高考数学考前回归课本知识技法精细过（六）：数列教案

这是一份高考数学考前回归课本知识技法精细过（六）：数列教案，共10页。教案主要包含了必记5个知识点，必明2个易误点，技法等内容，欢迎下载使用。

第一节 数列的概念与简单表示法
一、必记5个知识点
1．数列的有关概念
2.数列的表示方法
3.an与Sn的关系
若数列{an}的前n项和为Sn，
则an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(⑦ ，n＝1，,⑧ ，n≥2.))
4．数列的分类
5.常见数列的通项公式
①自然数列：(1,2,3,4，…) an＝n；
②奇数列：(1,3,5,7，…) an＝2n－1；
③偶数列：(2,4,6,8，…) an＝2n；
④平方数列：(1,4,9,16，…) an＝n2；
⑤2的乘方数列：(2,4,8,16，…) an＝2n；
⑥倒数列：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(1,2)，\f(1,3)，\f(1,4)，…)) an＝eq \f(1,n)；
⑦乘积数列：(2,6,12,20，…)
可化为(1×2,2×3,3×4,4×5，…) an＝n(n＋1)；
⑧重复数串列：(9,99,999,9999，…) an＝10n－1；
⑨(0.9,0.99,0.999,0.9999，…) an＝1－10－n；
⑩符号调整数列：(－1,1，－1,1，…) an＝(－1)n.
二、必明2个易误点
1．数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关．
2．项与项数是两个不同的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号．
三、技法
1. 由数列的前几项求数列通项公式的策略
(1)根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征，并对此进行归纳、联想，具体如下：
①分式中分子、分母的特征；
②相邻项的变化特征；
③拆项后的特征；
④各项符号特征等．
(2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是利用不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想，由不完全归纳得出的结果是不可靠的，要注意代值检验，对于正负符号变化，可用(－1)n或(－1)n＋1来调整.
2. 已知Sn求an的三个步骤
(1)先利用a1＝S1求出a1.
(2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式．
(3)对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写
3. 典型的递推数列及处理方法
参考答案
= 1 \* GB3 ①一定顺序 ②每一个数 ③an＝f(n) ④a1＋a2＋…＋an ⑤(n，an) ⑥公式 ⑦S1
⑧Sn－Sn－1 ⑨an＋1>an ⑩an＋1第二节 等差数列及其前n项和
一、必记5个知识点
1．等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于①____________，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的②________，一般用字母d表示；定义的表达式为：③______________(n∈N*)．
2．等差数列的通项公式
设等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝④________________.等差数列的通项公式是关于n的一次函数形的函数．
3．等差中项
若a，A，b成等差数列，则A叫做a，b的等差中项，且A＝⑤________.
4．等差数列的前n项和公式
若已知首项a1和末项an，则Sn＝⑥____________，或等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其前n项和公式为Sn＝⑦________________.等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数形的函数且无常数项．
5．等差数列与等差数列各项和的有关性质
(1)am＝an＋(m－n)d或eq \f(am－an,m－n)＝d.(m、n∈N*)
(2)在等差数列中，若p＋q＝m＋n，则有ap＋aq＝am＋an；若2m＝p＋q，则有ap＋aq＝⑧________，(p，q，m，n∈N*)．
(3)d＞0⇔{an}是递增数列，Sn有最小值；d＜0⇔{an}是递减数列，Sn有最大值；d＝0⇔{an}是常数数列．
(4)数列{λan＋b}仍为等差数列，公差为λd.
(5)若{bn}，{an}都是等差数列，则{an±bn}仍为等差数列．
(6)am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等差数列，公差为kd.
(7)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．
(8)S2n－1＝(2n－1)an.
(9)若n为偶数，则S偶－S奇＝eq \f(n,2)d.
若n为奇数，则S奇－S偶＝a中(中间项)．
二、必明2个易误点
1．要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列．
2．注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别．
三、技法
1. 等差数列的判定方法
(1)等差数列的判定通常有两种方法：第一种是定义法，an－an－1＝d(常数)(n≥2)；第二种是利用等差中项法，即2an＝an－1＋an＋1(n≥2)．
(2)解答选择题和填空题时也可以用通项公式与前n项和公式直接判定．
(3)若判定一个数列不是等差数列，则只需要说明某连续3项(如前三项)不是等差数列即可.
2. 应用等差数列的性质解题的三个注意点
(1)如果{an}为等差数列，m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．因此，若出现am－n，am，am＋n等项时，可以利用此性质将已知条件转化为与am(或其他项)有关的条件；若求am项，可由am＝eq \f(1,2)(am－n＋am＋n)转化为求am－n，am＋n或am＋n＋am－n的值．
(2)要注意等差数列通项公式及前n项和公式的灵活应用，如an＝am＋(n－m)d，d＝eq \f(an－am,n－m)，S2n－1＝(2n－1)an，Sn＝eq \f(na1＋an,2)＝eq \f(na2＋an－1,2)(n，m∈N*)等．
(3)当项数为偶数2n时，S偶－S奇＝nd；项数为奇数2n－1时，S奇－S偶＝a中，S奇：S偶＝n：(n－1).
