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高考数学考前回归课本知识技法精细过（十三）：概率与统计教案
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这是一份高考数学考前回归课本知识技法精细过（十三）：概率与统计教案，共11页。教案主要包含了必记4个知识点，必明3个易误点，技法等内容，欢迎下载使用。
第一节 随机事件的概率
一、必记4个知识点
1．随机事件和确定事件
(1)在条件S下，①____________的事件，叫做相对于条件S的必然事件，简称必然事件．
(2)在条件S下，②____________的事件，叫做相对于条件S的不可能事件，简称不可能事件．
(3)必然事件和不可能事件统称为相对于条件S的确定事件，简称确定事件．
(4)在条件S下，③________________________的事件，叫做相对于条件S的随机事件，简称随机事件．
2．频率与概率
(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例④____________为事件A出现的频率．
(2)对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的⑤________fn(A)稳定在某个⑥________上，把这个⑦________记作P(A)，称为事件A的概率，简称为A的概率．
3．事件的关系与运算
4.概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围：⑬____________.
(2)必然事件的概率P(E)＝⑭____________.
(3)不可能事件的概率P(F)＝⑮____________.
(4)互斥事件概率的加法公式．
①如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝⑯____________.
②若事件B与事件A互为对立事件，则P(A)＝⑰____________.
二、必明3个易误点
1．正确区别互斥事件与对立事件的关系：对立事件是互斥事件的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．
2．从集合的角度看，几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合彼此不相交，事件A的对立事件eq \(A,\s\up6(－))所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．
3．需准确理解题意，特留心“至多……”，“至少……”，“不少于……”等语句的含义．
三、技法
1. 互斥、对立事件的判别方法
(1)在一次试验中，不可能同时发生的两个事件为互斥事件．
(2)两个互斥事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件.
2. 计算简单随机事件频率或概率的解题思路
(1)计算所求随机事件出现的频数及总事件的频数．
(2)由频率公式得所求，由频率估计概率.
3. 求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：
一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率再求和；
二是间接法，先求该事件的对立事件的概率，再由P(A)＝1－P(eq \(A,\s\up6(－)))求解．当题目涉及“至多”、“至少”时，多考虑间接法.
参考答案
①一定会发生 ②一定不会发生 ③可能发生也可能不发生 ④fn(A)＝eq \f(nA,n)
⑤频率 ⑥常数 ⑦常数 ⑧包含 ⑨B⊇A ⑩并事件 ⑪事件A发生
⑫事件B ⑬0≤P(A)≤1 ⑭1 ⑮0 ⑯P(A)＋P(B) ⑰1－P(B)
第二节 古典概型
一、必记3个知识点
1．基本事件的特点
(1)任何两个基本事件是①________的．
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成②________的和．
2．古典概型
具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．
(1)试验中所有可能出现的基本事件③________.
(2)每个基本事件出现的可能性④________.
3．古典概型的概率公式
一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率为P(A)＝⑤________.
二、必明2个易误点
1．古典概型的重要思想是事件发生的等可能性，一定要注意在计算基本事件数和事件发生数时，他们是否是等可能的．
2．概率的一般加法公式：P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．
公式使用中要注意：(1)公式的作用是求A∪B的概率，当A∩B＝∅时，A、B互斥，此时P(A∩B)＝0，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；(2)要计算P(A∪B)，需要求P(A)、P(B)，更重要的是把握事件A∩B，并求其概率；(3)该公式可以看作一个方程，知三可求一．
三、技法
1. 基本事件个数的确定方法
(1)列举法：此法适合于基本事件较少的古典概型．
(2)列表法：此法适合于从多个元素中选定两个元素的试验，也可看成是坐标法.
2. 与平面几何有关概率的求法
(1)结合几何图形的结构特征，找到符合条件的基本事件总数．
(2)根据事件的几何特征求出其基本事件数．
(3)代入古典概型公式．
3．求较复杂事件的概率问题的方法
(1)将所求事件转化成彼此互斥的事件的和事件，再利用互斥事件的概率加法公式求解．
(2)先求其对立事件的概率，再利用对立事件的概率公式求解.
