人教A版 (2019)必修 第二册7.2 复数的四则运算优质导学案

7.2.2　复数的乘、除运算

知识点1　复数的乘法

1．复数代数形式的乘法法则

已知z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i．

2．复数乘法的运算律

对于任意z1，z2，z3∈C，有

(1)复数的乘法与多项式的乘法有何不同？

(2)|z|2＝z2，正确吗？

[提示]　(1)复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i2换成－1，再把实部、虚部分别合并．

(2)不正确．例如，|i|2＝1，而i2＝－1．

1．复数(3＋2i)i等于(　　)

A．－2－3i　　　　 B．－2＋3i

C．2－3i   D．2＋3i

B　[(3＋2i)i＝3i＋2i·i＝－2＋3i，选B．]

2．已知复数(a＋2i)(1＋i)的实部为0，其中i为虚数单位，则实数a的值是________．

2　[∵(a＋2i)(1＋i)＝a＋ai＋2i＋2i2＝a－2＋(a＋2)i，其实部为0，∴a－2＝0，∴a＝2．]

知识点2　复数的除法法则

(a＋bi)÷(c＋di)＝＋i(a，b，c，d∈R，且c＋di≠0)．

3．已知i是虚数单位，则＝(　　)

A．1－2i　　　B．2－i　　　C．2＋i　　　D．1＋2i

D　[＝＝＝1＋2i．]

类型1　复数代数形式的乘法运算

【例1】　(1)若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－∞，1)　　　　　 B．(－∞，－1)

C．(1，＋∞)   D．(－1，＋∞)

(2)计算：①(2＋3i)(2－3i)；

②(1＋i)2；

③(－2－i)(3－2i)(－1＋3i)．

(1)B　[z＝(1－i)(a＋i)＝(a＋1)＋(1－a)i，

因为对应的点在第二象限，所以

解得a<－1 ，故选B．]

(2)[解]　①(2＋3i)(2－3i)＝22－(3i)2＝22－(－9)＝13．

②(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝1＋2i－1＝2i．

③原式＝(－6＋4i－3i＋2i2)(－1＋3i)

＝(－8＋i)(－1＋3i)

＝8－24i－i＋3i2

＝5－25i．

1．两个复数代数形式乘法的一般方法

复数的乘法可以按多项式的乘法法则进行，注意选用恰当的乘法公式进行简便运算，例如平方差公式、完全平方公式等．

2．常用公式

(1)(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2(a，b∈R)；

(2)(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)；

(3)(1±i)2＝±2i．

1．(1)下列各式的运算结果为纯虚数的是(　　)

A．i(1＋i)2   B．i2(1－i)

C．(1＋i)2   D．i(1＋i)

(2)复数z＝(1＋2i)(3－i)，其中i为虚数单位，则z的实部是________．

(1)C　(2)5　[(1)A项，i(1＋i)2＝i(1＋2i＋i2)＝i×2i＝－2，不是纯虚数．

B项，i2(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i，不是纯虚数．

C项，(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i，是纯虚数．

D项，i(1＋i)＝i＋i2＝－1＋i，不是纯虚数．

故选C．

(2)(1＋2i)(3－i)＝3－i＋6i－2i2＝5＋5i，

所以z的实部是5．]

类型2　复数代数形式的除法运算

【例2】　(对接教材P79例5)(1)＝(　　)

A．1＋2i   B．1－2i

C．2＋i   D．2－i

(2)若复数z满足z(2－i)＝11＋7i(i是虚数单位)，则z为(　　)

A．3＋5i   B．3－5i

C．－3＋5i   D．－3－5i

(1)D　(2)A　[(1)＝＝＝2－i．

(2)∵z(2－i)＝11＋7i，

∴z＝＝＝＝3＋5i．]

1．两个复数代数形式的除法运算步骤

(1)首先将除式写为分式；

(2)再将分子、分母同乘以分母的共轭复数；

(3)然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式．

2．常用公式

(1)＝－i；(2)＝i；(3)＝－i．

2．已知i为虚数单位，则的实部与虚部之积是(　　)

A．　　　　B．－　　　　C．i　　　　D．－i

A　[因为＝＝＋i，

所以的实部与虚部之积是．]

3．计算：＝________．

1　[法一：＝＝＝(－1)4＝1．

法二：因为＝＝＝i，

所以＝i8＝1．]

类型3　在复数范围内解方程

【例3】　在复数范围内解下列方程．

(1)x2＋5＝0；

(2)x2＋4x＋6＝0．

[解]　(1)因为x2＋5＝0，所以x2＝－5，

又因为(i)2＝(－i)2＝－5，

所以x＝±i，

所以方程x2＋5＝0的根为±i．

(2)法一：因为x2＋4x＋6＝0，

所以(x＋2)2＝－2，

因为(i)2＝(－i)2＝－2，

所以x＋2＝i或x＋2＝－i，

即x＝－2＋i或x＝－2－i，

所以方程x2＋4x＋6＝0的根为x＝－2±i．

法二：由x2＋4x＋6＝0知Δ＝42－4×6＝－8＜0，

所以方程x2＋4x＋6＝0无实数根．

在复数范围内，设方程x2＋4x＋6＝0的根为x＝a＋bi(a，b∈R且b≠0)，

则(a＋bi)2＋4(a＋bi)＋6＝0，

所以a2＋2abi－b2＋4a＋4bi＋6＝0，

整理得(a2－b2＋4a＋6)＋(2ab＋4b)i＝0，

所以

又因为b≠0，

所以

解得a＝－2，b＝±．

所以x＝－2±i，

即方程x2＋4x＋6＝0的根为x＝－2±i．

在复数范围内，实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0a≠0的求解方法

1求根公式法

2利用复数相等的定义求解,设方程的根为x＝m＋nim，n∈R，将此代入方程ax2＋bx＋c＝0a≠0，化简后利用复数相等的定义求解.

