高中数学人教A版 (2019)必修 第二册7.2 复数的四则运算学案设计

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册7.2 复数的四则运算学案设计

7.2 复数的四则运算 7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义 【学习目标】 【自主学习】 一．复数加、减法的运算法则及加法运算律 1.加、减法的运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则z1＋z2＝ ，z1－z2＝ ． 2.加法运算律 对任意z1，z2，z3∈C，有 交换律：z1＋z2＝ ． ②结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． 二．复数加、减法的几何意义 如图所示，设复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)对应的向量分别为eq \o(OZ1,\s\up6(→))，eq \o(OZ2,\s\up6(→))，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，则与z1＋z2对应的向量是eq \o(OZ,\s\up6(→))，与z1－z2对应的向量是eq \o(Z2Z1,\s\up6(→)). 【小试牛刀】 思维辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)复数与向量一一对应. (　　) (2)在进行复数的加法时，实部与实部相加得实部，虚部与虚部相加得虚部．(　　) (3)复数的加法不可以推广到多个复数相加的情形．(　　) (4) 复数与复数相加减后结果只能是实数．(　　) (5)若复数z1，z2满足z1－z2＞0，则z1＞z2.(　　) (6)复数的减法不满足结合律，即(z1－z2)－z3＝z1－(z2＋z3)可能不成立．(　　) 【经典例题】 题型一 复数的加、减法运算 点拨： 两个复数相加(减)，就是把两个复数的实部相加(减)，虚部相加(减)．复数的减法是加法的逆运算。 例1 计算：(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i)。 【跟踪训练】1已知复数z满足z＋(1＋2i)＝5－i，则z＝____________． 题型二 复数加、减法的几何意义 点拨： 1.复数的加减运算可以转化为点的坐标或向量运算． 2.复数的加减运算转化为向量运算时，同样满足平行四边形法则和三角形法则．　 例2 根据复数及其运算的几何意义，求复平面内的两点Z1 (x1 , y1) ,Z2 (x2 , y2) 间的距离。 【跟踪训练】2 在复平面内，A，B，C，三点分别对应复数1，2＋i，－1＋2i. (1)求eq \o(AB,\s\up6(→))，eq \o(AC,\s\up6(→))，eq \o(BC,\s\up6(→))对应的复数； (2)判断△ABC的形状． 【当堂达标】 1. (多选)设复数z满足z＋|z|＝2＋i，那么(　　) A．z的虚部为i B．z的虚部为1 C．z＝－eq \f(3,4)－i D．z＝eq \f(3,4)＋i 2.已知复数z1＝3＋4i，z2＝3－4i，则z1＋z2＝(　 　) A．8i B．6 C．6＋8i D．6－8i 3.在平行四边形ABCD中，若A，C对应的复数分别为－1＋i和－4－3i，则该平行四边形的对角线AC的长度为(　　) A.eq \r(5) B．5 C．2eq \r(5) D．10 4.若复数z1＝1＋3i，z2＝－2＋ai，且z1＋z2＝b＋8i，z2－z1＝－3＋ci，则实数a＝________，b＝________，c＝________． 5.A，B分别是复数z1，z2在复平面内对应的点，O是原点，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则△AOB一定是 三角形. 6.已知四边形OACB是复平面内的平行四边形，O为原点，点A，B分别表示复数3＋i,2＋4i，M是OC，AB的交点，如图所示，求点C，M表示的复数．  【参考答案】 【自主学习】 (a＋c)＋(b＋d) i (a－c)＋(b－d)i z2＋z1 【小试牛刀】 (1) ×　(2) √　(3) ×　(4)×　(5)× (6)× 【经典例题】 例1 解 原式＝(5－2－3)＋(－6－1－4)i＝－11i. 