专题2.9 整式的加减运算中的解题技巧（知识讲解）-2021-2022学年七年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

专题2.9 整式的加减运算中的解题技巧（知识讲解）

整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程(组)、几何解证等方面都有广泛的应用，整体代入、叠加叠乘处理、整体运算、整体设元、整体处理、几何中的补形等都是整体思想方法在解数学问题中的具体运用。整体思想，方程思想及例题含答案

“无关”问题往往就是其同类项合并后系数和为0，就是把无关的问题转成成同类项系数问题，而“看错”问题往往抓信其不变项进行解题。

类型一、整体思想 

例题1：我们知道，，类似地，若我们把看成一个整体，则．这种解决问题的方法渗透了数学中的“整体思想”，“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，其应用极为广泛．请运用“整体思想”解答下面的问题：

（1）把看成一个整体，计算的结果是（    ）．

A．            B．       

C．         D．

（2）已知，求代数式的值；

（3）已知，，，求的值．

解析：（I）利用“整体思想”进行合并同类项即可；

（2）先对所求的代数式进行变形，然后再整体代入即可解答；

（3）先将原式化成含有a-2b、2b-c 、c-d的形式，然后再将a-2b=3，2b-c=-5，c-d=10整体代入计算即可．

 解：（1）3（a-b）2-7（a-b）2+2（a-b）2

=（3-7+2）（a-b）2

=-2（a-b）2，

故答案为C；

（2）∵，

∴原式；

（3）∵，，，

∴原式

．

【点拨】本题主要考查了代数式求值和整式的加减运算，掌握整体思想成为解答本题的关键．

举一反三：

【变式1】已知a2＋a－1＝0，求代数式a3＋2a2＋2017的值．

【解析】先求出a2+a，然后代入所求代数式进行计算即可得解．

解：∵a2＋a＝1，

∴a3＋2a2＋2017＝a3＋a2＋a2＋2017

＝a(a2＋a)＋a2＋2017

＝a＋a2＋2017

＝1＋2017

＝2018.

【点拨】本题考查了代数式求值，整体思想的利用是解题的关键．

【变式2】计算下列各式．

（1）若，求代数式的值．

（2）若，求代数式的值．

（3）若，求代数式的值．

【解析】（1）由得，，，代入=中，化简可得；

（2）由得到，再将化简为，将代入，逐步计算即可；

（3）由得到，由得到，代入中计算即可．

 解：（1）∵，

∴，，，

∴

=

=

=

=-3

（2）∵，

∴，

∴

=

=

=2021；

（3）∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴===1．

【点拨】本题考查了代数式求值，解题的关键是能够根据已知等式，将所求代数式进行合理变化，再代入计算．

类型一、“看错”问题

例题2：某学生由于看错了运算符号，把一个整式A减去多项式ab-2bc+3ac误认为加上这个多项式，结果得出的答案是2bc-3ac+2ab．

（1）求整式A；

（2）求原题的正确答案．

【解析】（1）根据和减去一个加数求出A即可；
（2）列出正确的算式，去括号合并同类项计算即可．

解：（1）由题意可得

A= 2bc-3ac+2ab-（ab-2bc+3ac）

 =2bc-3ac+2ab-ab+2bc-3ac

= ab+4bc-6ac

（2）ab+4bc-6ac-（ab-2bc+3ac）

= ab+4bc-6ac-ab+2bc-3ac

=6bc-9ac

【点拨】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

【变式1】已知整式，，若的值与无关，求的值.

【分析】把A与B代入2A-B中，去括号合并得到最简结果，由A-2B结果与x值无关，确定出y的值即可．

解：

=

=

=

因为的值与无关，则，

所以.

【点拨】此题考查了整式的加减-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

【变式2】已知整式，整式M与整式N之差是．

（1）求出整式N；

（2）若a是常数，且的值与x无关，求a的值．

【解析】（1）根据题意，可得N=（x2+5ax-3x-1）-（3x2+4ax-x），去括号合并即可；

（2）把M与N代入2M+N，去括号合并得到最简结果，由结果与x值无关，求出a的值即可．

解：（1）N=（x2+5ax-3x-1）-（3x2+4ax-x）

=x2+5ax-3x-1-3x2-4ax+x

=-2x2+ax-2x-1；

（2）∵M=x2+5ax-3x-1，N=-2x2+ax-2x-1，

∴2M+N=2（x2+5ax-3x-1）+（-2x2+ax-2x-1）

=2x2+10ax-6x-2-2x2+ax-2x-1

=（11a-8）x-3，

由结果与x值无关，得到11a-8=0，

解得：a=．

【点拨】此题考查了整式的加减，熟练掌握去括号与合并同类项法则是解本题的关键．

类型三、“无关”问题

例题3：（1）一天数学老师布置了一道数学题：已知x=2017，求整式的值，小明观察后提出：“已知x=2017是多余的”，你认为小明的说法有道理吗？请解释.

（2）已知整式，整式M与整式N之差是.

①求出整式N.

②若a是常数，且2M+N的值与x无关，求a的值.

【解析】（1）原式去括号合并同类项后得到最简结果，根据化简结果中不含x，得到x的值是多余的．

（2）①根据题意，可得N=（x2+5ax-3x-1）-（3x2+4ax-x），去括号合并即可；
②把M与N代入2M+N，去括号合并得到最简结果，由结果与x值无关，求出a的值即可．

解答：（1）小明说的有道理，理由如下：

   原式=x3-6x2-7x+8+x2+3x-2x3+3+x3+5x2+4x-1

 =（1-2+1）x3+（-6+1+5）x2+（-7+3+4）x+（8+3-1）

       =10，

 由此可知该整式的值与x的取值无关，所以小明说的有道理．

（2）①N=（x2+5ax-3x-1）-（3x2+4ax-x）

=x2+5ax-3x-1-3x2-4ax+x

=-2x2+ax-2x-1；

②∵M=x2+5ax-3x-1，N=-2x2+ax-2x-1，

∴2M+N=2（x2+5ax-3x-1）+（-2x2+ax-2x-1）

=2x2+10ax-6x-2-2x2+ax-2x-1

=（11a-8）x-3，

由结果与x值无关，得到11a-8=0，
解得：a=．

【点拨】此题考查了整式的加减，熟练掌握去括号与合并同类项法则是解本题的关键．

27．（1）试证明代数式的值与x的值无关，

（2）若的展开式中不含和的项，求m，n的值．

【解析】（1）原式利用多项式乘以多项式，单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，即可做出判断；

（2）先把原式展开，从中找出和项，再让它的系数为0，从而得到，的方程组，解方程组求解即可．

  解：（1）

，

代数式的值与无关；

（2）原式的展开式中，含的项是：，

含的项是：，

由题意得：，

解得．

【点拨】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．