人教A版 (2019)必修 第二册第七章 复数7.2 复数的四则运算优秀ppt课件

第1课时 复数的加、减运算及其几何意义

（一）教学内容

复数的加法运算及其几何意义，复数的减法运算及其几何意义.

（二）教学目标

掌握复数代数形式的加、减运算法则及其运算律，了解复数加、减法运算的几何意义.

（三）教学重点与难点

重点：复数代数形式的加、减运算法则及其运算律，复数加、减运算的几何意义.

难点：复数减法的运算法则.法

（四）教学过程设计

1.引入新课

问题1：我们为了解决类似x2+1=0在实数范围无解的问题，引入了虚数单位i，从而把数集范围从实数集扩大到复数集.依据我们研究实数的经验，接下来我们要研究复数的哪些问题？

答：接下来要研究讨论复数集中的运算问题.

追问：还记的复数的概念吗？

答：对于形如：的数叫做复数.其中i叫做虚数单位，a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部.

设计意图：通过复习回顾数集的扩展、复数概念为探究本节课的新知识作铺垫.

2.课堂探究

问题2：我们希望在扩充到复数集后加法、乘法运算与实数集中规定的加法运算、乘法运算协调一致，并且复数的加法和乘法都满足交换律和结合律，设,是任意两个复数，该如何规定复数的加法法则呢？

答：，由于期望加法结合律成立，故;

由于期望乘法对加法满足分配率，故，所以我们规定：设,，则.

追问1：两个复数的和是个什么数，它的值唯一确定吗？

答：两个复数的和仍然是个复数，且是一个确定的复数，它可以推广到多个复数相加；

追问2：当b=0，d =0时，与实数加法法则一致吗？

答：当b=0，d =0时，复数的加法与实数加法法则一致；

追问3：它的实质是什么？类似于实数的哪种运算方法？

答：实质是实部与实部相加，虚部与虚部相加，类似于实数运算中的合并同类项..

设计意图：加深对复数加法法则的理解，且与实数类比，了解规定的合理性.将实数的运算通性、通法扩充到复数，有利于培养学生的学习兴趣.

问题3：实数的加法有交换律、结合律，复数的加法满足这些运算律吗？

答：对任意的，，，有+=+，++=+(+).

证明：设,，则.

.因为，，所以+=+.

证明: 设,,，

++==,

+(+)==

所以++=+(+).

问题4：我们知道，实数的减法是加法的逆运算，类比实数减法的意义，你认为该如何定义复数的减法？

答：类比实数减法的意义，我们规定,复数的减法是加法的逆运算,即把满足的复数叫做复数减去复数的差，记作.

根据复数相等的含义，因此

所以，即

追问1：两个复数的差是个什么数，它的值唯一确定吗？

答：两个复数的差与和相同，仍然是个复数,且是一个确定的复数.

追问2：上述用什么方法来推导两个复数减法的运算法则的？

答：我们在推导两个复数减法的运算法则时，应用了待定系数法，这种方法也是确定未知复数实部与虚部经常用的一种方法.

追问3：复数的加法类似于两个多项式相加，复数的减法类似于实数的哪种运算方法呢？

答：两个复数的差实质是实部与实部相减作为实部, 虚部与虚部相减作为虚部,类似于实数运算中的合并同类项.

设计意图：加深对复数加(减)法法则的理解,从不同的角度总结,既学到知识,又学到了数学方法,使知识更加系统化,学生的思维将上升到一个更高的层面,为准确地运用新知,进行必要铺垫.

问题5：我们知道，复数与复平面内以原点为起点的向量有一一对应的关系。而我们讨论过向量加法的几何意义，你能由此出发讨论复数加法的几何意义吗？

答: 设，分别与复数对应，则，.由平面向量的坐标运算法则，得.而.

这说明两个向量与的和就是与复数对应的向量.

问题6：类比复数加法的几何意义，你能得出复数减法的几何意义吗？

答：设，分别与复数对应，则，.

，而.

这说明两个向量与的差就是与复数对应的向量.

设计意图：通过向量的知识,让学生体会从数形结合的角度来认识复数的加减法法则,训练学生的形象思维能力,加深复数几何意义的理解，也培养了学生的数形结合思想.

复数的减法运算法则是通过转化为加法运算而得到的,渗透了化归与转化的数学思想方法.

3.知识应用

例1.(1)已知复数,，求它们的和与差;

(2)+

解：(1),；

(2)+

例2 根据复数及其运算的几何意义，求复平面内的两点 ，之间的距离.

分析：由于复平面内的点 ，对应的复数分别为,, 由复数减法的几何意义知，复数对应的向量为，从而点，之间的距离为

解：由于复平面内的点 ，对应的复数分别为,, 所以点，之间的距离为

.

设计意图：通过运算巩固复数加、减运算，利用复数及其几何意义研究复平面内两点的距离问题，将复平面内两点，之间的距离转化为,使得几何问题代数化.

 4.归纳总结

（1）复数代数形式的加法、减法的运算法则.

复数的加(减)法实质是:复数的实部与实部、虚部与虚部分别相加减;

（2）复数加法减法的几何意义.

复数的加法可以按照向量的加法（平行四边形法则）来进行，复数的减法可以按照向量的减法（三角形法则）来进行.

设计意图：通过课堂小结,增强学生对复数代数形式的加法、减法的运算法则及几何意义的理解, 引导学生自我反馈、自我总结,并对所学知识进行提炼升华,使知识系统化.让学生学会学习,学会内化知识的方法与经验,促进学习目标的完成.