【跟踪训练】1 4－3i 解析：z＝(5－i)－(1＋2i)＝4－3i. 例2 【跟踪训练】2 解：(1)A，B，C三点分别对应复数1，2＋i，－1＋2i. 所以eq \o(OA,\s\up6(→))，eq \o(OB,\s\up6(→))，eq \o(OC,\s\up6(→))对应的复数分别为1，2＋i，－1＋2i(O为坐标原点)， 所以eq \o(OA,\s\up6(→))＝(1，0)，eq \o(OB,\s\up6(→))＝(2，1)，eq \o(OC,\s\up6(→))＝(－1，2)． 所以eq \o(AB,\s\up6(→))＝eq \o(OB,\s\up6(→))－eq \o(OA,\s\up6(→))＝(1，1)，eq \o(AC,\s\up6(→))＝eq \o(OC,\s\up6(→))－eq \o(OA,\s\up6(→))＝(－2，2)，eq \o(BC,\s\up6(→))＝eq \o(OC,\s\up6(→))－eq \o(OB,\s\up6(→)) ＝(－3，1)． 即eq \o(AB,\s\up6(→))对应的复数为1＋i，eq \o(AC,\s\up6(→))对应的复数为－2＋2i，eq \o(BC,\s\up6(→))对应的复数为－3＋i. (2)因为|eq \o(AB,\s\up6(→))|＝eq \r(1＋1)＝eq \r(2)，|eq \o(AC,\s\up6(→))|＝eq \r(（－2）2＋22)＝eq \r(8)，|eq \o(BC,\s\up6(→))|＝eq \r(（－3）2＋1)＝eq \r(10)， 因为|eq \o(AB,\s\up6(→))|2＋|eq \o(AC,\s\up6(→))|2＝10＝|eq \o(BC,\s\up6(→))|2.且|eq \o(AB,\s\up6(→))|≠|eq \o(AC,\s\up6(→))|， 所以△ABC是以角A为直角的直角三角形． 【当堂达标】 1. BD 解析：设z＝x＋yi(x，y∈R)，则x＋yi＋eq \r(x2＋y2)＝2＋i， ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋\r(x2＋y2)＝2，,y＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝\f(3,4)，,y＝1，))∴z＝eq \f(3,4)＋i.∴z的虚部为1. 2.B 解析：z1＋z2＝(3＋4i)＋(3－4i)＝(3＋3)＋(4－4)i＝6. 3. B 解析：依题意，eq \o(AC,\s\up6(→))对应的复数为(－4－3i)－(－1＋i)＝－3－4i，因此AC的长度为|－3－4i|＝5. 4. 5　－1　2 解析：z1＋z2＝(1－2)＋(3＋a)i＝－1＋(3＋a)i＝b＋8i，z2－z1＝(－2－1)＋(a－3)i＝－3＋(a－3)i＝－3＋ci，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝－1，,3＋a＝8，,a－3＝c，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝－1，,a＝5，,c＝2.)) 5. 直角 解析：根据复数加(减)法的几何意义，知以eq \o(OA,\s\up6(→))，eq \o(OB,\s\up6(→))为邻边所作的平行四边形的对角线相等，则此平行四边形为矩形，故△AOB为直角三角形． 6. 解：因为eq \o(OA,\s\up6(→))，eq \o(OB,\s\up6(→))分别表示复数3＋i,2＋4i， 所以eq \o(OC,\s\up6(→))＝eq \o(OA,\s\up6(→))＋Oeq \o(B,\s\up6(→))表示的复数为(3＋i)＋(2＋4i)＝5＋5i， 即点C表示的复数为5＋5i. 又eq \o(OM,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \o(OC,\s\up6(→))，所以eq \o(OM,\s\up6(→))表示的复数为eq \f(5,2)＋eq \f(5,2)i， 即点M表示的复数为eq \f(5,2)＋eq \f(5,2)i.素 养 目 标学 科 素 养掌握复数代数形式的加法、减法运算法则; 理解复数代数形式的加法、减法运算的几何意义。1.数学运算; 2.直观想象