4. 解决与古典概型结合的问题时，把相关的知识转化为事件，列举基本事件，求出基本事件和随机事件的个数，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算.
参考答案
①互斥 ②基本事件 ③有限 ④相等 ⑤eq \f(m,n)
第三节 几何概型
一、必记2个知识点
1．几何概型
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的①________(②________或③________)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为④________.
2．在几何概型中，事件A的概率的计算公式如下：
P(A)＝⑤
________________________________________________________________________.
二、必明2个易误点
1．计算几何概型问题的关键是怎样把具体问题(如时间问题等)转化为相应类型的几何概型问题．
2．几何概型中，线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果．
三、技法
1. 解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围．当考察对象为点，点的活动范围在线段上时，用线段长度比计算；当考察对象为线时，一般用角度比计算，即当半径一定时，由于弧长之比等于其所对应的圆心角的度数之比，所以角度之比实际上是所对的弧长(曲线长)之比.
2. 与体积有关的几何概型
对于基本事件在空间的几何概型，要根据空间几何体的体积计算方法，把概率计算转化为空间几何体的体积计算.
3.几何概型与平面几何、解析几何等知识交汇问题的解题思路
利用平面几何、解析几何等相关知识，先确定基本事件对应区域的形状，再选择恰当的方法和公式，计算出其面积，进而代入公式求概率．
4．几何概型与线性规划交汇问题的解题思路
先根据约束条件作出可行域，再确定形状，求面积大小，进而代入公式求概率．
5．几何概型与定积分交汇问题的解题思路
先确定基本事件对应区域的形状构成，再将其面积转化为某定积分的计算，并求其大小，进而代入公式求概率.
参考答案
①长度 ②面积 ③体积 ④几何概型
⑤eq \f(构成事件A的区域长度面积或体积,试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积)
第四节 离散型随机变量及其分布列
一、必记3个知识点
1．离散型随机变量的分布列
如果随机试验的结果可以用一个①________来表示，那么这样的变量叫做随机变量；按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做②____________.
2．离散型随机变量的分布列及性质
(1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P＝(X＝xi)＝pi，则表
称为离散型随机变量X的③________________________，简称为X的④__________.有时为了表达简单，也用等式⑤__________表示X的分布列．
(2)离散型随机变量的分布列的性质
①pi≥0，i＝1,2，…，n；
②eq \i\su(i＝1,n,p)i＝1.
3．常见离散型随机变量的分布列
(1)两点分布：
若随机变量X服从两点分布，即其分布列为
，其中p＝⑥________称为成功概率．
(2)超几何分布列：
在含有M件次品数的N件产品中，任取n件，其中含有X件次品，则事件{X＝k}发生的概率为：P(X＝k)＝ (k＝0,1,2，…，m)，其中m＝⑦____________，且⑧____________________，则称分布列为超几何分布列．
二、必明2个易误点
1．分布列的结构为两行，第一行为随机变量X所有可能取得的值；第二行是对应于随机变量X的值的事件发生的概率．看每一列，实际上是：上为“事件”，下为事件发生的概率，只不过“事件”是用一个反映其结果的实数表示的．每完成一列，就相当于求一个随机事件发生的概率．
2．要会根据分布列的两个性质来检验求得的分布列的正误．
三、技法
1. 离散型随机变量分布列
(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数．
(2)求随机变量在某个范围内的概率时，根据分布列，将所求范围内各随机变量对应的概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式.
2. 离散型随机变量分布列的求解步骤
(1)明取值：明确随机变量的可能取值有哪些，且每一个取值所表示的意义．
(2)求概率：要弄清楚随机变量的概率类型，利用相关公式求出变量所对应的概率．
(3)画表格：按规范要求形式写出分布列．
(4)做检验：利用分布列的性质检验分布列是否正确．
提醒：求随机变量某一范围内取值的概率，要注意它在这个范围内的概率等于这个范围内各概率值的和.