3. 求等差数列前n项和Sn最值的两种方法
(1)函数法：等差数列前n项和的函数表达式Sn＝an2＋bn＝aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n＋\f(b,2a)))2－eq \f(b2,4a)，求“二次函数”最值．
(2)邻项变号法
①当a1＞0，d＜0时，满足an»0，an+1«0的项数m使得Sn取得最大值为Sm；
②当a1＜0，d＞0时，满足an«0，an+1»0的项数m使得Sn取得最小值为Sm.
参考答案
同一个常数 ②公差 ③an＋1－an＝d ④a1＋(n－1)d ⑤eq \f(a＋b,2) ⑥eq \f(na1＋an,2)
⑦na1＋eq \f(nn－1,2)d ⑧2am
第三节 等比数列及其前n项和
一、必记6个知识点
1．等比数列及其相关概念
2.等比数列的通项公式
若等比数列{an}的首项是a1，公比是q，则其通项公式为⑥________________(n∈N*)．
3．等比数列的前n项和公式
(1)当公比q＝1时，Sn＝⑦________.
(2)当公比q≠1时，Sn＝⑧____________＝⑨________.
4．项的性质
(1)an＝amqn－m.
(2)am－kam＋k＝aeq \\al(2,m)(m>k，m，k∈N*)．
(3)若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则am·an＝⑩____________＝aeq \\al(2,k).
(4)若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}，{|an|}，eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))，{aeq \\al(2,n)}，{an·bn}，eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(an,bn)))(λ≠0)仍然是等比数列．
(5)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，则an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk.
5．和的性质
(1)Sm＋n＝Sn＋qnSm.
(2)若等比数列{an}共2k(k∈N*)项，则eq \f(S偶,S奇)＝q.
(3)公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，⑪____________仍成等比数列，其公比为qn，当公比为－1时，Sn，S2n－Sn，⑫____________不一定构成等比数列．
6．等比数列{an}的单调性
(1)满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1>0，,q>1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1<0，,0(2)满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1>0，,01))时，{an}是⑭________数列．
(3)当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1≠0，,q＝1))时，{an}为⑮________数列．
(4)当q<0时，{an}为摆动数列．
二、必明2个易误点
1．在等比数列中易忽视每项与公比都不为0.
2．在运用等比数列的前n项和公式时，必须对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形导致解题失误．
三、技法
1. 等比数列的基本运算方法
(1)等比数列可以由首项a1和公比q确定，所有关于等比数列的计算和证明，都可围绕a1和q进行．
(2)对于等比数列问题，一般给出两个条件，就可以通过列方程(组)求出a1，q.如果再给出这三个条件就可以完成an，a1，q，n，Sn的“知三求二”问题．
[注意] 等比数列求和要讨论q＝1和q≠1两种情况.
2. 等比数列的4种常用判定方法
[提醒] (1)前两种方法是判定等比数列的常用方法，常用于证明；后两种方法常用于选择题、填空题中的判定．
(2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可.
3. 掌握运用等比数列性质解题的2个技巧
(1)在等比数列的基本运算问题中，一般是列出a1，q满足的方程组求解，但有时运算量较大，如果可利用等比数列的性质，便可减少运算量，提高解题的速度，要注意挖掘已知和隐含的条件．
(2)利用性质可以得到一些新数列仍为等比数列或为等差数列，例如：
①若{an}是等比数列，且an>0，则{lgaan}(a>0且a≠1)是以lgaa1为首项，lgaq为公差的等差数列．
②若公比不为1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn.
4．牢记与等比数列前n项和Sn相关的几个结论
(1)项的个数的“奇偶”性质：等比数列{an}中，公比为q.
①若共有2n项，则S偶：S奇＝q；
②若共有2n＋1项，则S奇－S偶＝eq \f(a1＋a2n＋1q,1＋q)(q≠1且q≠－1)，eq \f(S奇－a1,S偶)＝q.
(2)分段求和：Sn＋m＝Sn＋qnSm⇔qn＝eq \f(Sn＋m－Sn,Sm)(q为公比).