4．在复数范围内解方程2x2＋3x＋4＝0．

[解]　因为b2－4ac＝32－4×2×4＝9－32＝－23＜0，

所以方程2x2＋3x＋4＝0的根为x＝＝．

类型4　复数运算的综合问题

【例4】　(1)已知复数z＝，是z的共轭复数，则z· 等于(　　)

A．　　　B．　　　C．1　　　D．2

(2)已知复数z满足|z|＝，且(1－2i)z是实数，求 ．

1．若z＝，则z是什么数？这个性质有什么作用？

[提示]　z＝⇔z∈R，利用这个性质可证明一个复数为实数．

2．若z≠0且z＋＝0，则z 是什么数？这个性质有什么作用？

[提示]　z≠0且z＋＝0，则z为纯虚数，利用这个性质，可证明一个复数为纯虚数．

3．三个实数|z|，||，z·具有怎样的关系？

[提示]　设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，

所以|z|＝，||＝＝，

z·＝(a＋bi)(a－bi)＝a2－(bi)2＝a2＋b2，

所以|z|2＝||2＝z·．

(1)A　[∵z＝＝＝＝＝＝－＋，

∴＝－－，∴z·＝．]

(2)[解]　设z＝a＋bi(a，b∈R)，则(1－2i)z＝(1－2i)(a＋bi)＝(a＋2b)＋(b－2a)i．又因为(1－2i)z是实数，所以b－2a＝0，即b＝2a，又|z|＝，所以a2＋b2＝5．解得或所以z＝1＋2i或z＝－1－2i，所以＝1－2i或＝－1＋2i．

1．由比较复杂的复数运算给出的复数，求其共轭复数，可先按复数的四则运算法则进行运算，将复数写成代数形式，再写出其共轭复数．

2．注意共轭复数的简单性质的运用．

5．已知z1，z2是复数，定义复数的一种运算“⊗”：z1⊗z2＝当z1＝3－i，z2＝－2－3i时，z1⊗z2＝(　　)

A．－＋i　　　　 B．5＋2i

C．－i   D．5－2i

A　[由|z1|＝＝，|z2|＝＝，知|z1|＜|z2|，故z1⊗z2＝＝＝＝＝－＋i，故选A．]

1．复数的虚部是(　　)

A．1　　　B．－i　　　C．i　　　D．－1

D　[∵复数＝＝＝1－i，

∴复数的虚部是－1．]

2．m∈R，i为虚数单位，若(m＋i)(2－3i)＝5－i，则m的值为(　　)

A．1    B．－1    C．2    D．－2

A　[由(m＋i)(2－3i)＝(2m＋3)＋(2－3m)i＝5－i，

得解得m＝1．]

3．已知复数z＝2－i，则z·的值为(　　)

A．5    B．    C．3    D．

A　[z·＝(2－i)(2＋i)＝22－i2

＝4＋1＝5．]

4．若复数z满足z(1＋i)＝2i(i为虚数单位)，则|z|＝(　　)

A．1    B．2    C．    D．

C　[因为z(1＋i)＝2i，所以z＝＝＝1＋i，故|z|＝＝．]

5．已知复数z1＝(－1＋i)(1＋bi)，z2＝，其中a，b∈R．若z1与z2互为共轭复数，则a＝________，b＝________．

－2　1　[z1＝(－1＋i)(1＋bi)＝－1－bi＋i－b＝(－b－1)＋(1－b)i, z2＝＝＝＝＋i．

由于z1和z2互为共轭复数，所以有

解得]

回顾本节知识，自我完成以下问题：

(1)复数代数形式的乘法法则和运算律各是什么？

(2)复数的除法法则是什么？

(3)如何在复数范围内解方程？

利用复数产生分形图

以前我们学过的函数，定义域都是实数集的子集．但函数概念还可以推广：定义域是复数集的子集的函数称为复变函数．类似地，我们还可以得到多项式复变函数的概念．例如，f(z)＝z2就是一个多项式复变函数，此时

f(i)＝i2＝－1，f(1＋i)＝(1＋i)2＝2i．

给定多项式复变函数f(z)之后，对任意一个复数z0，通过计算公式zn＋1＝f(zn)，n∈N可以得到一列值

z0，z1，z2，…，zn，…．

如果存在一个正数M，使得|zn|＜M对任意n∈N都成立，则称z0为f(z)的收敛点；否则，称z0为f(z)的发散点．f(z)的所有收敛点组成的集合称为f(z)的充满茹利亚集．

例如，当f(z)＝z2时，如果z0＝i，则得到的一列值是

i，－1,1,1，…，1，…；

如果z0＝1＋i，则算出的一列值是

1＋i,2i，－4，…，22n－1，…．

显然，对于f(z)＝z2来说，i为收敛点，1＋i为发散点．事实上，利用|z2|＝|z|2可以证明，f(z)＝z2的充满茹利亚集是一个单位圆盘(即由满足|z|≤1的所有z组成的集合)．

让人惊讶的是，当f(z)＝z2＋c时，对于某些复数c来说，f(z)的充满茹利亚集是非常复杂的．如果利用计算机对不同形态的收敛点和发散点进行不同的着色，就可以得到与本章导语所示类似的分形图．而且，如果按照一定的规则对c进行分类，并进行着色，可以得到如图所示的芒德布罗分形图．