3. 随机变量是否服从超几何分布的判断
(1)若随机变量X服从超几何分布，则满足如下条件：①该试验是不放回地抽取n个；②随机变量X表示抽取到的次品件数(或类似事件)，反之亦然．
(2)一般地，设有N件产品，其中次品和正品分别为M1件，M2件(M1，M2≤N)，从中任取n(n≤N)件产品，用X，Y分别表示取出的n件产品中次品和正品的件数，则随机变量X服从参数为N，M1，n的超几何分布，随机变量Y服从参数为N，M2，n的超几何分布．
4．求超几何分布的分布列的步骤
第一步，验证随机变量服从超几何分布，并确定参数N，M，n的值；
第二步，根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率；
第三步，用表格的形式列出分布列.
参考答案
①变量 ②离散型随机变量 ③概率分布列 ④分布列 ⑤P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n
⑥P(X＝1) ⑦min{M，n} ⑧n≤N，M≤N，n、M、N∈N*
第五节 二项分布、正态分布及其应用
一、必记3个知识点
1．条件概率的定义
设A，B为两个事件，且P(A)＞0，称P(B|A)＝①________为在事件A发生的条件下，事件B发生的概率．
2．条件概率的性质
(1)条件概率具有一般概率的性质，即0≤P(B|A)≤1；
(2)如果B，C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝②________＋P(C|A)．
3．相互独立事件的定义及性质
(1)定义：设A，B是两个事件，若P(AB)＝③________，则称事件A与事件B相互独立．
(2)性质：若事件A与B相互独立，那么A与eq \x\t(B)，eq \x\t(A)与B，eq \x\t(A)与eq \x\t(B)也都相互独立．
4．独立重复试验概率公式
在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验，若用Ai(i＝1,2，…，n)表示第i次试验结果，则P(A1A2A3…An)＝④____________________________.
5．二项分布的定义
在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝⑤____________，k＝0,1,2，…，n.此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(N，p)，并称p为成功概率．
6．正态曲线的定义
函数φμ，σ(x)＝eq \f(1,\r(2π)σ)e－eq \f(x－μ2,2a2)，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ(σ>0)为参数，称φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．
7．正态分布的定义及表示
如果对于任何实数a，b(a8．正态曲线的特点
(1)曲线位于x轴的上方，与x轴不相交；
(2)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；
(3)曲线在x＝μ处达到峰值eq \f(1,σ\r(2π))；
(4)曲线与x轴之间的面积为1；
(5)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿着x轴平移；
(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．
9．3σ原则
(1)P(μ－σ(2)P(μ－2σ(3)P(μ－3σ二、必明2个易误点
1．独立重复试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中某事件发生的概率相等．注意恰好与至多(少)的关系，灵活运用对立事件．
2．二项分布要注意确定成功概率．
三、技法
1. 条件概率的2种求法
(1)定义法
先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)，求P(B|A)．
(2)基本事件法
当基本事件适合有限性和等可能性时，可借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数n(AB)，得
P(B|A)＝eq \f(nAB,nA).
2. 求相互独立事件同时发生的概率的方法
(1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解．
(2)正面计算较繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或难以入手时，可从其对立事件入手计算．
(3)独立重复试验是相互独立事件的特例(概率公式也是如此)，就像对立事件是互斥事件的特例一样，只要有“恰好”字样的用独立重复试验的概率公式计算更简单，就像有“至少”或“至多”字样的题用对立事件的概率公式计算更简单一样.
3. 独立重复实验与二项分布
= 1 \* GB2 ⑴独立重复试验是在同样的条件下重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验．在这种试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的．
= 2 \* GB2 ⑵二项分布满足的条件：①每次试验中，事件发生的概率是相同的；②各次试验中的事件是相互独立的．③每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生．④随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数.
参考答案
①eq \f(PAB,PA) ②P(B|A) ③P(A)P(B) ④P(A1)P(A2)P(A3)…P(An) ⑤Ceq \\al(k,n)pk(1－p)n－k
第六节 离散型随机变量的均值与方差
一、必记6个知识点
1．离散型随机变量X的分布列
2.离散型随机变量X的均值与方差
3.均值与方差的性质
(1)E(aX＋b)＝⑤____________________(a，b为常数)．
(2)D(aX＋b)＝⑥____________________(a，b为常数)．
4．两点分布的均值与方差
若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝⑦________.