参考答案
前一项 ②同一个常数 ③常数 ④eq \f(an＋1,an)＝q⑤G2＝ab ⑥an＝a1qn－1
⑦na1 ⑧eq \f(a11－qn,1－q) ⑨eq \f(a1－anq,1－q) ⑩ap·aq ⑪S3n－S2n ⑫S3n－S2n ⑬递增 ⑭递减 ⑮常
第四节 数列求和
一、必记6个知识点
1．公式法求和
使用已知求和公式求和的方法，即等差、等比数列或可化为等差等比数列的求和方法．
2．裂项相消法求和
把数列的通项拆分为两项之差，使之在求和时产生前后相互抵消的项的求和方法．
3．错位相减法求和
(1)适用的数列：{anbn}，其中数列{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q≠1的等比数列．
(2)方法：设Sn＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn(*)，
则qSn＝a1b2＋a2b3＋…＋an－1bn＋anbn＋1(**)，
(*)－(**)得：(1－q)Sn＝a1b1＋d(b2＋b3＋…＋bn)－anbn＋1，就转化为根据公式可求的和．
4．倒序相加法求和
如果一个数列{an}与首末两端等“距离”的两项的和等于首末两项之和，可把正着写与倒着写的两个式子相加，就得到一个常数列的和，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，例如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的．
5．分组求和法求和
若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转化求和法，分别求和而后相加减．例如已知an＝2n＋(2n－1)，求Sn.
6．并项求和法求和
把数列中的若干项结合到一起，形成一个新的可求和的数列，此时，数列中的项可能正、负相间出现或呈现周期性．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两个项合并求解．例如：Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12)＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5050.
二、必明2个易误点
1．使用裂项相消法求和时，要注意正负项相消时，消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点．
2．在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．
三、技法
1. 分组转化法求和的常见类型
(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求{an}的前n项和．
(2)通项公式为an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(bn，n为奇数，cn，n为偶数))的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．
[提醒] 某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，注意在含有字母的数列中对字母的讨论.
2. 掌握解题“3步骤”
3．注意解题“3关键”
(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形．
(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式．
(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比q＝1和q≠1两种情况求解．
4．谨防解题“2失误”
(1)两式相减时最后一项因为没有对应项而忘记变号．
(2)对相减后的和式的结构认识模糊，错把中间的n－1项和当作n项和.
5. 常见的裂项方法(其中n为正整数)
概念
含义
数列
按照①________________排列的一列数
数列的项
数列中的②____________
数列的通项
数列{an}的第n项an
通项公式
数列{an}的第n项an与n之间的关系能用公式③____________表示，这个公式叫做数列的通项公式
前n项和
数列{an}中，Sn＝④________________________叫做数列的前n项和
列表法
列表格表示n与an的对应关系
图象法
把点⑤____________画在平面直角坐标系中
公式法
通项
公式
把数列的通项使用⑥________表示的方法
递推
公式
使用初始值a1和an＋1＝f(an)或a1，a2和an＋1＝f(an，an－1)等表示数列的方法
单调性
递增数列
∀n∈N*，⑨____________
递减数列
∀n∈N*，⑩____________
常数列
∀n∈N*，an＋1＝an
摆动数列
从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
周期性
周期数列
∀n∈N*，存在正整数常数k，an＋k＝an
递推式
方法
示例
an＋1＝an＋f(n)
累加法
a1＝1，an＋1＝an＋2n
an＋1＝anf(n)
累乘法
a1＝1，eq \f(an＋1,an)＝2n
an＋1＝Aan＋B
(A≠0,1，B≠0)
化为等
比数列
a1＝1，an＋1＝2an＋1
an＋1＝eq \f(Aan,Ban＋A)
化为等
差数列
a1＝1，an＋1＝eq \f(2an,an＋2)
等比数列
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的①________的比都等于②____________
公比
等比数列定义中的③________叫做等比数列的公比，常用字母q(q≠0)表示
公式表示
{an}为等比数列⇔④____________(n∈N*，q为非零常数)
等比中项
如果a，G，b成等比数列，则G叫做a，b的等比中项，此时⑤________
定义法
若eq \f(an＋1,an)＝q(q为非零常数，n∈N*)或eq \f(an,an－1)＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列
中项
公式法
若数列{an}中，an≠0且aeq \\al(2,n＋1)＝an·an＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列
通项
公式法
若数列通项公式可写成an＝c·qn－1(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列
前n项和
公式法
若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0,1)，则{an}是等比数列
数列
裂项方法
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,nn＋k)))
(k为非零常数)
eq \f(1,nn＋k)＝eq \f(1,k)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,n)－\f(1,n＋k)))
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,4n2－1)))
eq \f(1,4n2－1)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1)))
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,nn＋1n＋2)))
eq \f(1,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,nn＋1)－\f(1,n＋1n＋2)))
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,\r(n)＋\r(n＋k))))
eq \f(1,\r(n)＋\r(n＋k))＝eq \f(1,k)(eq \r(n＋k)－eq \r(n))
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(lga\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,n)))))
a>0，a≠1
lgaeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,n)))＝lga(n＋1)－lgan