高考数学考前回归课本知识技法精细过（十五）：随机抽样与统计 (1)教案

高考数学考前30天回归课本知识技法精细过（十五）

第一节　随机抽样

一、必记3个知识点

1．简单随机抽样

(1)简单随机抽样：一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个①________地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会②________，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．

(2)最常用的简单随机抽样方法有两种——③________法和④______________法．

(3)一般地，抽签法就是总体中的N个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中，⑤______________后，每次从中抽取一个号签，连续抽取n次，就得到一个容量为n的样本．

(4)随机数表法就是利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样．

(5)简单随机抽样有操作简便易行的优点，在总体个数不多的情况下是行之有效的．

2．系统抽样

(1)一般地，假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，我们可以按下列步骤进行系统抽样：

(ⅰ)先将总体的N个个体编号．有时可直接利用个体自身所带的号码，如学号、准考证号、门牌号等；

(ⅱ)确定分段间隔k，对编号进行分段．当(n是样本容量)是整数时，取k＝⑥________；

(ⅲ)在第1段用⑦________确定第一个个体编号l(l≤k)；

(ⅳ)按照一定的规则抽取样本．通常是将l⑧________得到第2个个体编号(l＋k)，再加k得到第3个个体编号⑨________，依次进行下去，直到获取整个样本．

(2)当总体中元素个数较少时，常采用简单随机抽样，当总体中元素个数较多时，常采用⑩________.

3．分层抽样

(1)分层抽样的概念：一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样．

(2)当总体是由⑪________的几个部分组成时，往往选用分层抽样的方法．

(3)分层抽样时，每个个体被抽到的机会是⑫________的．

二、必明2个易误点

1．认清简单随机抽样、系统抽样、分层抽样三者间的区别与联系，是正确选择抽样方法的前提．

2．在系统抽样中，应先确定分段间隔，然后再确定入样个体编号间的关系．

三、技法

1. 解决简单随机抽样应注意的问题

(1)一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是抽签是否方便；二是号签是否易搅匀．一般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法．

(2)在使用随机数表时，如遇到三位数或四位数时，可从选择的随机数表中的某行某列的数字计起，每三个或四个作为一个单位，自左向右选取，有超过总体号码或出现重复号码的数字舍去.

2. 系统抽样应注意的问题

⑴系统抽样又称等距抽样，所以依次抽取的样本对应的号码就是一个等差数列，首项就是第1组所抽取样本的号码，公差为间隔数，根据等差数列的通项公式就可以确定每一组内所要抽取的样本号码．

⑵系统抽样时，如果总体中的个数不能被样本容量整除时，可以先用简单随机抽样从总体中剔除几个个体，然后再按系统抽样进行.

参考答案

①不放回　②都相等　③抽签　④随机数表　⑤搅拌均匀　⑥　⑦简单随机抽样　

⑧加上间隔k　⑨(l＋2k)　⑩系统抽样　⑪差异明显　⑫均等

第二节　用样本估计总体

一、必记3个知识点

1．频率分布直方图

(1)通常我们对总体作出的估计一般分成两种．一种是用样本的①________估计总体的分布．另一种是用样本的②________估计总体的数字特征．

(2)在频率分布直方图中，纵轴表示③________，数据落在各小组内的频率用各小长方形的④________表示．各小长方形的面积总和⑤________.

(3)连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图．随着⑥________的增加，作图时所分的⑦________增加，相应的频率分布折线图就会越来越接近于一条光滑的曲线，统计中称之为⑧________________，它能够更加精细地反映出总体在各个范围内取值的⑨________.

(4)当样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好，它不但可以保留所有信息，而且可以随时记录，给数据的记录和表示都带来方便．

2．众数，中位数，平均数

(1)众数：在一组数据中，出现次数⑩________的数据叫做这组数据的众数．

(2)中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在⑪________位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的⑫________.

(3)平均数：样本数据的算术平均数．即＝⑬__________.在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该⑭________.

3．样本方差，标准差

标准差

s＝ ，

其中xn是样本数据的第n项，n是样本容量，是⑮________.标准差是反映总体波动大小的特征数，样本方差是标准差的平方．通常用样本方差估计总体方差，当样本容量⑯________总体容量时，样本方差越接近总体方差．

二、必明1个易误点

不要把直方图错认为条形图，两者的区别在于条形图是离散随机变量，纵坐标刻度为频数或频率，直方图是连续随机变量，纵坐标刻度为频率/组距，连续随机变量在某一点上是没有频率的．

三、技法

1. 众数、中位数、平均数及方差的意义及计算公式

(1)平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体的一种简明地描述，平均数、中位数、众数描述数据集中趋势，方差和标准差描述波动的大小．

(2)平均数、方差的公式推广．

①若数据x1，x2，…，xn的平均数为，那么mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均数是m＋a.

