，3 是方程 3ax2+2bx+c=0 的两根，
则由根与系数的关系知 2b3a=−1，c3a=−6，
所以 b=−3a2，c=−18a，此时 fx=ax3−3a2x2−18ax−34，
当 x∈−∞,−2 时，fʹx>0，fx 为增函数；
当 x∈−2,3 时，fʹx<0，fx 为减函数；
当 x∈3,+∞ 时，fʹx>0，fx 为增函数，
所以 f3 为 fx 的极小值，且 f3=27a−27a2−54a−34=−115，
解得 a=2．
10. C
【解析】因为函数 fx=x3+ax2+bx+a2 在 x=1 处有极值 10，
所以 f1=10，且 fʹ1=0，
即 1+a+b+a2=10,3+2a+b=0, 解得 a=−3,b=3 或 a=4,b=−11.
而当 a=−3,b=3 时，函数在 x=1 处无极值，故舍去．
所以 fx=x3+4x2−11x+16，所以 f2=18．
11. B
12. A【解析】若 fx 在 x=−1 处取得极小值，fʹx=x2+a2+2x+a2+1ex=x+1x+a2+1ex．
令 fʹx=0，得 x=−1 或 x=−a2−1．
①若 a=0，fʹx=x+12ex≥0．
故 fx 在 R 上单调递增，fx 无极小值；
②若 a≠0，−a2−1<−1，
故当 x<−a2−1 时，fʹx>0，fx 单调递增，
当 −a2−1当 x>−1 时，fʹx>0，fx 单调递增．
故 fx 在 x=−1 处取得极小值．
综上，函数 fx 在 x=−1 处取得极小值 ⇔a≠0．
所以“a=2”是“函数 fx 在 x=−1 处取得极小值”的充分不必要条件．
13. D【解析】因为 fx=2x+lnx，所以 fʹx=−2x2+1x=x−2x2，x>0．
当 x>2 时，fʹx>0，fx 为增函数；
当 0所以 x=2 为 fx 的极小值点，故选D．
14. A
15. D
【解析】因为函数 fx 在 R 上可导，其导函数 fʹx，且函数 fx 在 x=−2 处取得极大值，
所以当 x>−2 时，fʹx<0；当 x=−2 时，fʹx=0；当 x<−2 时，fʹx>0．
所以当 x>−2 时，xfʹx>0；当 x=−2 时，xfʹx=0；当 x<−2 时，xfʹx<0．
16. B【解析】由题意知 fʹx=ex−a．
当 a≤0 时，fʹx>0 恒成立，则 fx 在 R 上单调递增，不符合题意．
当 a>0 时，令 fʹx=0，解得 x=lna，
所以当 x∈−∞,lna 时，fʹx<0；
当 x∈lna,+∞ 时，fʹx>0．
可知 x=lna 为 fx 的极值点，
所以 lna<0，
所以 a∈0,1．
17. B【解析】由已知得：fx 的定义域为 x>0，且 fʹx=2x2−2x+ax，
因为 fx 有两个极值点 x1，x2，
所以 x1，x2 是方程 2x2−2x+a=0 的两根，
又因为 0所以 fx2=x2−12+2x2−2x22lnx2，
令 gt=t−12+2t−2t2lnt（其中 12则 gʹt=21−2tlnt>0，
故 gt 递增，
所以 g12而 g12=1−2ln24，g1=0，
所以 fx2∈1−2ln24,0．
18. D【解析】函数的导数 fʹx=ex−m+1x+2m+1，x>0，
因为函数 fx 恰有两个极值点，
所以函数 fx 有两个不同的零点．
令 fʹx=ex−m+1x+2m+1=0，得 xex1−2x=m+1 有两个不同的实数根，
记：hx=xex1−2x，
所以 hʹx=xexʹ1−2x−xex1−2xʹ1−2x2=−ex2x+1x−11−2x2，
当 x∈0,12 时，hʹx>0，此时函数 hx 在此区间上递增，
当 x∈12,1 时，hʹx>0，此时函数 hx 在此区间上递增，
当 x∈1,+∞ 时，hʹx<0，此时函数 hx 在此区间上递减，
即当 x=1 时，hx 取得极大值 h1=−e，
作出 hx 的简图如下：
要使得 hx=m+1 有两个不同的实数根，则 m+1<−e，
即 m<−e−1．
19. A【解析】因为函数 fx 的定义域是 0,+∞，
所以 fʹx=exx−2x3+2kx−k=ex−kx2x−2x3，
因为 x=2 是函数 fx 的唯一一个极值点，
所以 x=2 是导函数 fʹx=0 的唯一根，
所以 ex−kx2=0 在 0,+∞ 无变号零点，
即 k=exx2 在 x>0 上无变号零点，令 gx=exx2，
因为 gʹx=exx−2x3，
所以 gx 在 0,2 上单调递减，在 x>2 上单调递增，
所以 gx 的最小值为 g2=e24，
所以必须 k≤e24．
20. D
【解析】由已知得 fʹx=0 有两个正实数根 x1，x2x1从而 fʹx 的图象与 x 轴有两个交点，即 fʹx 的极大值大于 0，
得到 x1，x2 的取值范围，然后将 x1，x2 代入 fx 的解析式，比较 fx1 与 fx2 的大小．
fʹx=lnx+1−2axx>0,
依题意 lnx+1−2ax=0 有两个正实数根 x1，x2x1设 gx=lnx+1−2ax，则
gʹx=1x−2a,
显然当 a≤0 时不合题意，必有 a>0．
令 gʹx=0，得 x=12a，于是 gx 在 0,12a 上是增函数，在 12a,+∞ 上是减函数，
所以 gx 在 x=12a 处取得极大值，所以 fʹ12a=ln12a>0，即
12a>1,0且应有 x1<12a于是
fx1=x1lnx1−ax12=x12ax1−1−ax12=ax12−x1=x1ax1−1<0.