5．二项分布的均值与方差
若随机变量X服从参数为n，p的二项分布，即X～B(n，p)，则E(X)＝⑧________，D(X)＝⑨________.
6．两个常用结论
(1)均值与方差的关系
D(X)＝E(X2)－E2(X)．
(2)超几何分布的均值
若X服从参数为N，M，n的超几何分布，则E(X)＝eq \f(nM,N).
二、必明2个易误点
1．两点分布，二项分布，超几何分布的均值与方差的计算公式容易记混淆，准确记忆公式是解题的必要条件．
2．在实际问题中注意深刻理解题意，准确判断实际问题是何种类型的分布是解题的关键．
三、技法
1. 求离散型随机变量均值的方法步骤
(1)理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值；
(2)求ξ取每个值的概率；
(3)写出ξ的分布列；
(4)由均值的定义求E(ξ).
2. 解决二项分布的分布列问题一般遵循以下三个步骤
第一步，先判断随机变量是否服从二项分布，即若满足：①对立性：一次试验中只有两种结果“成功”和“不成功”，而且有且仅有一个发生；②重复性：试验在相同条件下独立重复地进行n次，保证每一次试验中成功的概率和不成功的概率都保持不变，则该随机变量服从二项分布，否则不服从二项分布．
第二步，若该随机变量服从二项分布，还需要通过古典概型或相互独立事件的概率计算公式计算出试验中“成功”“不成功”的概率分别是多少．
第三步，根据二项分布的分布列P(X＝k)＝Ceq \\al(k,n)pk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)列出相应的分布列.
3. 均值与方差的实际应用
利用随机变量的期望与方差可以帮助我们作出科学的决策，其中随机变量X的期望的意义在于描述随机变量的平均水平，而方差则描述了随机变量稳定与波动或集中与分散的状况．品种的优劣、仪器的好坏、预报的准确与否、机器的性能好坏等很多指标都与这两个特征量有关．
(1)若我们希望实际的平均水平较理想时，则先求随机变量X1，X2的期望，当E(X1)＝E(X2)时，不应误认为它们一样好，需要用D(X1)，D(X2)来比较这两个随机变量的偏离程度，稳定者就更好．
(2)若我们希望比较稳定时，应先考虑方差，再考虑均值是否相等或者接近．
(3)若没有对平均水平或者稳定性有明确要求时，一般先计算期望，若相等，则由方差确定哪一个更好．若E(X1)与E(X2)比较接近，且期望较大者(此时期望表示较好的方面，如利润、产量)的方差较小，显然该变量更好；若E(X1)与E(X2)比较接近且方差相差不大时，应根据不同选择给出不同的结论，即是选择较理想的平均水平还是选择较稳定的.
参考答案
①x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn ②eq \i\su(i＝1,n, )(xi－E(X))2pi ③平均水平
④平均偏离程度 ⑤aE(X)＋b ⑥a2D(X) ⑦p(1－p) ⑧np ⑨np(1－p)
定义
符号表示
包含关系
如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B⑧____事件A(或称事件A包含于事件B)
⑨______(或A⊆B)
并事件
(和事件)
若某事件发生当且仅当A发生或事件B发生，称此事件为事件A与事件B的eq \(○,\s\up1(10))______(或和事件)
A∪B(或A＋B)
交事件
(积事件)
若某事件发生当且仅当⑪____________且⑫______发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件
A∩B(或AB)
互斥事件
若A∩B为不可能事件，则事件A与事件B互斥
A∩B＝∅
对立事件
若A∩B为不可能事件，A∪B为必然条件，那么称事件A与事件B互为对立事件
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
X
0
1
P
1－p
p
X
0
1
…
m
P
eq \f(C\\al(1,M)C\\al(n－1,N－M),C\\al(n,N))
…
eq \f(C\\al(m,M)C\\al(n－m,N－M),C\\al(n,N))
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
均值(数学期望)
方差
计算
公式
E(X)＝①___________________________
D(X)＝②____________________________
作用
反映了离散型随机变量取值的③________________
刻画了随机变量X与其均值E(X)的④________
标准
差
方差的算术平方根eq \r(DX)为随机变量X的标准差
第一节 随机事件的概率
一、必记4个知识点
1．随机事件和确定事件
(1)在条件S下，①____________的事件，叫做相对于条件S的必然事件，简称必然事件．
(2)在条件S下，②____________的事件，叫做相对于条件S的不可能事件，简称不可能事件．
(3)必然事件和不可能事件统称为相对于条件S的确定事件，简称确定事件．
(4)在条件S下，③________________________的事件，叫做相对于条件S的随机事件，简称随机事件．
2．频率与概率
(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例④____________为事件A出现的频率．
(2)对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的⑤________fn(A)稳定在某个⑥________上，把这个⑦________记作P(A)，称为事件A的概率，简称为A的概率．
3．事件的关系与运算
4.概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围：⑬____________.