②数据x1，x2，…，xn的方差为s2.

(ⅰ)数据x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差也为s2；

(ⅱ)数据ax1，ax2，…，axn的方差为a2s2.

(3)方差的简化计算公式．

s2＝[(x＋x＋…＋x)－n2]或写成s2＝(x＋x＋…＋x)－2，即方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方.

2. 茎叶图的应用

(1)茎叶图中的“茎”上的数字代表十位上的数字，“叶”上的数字代表个位上的数字(若没有则表示该数据不存在)；

(2)解题时，可把茎叶图中的数字按大小顺序转化为总体的个体数字再求解.

3. 绘制频率分布直方图时的2个注意点

(1)制作好频率分布表后，可以利用各组的频率之和是否为1来检验该表是否正确．

(2)频率分布直方图的纵坐标是，而不是频率．

4．由频率分布直方图进行相关计算时，需掌握的2个关系式

(1)×组距＝频率．

(2)＝频率，此关系式的变形为＝样本容量，样本容量×频率＝频数.

参考答案

①频率分布　②数字特征　③　④面积

⑤等于1　⑥样本容量　⑦组数　⑧总体密度曲线　⑨百分比　⑩最多　⑪最中间

⑫中位数　⑬(x1＋x2＋…＋xn)　⑭相等

⑮平均数　⑯接近

第三节　变量间的相关关系与统计案例

一、必记4个知识点

1．两个变量的线性相关

(1)正相关

在散点图中，点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关．

(2)负相关

在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，两个变量的这种相关关系称为负相关．

(3)线性相关关系、回归直线

如果散点图中点的分布从整体上看大致在①__________附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．

2．回归方程

(1)最小二乘法

求回归直线，使得样本数据的点到它的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法．

(2)回归方程

方程＝x＋是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的回归方程，其中，是待定参数．

3．回归分析

(1)定义：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．

(2)样本点的中心

对于一组具有线性相关关系的数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中②____________称为样本点的中心．

(3)相关系数

当r＞0时，表明两个变量③________________；

当r＜0时，表明两个变量④________________.

r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性⑤________.

r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常|r|大于⑥________时，认为两个变量有很强的线性相关性．

4．独立性检验

(1)分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这类变量称为分类变量．

(2)列联表：列出两个分类变量的频数表，称为列联表．假设有两个分类变量X和Y，它们的可能取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为：

构造一个随机变量K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量．

(3)独立性检验

利用随机变量K2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验．

二、必明4个易误点

1．回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的回归直线方程才有实际意义，否则，求出的回归直线方程毫无意义．

2．根据回归方程进行预报，仅是一个预报值，而不是真实发生的值．

3．r的大小只说明是否相关，并不能说明拟合效果的好坏，R2才是判断拟合效果好坏的依据，必须将二者区分开来．

4．独立性检验的随机变量K2＝2.706是判断是否有关系的临界值，K2＜2.706应判断为没有充分依据显示X与Y有关系，而不能作为小于90%的量化值来作出判断．

三、技法

1. 判定两个变量正、负相关性的方法

(1)画散点图：点的分布从左下角到右上角，两个变量正相关；点的分布从左上角到右下角，两个变量负相关．

(2)相关系数：r＞0时，正相关；r＜0时，负相关．

(3)线性回归方程中：＞0时，正相关；＜0时，负相关.

2. 求线性回归方程的基本步骤

(1)先把数据制成表，从表中计算出、，x＋x＋…＋x、x1y1＋x2y2＋…＋xnyn的值．

(2)计算回归系数，.

(3)写出线性回归方程＝x＋.

注：回归方程一定过点(，).

3. 解独立性检验的应用问题的关注点

(1)两个明确：

①明确两类主体；

②明确研究的两个问题．

(2)两个关键：

①准确画出2×2列联表；

②准确理解K2.

提醒：准确计算K2的值是正确判断的前提.

参考答案

①一条直线　②(，)　③正相关　④负相关　⑤越强　⑥0.75