又 x∈12a,x2 时 fʹx>0，x∈x2,+∞ 时 fʹx<0，所以 x2 是 fx 的极大值点，所以
fx2>f1=−a>−12.
第二部分
21. √，×，√
22. a>0
23. −2
24. a>0
25. −∞,−2
【解析】由条件得，fx=x3+b−4x2+4−4bx+4bex，则
fʹx=x3+b−1x2+−4−2bx+4ex,
易知 fʹ2=0 恒成立，满足题意．
记 gx=x3+b−1x2+−4−2bx+4，则
gʹx=3x2+2b−1x+−4−2b,
又 x=2 是 fx 的一个极大值点，∴gʹ2<0，∴2b+4<0，解得 b<−2．
第三部分
26. 因为 fx=1x+lnx，
所以 fʹx=−1x2+1x=x−1x2，
令 fx=0，得 x=1，列表：
x0,111,+∞fʹx−0+fx单调递减极小值单调递增
所以 x=1 是 fx 的极小值点，fx 的极小值为 1，无极大值．
27. 因为 fx=x2−1−2alnxx>0，
所以 fʹx=2x−2ax=2x2−ax．
①当 a<0 时，因为 x>0，且 x2−a>0，
所以 fʹx>0 对 x>0 恒成立，
所以 fx 在 0,+∞ 上单调递增，fx 无极值．
②当 a>0 时，令 fʹx=0，解得 x1=a，x2=−a（舍去）．
所以当 x 变化时，fʹx，fx 的变化情况如表：
x0,aaa,+∞fʹx−0+fx↘极小值↗
所以当 x=a 时，fx 取得极小值，且 fa=a2−1−2alna=a−1−alna，无极大值．
综上，当 a<0 时，函数 fx 在 0,+∞ 上无极值．
当 a>0 时，函数 fx 在 x=a 处取得极小值 a−1−alna，无极大值．
28. 由 fx=x22−klnxk>0，得 x>0 且 fʹx=x−kx=x2−kx，由 fʹx=0，解得 x=k（负值舍去）．
fx 与 fʹx 在区间 0,+∞ 上的情况如下：
x0,kkk,+∞fʹx−0+fx↘k1−lnk2↗
所以，fx 的单调递减区间是 0,k，单调递增区间是 k,+∞，fx 在 x=k 处取得极小值 fk=k1−lnk2，无极大值．
29. （1） 当 a=0 时，fx=x3+bx+3，fʹx=3x2+b．
（i）①当 b≥0 时，fx 在 −∞,+∞ 上单调递增，无极值点．
②当 b<0 时，由 fʹx=0，得 x=−b3，或 x=−−b3．
当 x∈−∞,−−b3∪−b3,+∞ 时，fʹx>0；
故 fx在−∞,−−b3，−b3,+∞ 单调递增，
当 x∈−−b3,−b3 时，fʹx<0．
在 −−b3,−b3 单调递减．
所以，x=−−b3 是 fx 的极大值点；x=−b3 是 fx 的极小值点．
（ii）设 x=x0 是 fx 的极值点，则由（i）知 3x02+b=0．
又 x=x0 是 fx 的不动点，则有 x03+bx0+3=x0．
所以 b=−3．
（2） 不存在满足题设的 a，b，
证明如下：
假设存在满足题设的 a，b．设 x1，x2 为 fx 的两个极值点，且为 fx 的不动点，
并不妨设 x1由于 fʹx=3x2+2ax+b，
所以 x1，x2 为方程 3x2+2ax+b=0 的两个根．
当 x∈x1,x2 时，fʹx<0，可知 fx 在 x1,x2 上单调递增，故 fx1>fx2．
又 x1，x2 为 fx 的不动点，所以 fx1=x1即 fx1所以不存在满足题设的 a，b．
30. （1） 由已知得 fx 的定义域为 −12,+∞．
当 x>−12 时，fʹx=2−2−2ln2x+12x+12=8x2+8x+2ln2x+12x+12．
设 Fx=8x2+8x+2ln2x+1，则 fʹx=Fx2x+12．
当 x>−12 时，y=8x2+8x=8x−−122−2 是单调递增函数，y=2ln2x+1 也是单调递增函数．
所以当 x>−12 时，Fx=8x2+8x+2ln2x+1 单调递增．
所以当 −120 时，Fx>F0=0．
所以当 −12当 x>0 时，fʹx>0，fx 单调递增．
所以当 x=0 时，fx 取得极小值．
（2） 由（1）知 fx 在 0,+∞ 上是单调递增函数，若存在满足 n>m≥0 的实数 m，n，当 x∈m,n 时，fx 的值域为 m,n，则 fm=m，fn=n，
即 fx=x 在 0,+∞ 上有两个不等的实根 m，n．
所以 2x2+7x+3−ln2x+1=0 在 0,+∞ 上有两个不等的实根 m，n．
设 Hx=2x2+7x+3−ln2x+1，
则 Hʹx=8x2+18x+52x+1．
当 x>0 时，2x+1>0，8x2+18x+5>0，
所以 Hʹx=8x2+18x+52x+1>0．
所以 Hx 在 0,+∞ 上是单调递增函数，
即当 x≥0 时，Hx≥H0=3．
所以 2x2+7x+3−ln2x+1=0 在 0,+∞ 上没有实数根．
所以不存在满足条件的实数 m，n．