(2)必然事件的概率P(E)＝⑭____________.
(3)不可能事件的概率P(F)＝⑮____________.
(4)互斥事件概率的加法公式．
①如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝⑯____________.
②若事件B与事件A互为对立事件，则P(A)＝⑰____________.
二、必明3个易误点
1．正确区别互斥事件与对立事件的关系：对立事件是互斥事件的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．
2．从集合的角度看，几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合彼此不相交，事件A的对立事件eq \(A,\s\up6(－))所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．
3．需准确理解题意，特留心“至多……”，“至少……”，“不少于……”等语句的含义．
三、技法
1. 互斥、对立事件的判别方法
(1)在一次试验中，不可能同时发生的两个事件为互斥事件．
(2)两个互斥事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件.
2. 计算简单随机事件频率或概率的解题思路
(1)计算所求随机事件出现的频数及总事件的频数．
(2)由频率公式得所求，由频率估计概率.
3. 求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：
一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率再求和；
二是间接法，先求该事件的对立事件的概率，再由P(A)＝1－P(eq \(A,\s\up6(－)))求解．当题目涉及“至多”、“至少”时，多考虑间接法.
参考答案
①一定会发生 ②一定不会发生 ③可能发生也可能不发生 ④fn(A)＝eq \f(nA,n)
⑤频率 ⑥常数 ⑦常数 ⑧包含 ⑨B⊇A ⑩并事件 ⑪事件A发生
⑫事件B ⑬0≤P(A)≤1 ⑭1 ⑮0 ⑯P(A)＋P(B) ⑰1－P(B)
第二节 古典概型
一、必记3个知识点
1．基本事件的特点
(1)任何两个基本事件是①________的．
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成②________的和．
2．古典概型
具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．
(1)试验中所有可能出现的基本事件③________.
(2)每个基本事件出现的可能性④________.
3．古典概型的概率公式
一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率为P(A)＝⑤________.
二、必明2个易误点
1．古典概型的重要思想是事件发生的等可能性，一定要注意在计算基本事件数和事件发生数时，他们是否是等可能的．
2．概率的一般加法公式：P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．
公式使用中要注意：(1)公式的作用是求A∪B的概率，当A∩B＝∅时，A、B互斥，此时P(A∩B)＝0，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；(2)要计算P(A∪B)，需要求P(A)、P(B)，更重要的是把握事件A∩B，并求其概率；(3)该公式可以看作一个方程，知三可求一．
三、技法
1. 基本事件个数的确定方法
(1)列举法：此法适合于基本事件较少的古典概型．
(2)列表法：此法适合于从多个元素中选定两个元素的试验，也可看成是坐标法.
2. 与平面几何有关概率的求法
(1)结合几何图形的结构特征，找到符合条件的基本事件总数．
(2)根据事件的几何特征求出其基本事件数．
(3)代入古典概型公式．
3．求较复杂事件的概率问题的方法
(1)将所求事件转化成彼此互斥的事件的和事件，再利用互斥事件的概率加法公式求解．
(2)先求其对立事件的概率，再利用对立事件的概率公式求解.
4. 解决与古典概型结合的问题时，把相关的知识转化为事件，列举基本事件，求出基本事件和随机事件的个数，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算.
参考答案
①互斥 ②基本事件 ③有限 ④相等 ⑤eq \f(m,n)
第三节 几何概型
一、必记2个知识点
1．几何概型
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的①________(②________或③________)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为④________.
2．在几何概型中，事件A的概率的计算公式如下：
P(A)＝⑤
________________________________________________________________________.
二、必明2个易误点
1．计算几何概型问题的关键是怎样把具体问题(如时间问题等)转化为相应类型的几何概型问题．
2．几何概型中，线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果．
三、技法
1. 解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围．当考察对象为点，点的活动范围在线段上时，用线段长度比计算；当考察对象为线时，一般用角度比计算，即当半径一定时，由于弧长之比等于其所对应的圆心角的度数之比，所以角度之比实际上是所对的弧长(曲线长)之比.
2. 与体积有关的几何概型
对于基本事件在空间的几何概型，要根据空间几何体的体积计算方法，把概率计算转化为空间几何体的体积计算.
3.几何概型与平面几何、解析几何等知识交汇问题的解题思路
利用平面几何、解析几何等相关知识，先确定基本事件对应区域的形状，再选择恰当的方法和公式，计算出其面积，进而代入公式求概率．
4．几何概型与线性规划交汇问题的解题思路
先根据约束条件作出可行域，再确定形状，求面积大小，进而代入公式求概率．
5．几何概型与定积分交汇问题的解题思路
先确定基本事件对应区域的形状构成，再将其面积转化为某定积分的计算，并求其大小，进而代入公式求概率.
参考答案
①长度 ②面积 ③体积 ④几何概型
⑤eq \f(构成事件A的区域长度面积或体积,试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积)
第四节 离散型随机变量及其分布列
一、必记3个知识点
1．离散型随机变量的分布列
如果随机试验的结果可以用一个①________来表示，那么这样的变量叫做随机变量；按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做②____________.
2．离散型随机变量的分布列及性质
(1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P＝(X＝xi)＝pi，则表
称为离散型随机变量X的③________________________，简称为X的④__________.有时为了表达简单，也用等式⑤__________表示X的分布列．
(2)离散型随机变量的分布列的性质
①pi≥0，i＝1,2，…，n；
②eq \i\su(i＝1,n,p)i＝1.
3．常见离散型随机变量的分布列
(1)两点分布：
若随机变量X服从两点分布，即其分布列为
，其中p＝⑥________称为成功概率．
(2)超几何分布列：
在含有M件次品数的N件产品中，任取n件，其中含有X件次品，则事件{X＝k}发生的概率为：P(X＝k)＝ (k＝0,1,2，…，m)，其中m＝⑦____________，且⑧____________________，则称分布列为超几何分布列．
二、必明2个易误点
1．分布列的结构为两行，第一行为随机变量X所有可能取得的值；第二行是对应于随机变量X的值的事件发生的概率．看每一列，实际上是：上为“事件”，下为事件发生的概率，只不过“事件”是用一个反映其结果的实数表示的．每完成一列，就相当于求一个随机事件发生的概率．
2．要会根据分布列的两个性质来检验求得的分布列的正误．
三、技法
1. 离散型随机变量分布列
(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数．
(2)求随机变量在某个范围内的概率时，根据分布列，将所求范围内各随机变量对应的概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式.
2. 离散型随机变量分布列的求解步骤
(1)明取值：明确随机变量的可能取值有哪些，且每一个取值所表示的意义．
(2)求概率：要弄清楚随机变量的概率类型，利用相关公式求出变量所对应的概率．
(3)画表格：按规范要求形式写出分布列．
(4)做检验：利用分布列的性质检验分布列是否正确．
提醒：求随机变量某一范围内取值的概率，要注意它在这个范围内的概率等于这个范围内各概率值的和.
3. 随机变量是否服从超几何分布的判断
(1)若随机变量X服从超几何分布，则满足如下条件：①该试验是不放回地抽取n个；②随机变量X表示抽取到的次品件数(或类似事件)，反之亦然．
(2)一般地，设有N件产品，其中次品和正品分别为M1件，M2件(M1，M2≤N)，从中任取n(n≤N)件产品，用X，Y分别表示取出的n件产品中次品和正品的件数，则随机变量X服从参数为N，M1，n的超几何分布，随机变量Y服从参数为N，M2，n的超几何分布．
4．求超几何分布的分布列的步骤
第一步，验证随机变量服从超几何分布，并确定参数N，M，n的值；
第二步，根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率；
第三步，用表格的形式列出分布列.
参考答案
①变量 ②离散型随机变量 ③概率分布列 ④分布列 ⑤P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n
⑥P(X＝1) ⑦min{M，n} ⑧n≤N，M≤N，n、M、N∈N*
第五节 二项分布、正态分布及其应用
一、必记3个知识点
1．条件概率的定义
设A，B为两个事件，且P(A)＞0，称P(B|A)＝①________为在事件A发生的条件下，事件B发生的概率．
2．条件概率的性质
(1)条件概率具有一般概率的性质，即0≤P(B|A)≤1；
(2)如果B，C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝②________＋P(C|A)．
3．相互独立事件的定义及性质
(1)定义：设A，B是两个事件，若P(AB)＝③________，则称事件A与事件B相互独立．
(2)性质：若事件A与B相互独立，那么A与eq \x\t(B)，eq \x\t(A)与B，eq \x\t(A)与eq \x\t(B)也都相互独立．
4．独立重复试验概率公式
在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验，若用Ai(i＝1,2，…，n)表示第i次试验结果，则P(A1A2A3…An)＝④____________________________.
5．二项分布的定义
在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝⑤____________，k＝0,1,2，…，n.此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(N，p)，并称p为成功概率．
6．正态曲线的定义
函数φμ，σ(x)＝eq \f(1,\r(2π)σ)e－eq \f(x－μ2,2a2)，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ(σ>0)为参数，称φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．
7．正态分布的定义及表示
如果对于任何实数a，b(a
(1)曲线位于x轴的上方，与x轴不相交；
(2)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；
(3)曲线在x＝μ处达到峰值eq \f(1,σ\r(2π))；
(4)曲线与x轴之间的面积为1；
(5)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿着x轴平移；
(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．
9．3σ原则
(1)P(μ－σ
1．独立重复试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中某事件发生的概率相等．注意恰好与至多(少)的关系，灵活运用对立事件．
2．二项分布要注意确定成功概率．
三、技法
1. 条件概率的2种求法
(1)定义法
先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)，求P(B|A)．
(2)基本事件法
当基本事件适合有限性和等可能性时，可借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数n(AB)，得
P(B|A)＝eq \f(nAB,nA).
2. 求相互独立事件同时发生的概率的方法
(1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解．
(2)正面计算较繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或难以入手时，可从其对立事件入手计算．
(3)独立重复试验是相互独立事件的特例(概率公式也是如此)，就像对立事件是互斥事件的特例一样，只要有“恰好”字样的用独立重复试验的概率公式计算更简单，就像有“至少”或“至多”字样的题用对立事件的概率公式计算更简单一样.
3. 独立重复实验与二项分布
= 1 \* GB2 ⑴独立重复试验是在同样的条件下重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验．在这种试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的．
= 2 \* GB2 ⑵二项分布满足的条件：①每次试验中，事件发生的概率是相同的；②各次试验中的事件是相互独立的．③每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生．④随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数.
参考答案
①eq \f(PAB,PA) ②P(B|A) ③P(A)P(B) ④P(A1)P(A2)P(A3)…P(An) ⑤Ceq \\al(k,n)pk(1－p)n－k
第六节 离散型随机变量的均值与方差
一、必记6个知识点
1．离散型随机变量X的分布列
2.离散型随机变量X的均值与方差
3.均值与方差的性质
(1)E(aX＋b)＝⑤____________________(a，b为常数)．
(2)D(aX＋b)＝⑥____________________(a，b为常数)．
4．两点分布的均值与方差
若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝⑦________.
5．二项分布的均值与方差
若随机变量X服从参数为n，p的二项分布，即X～B(n，p)，则E(X)＝⑧________，D(X)＝⑨________.
6．两个常用结论
(1)均值与方差的关系
D(X)＝E(X2)－E2(X)．
(2)超几何分布的均值
若X服从参数为N，M，n的超几何分布，则E(X)＝eq \f(nM,N).
二、必明2个易误点
1．两点分布，二项分布，超几何分布的均值与方差的计算公式容易记混淆，准确记忆公式是解题的必要条件．
2．在实际问题中注意深刻理解题意，准确判断实际问题是何种类型的分布是解题的关键．
三、技法
1. 求离散型随机变量均值的方法步骤
(1)理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值；
(2)求ξ取每个值的概率；
(3)写出ξ的分布列；
(4)由均值的定义求E(ξ).
2. 解决二项分布的分布列问题一般遵循以下三个步骤
第一步，先判断随机变量是否服从二项分布，即若满足：①对立性：一次试验中只有两种结果“成功”和“不成功”，而且有且仅有一个发生；②重复性：试验在相同条件下独立重复地进行n次，保证每一次试验中成功的概率和不成功的概率都保持不变，则该随机变量服从二项分布，否则不服从二项分布．
第二步，若该随机变量服从二项分布，还需要通过古典概型或相互独立事件的概率计算公式计算出试验中“成功”“不成功”的概率分别是多少．
第三步，根据二项分布的分布列P(X＝k)＝Ceq \\al(k,n)pk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)列出相应的分布列.
3. 均值与方差的实际应用
利用随机变量的期望与方差可以帮助我们作出科学的决策，其中随机变量X的期望的意义在于描述随机变量的平均水平，而方差则描述了随机变量稳定与波动或集中与分散的状况．品种的优劣、仪器的好坏、预报的准确与否、机器的性能好坏等很多指标都与这两个特征量有关．
(1)若我们希望实际的平均水平较理想时，则先求随机变量X1，X2的期望，当E(X1)＝E(X2)时，不应误认为它们一样好，需要用D(X1)，D(X2)来比较这两个随机变量的偏离程度，稳定者就更好．
(2)若我们希望比较稳定时，应先考虑方差，再考虑均值是否相等或者接近．
(3)若没有对平均水平或者稳定性有明确要求时，一般先计算期望，若相等，则由方差确定哪一个更好．若E(X1)与E(X2)比较接近，且期望较大者(此时期望表示较好的方面，如利润、产量)的方差较小，显然该变量更好；若E(X1)与E(X2)比较接近且方差相差不大时，应根据不同选择给出不同的结论，即是选择较理想的平均水平还是选择较稳定的.
参考答案
①x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn ②eq \i\su(i＝1,n, )(xi－E(X))2pi ③平均水平
④平均偏离程度 ⑤aE(X)＋b ⑥a2D(X) ⑦p(1－p) ⑧np ⑨np(1－p)
定义
符号表示
包含关系
如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B⑧____事件A(或称事件A包含于事件B)
⑨______(或A⊆B)
并事件
(和事件)
若某事件发生当且仅当A发生或事件B发生，称此事件为事件A与事件B的eq \(○,\s\up1(10))______(或和事件)
A∪B(或A＋B)
交事件
(积事件)
若某事件发生当且仅当⑪____________且⑫______发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件
A∩B(或AB)
互斥事件
若A∩B为不可能事件，则事件A与事件B互斥
A∩B＝∅
对立事件
若A∩B为不可能事件，A∪B为必然条件，那么称事件A与事件B互为对立事件
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
X
0
1
P
1－p
p
X
0
1
…
m
P
eq \f(C\\al(1,M)C\\al(n－1,N－M),C\\al(n,N))
…
eq \f(C\\al(m,M)C\\al(n－m,N－M),C\\al(n,N))
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
均值(数学期望)
方差
计算
公式
E(X)＝①___________________________
D(X)＝②____________________________
作用
反映了离散型随机变量取值的③________________
刻画了随机变量X与其均值E(X)的④________
标准
差
方差的算术平方根eq \r(DX)为随机变量X的标准差
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