高中数学人教版新课标A必修23.1 直线的倾斜角与斜率导学案

3. 2.1 直线的点斜式方程

【教学目标】

（1）理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围；

（2）能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程。

（3）体会直线的斜截式方程与一次函数的关系.

【教学重难点】

重点：直线的点斜式方程和斜截式方程。

难点：直线的点斜式方程和斜截式方程的应用。

【教学过程】

（一）情景导入、展示目标

1．情境1：过定点P（x0,y0）的直线有多少条？倾斜角为定值的直线有多少条？

学生思考、讨论。

(二)预习检查、交流展示

检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。

（三）合作探究、精讲精炼。

问题1：确定一条直线需要几个独立的条件？

学生可能的回答：

（1）两个点P1（x1，y1），P2（x2，y2）；

   （2）一个点和直线的斜率（可能有学生回答倾斜角）；

   （3）斜率和直线在y轴上的截距（说明斜率存在）；

   （4）直线在x轴和y轴上的截距（学生没有学过直线在x轴上的截距，可类比，同时强调截距均不能为0）。

问题2：给出两个独立的条件，例如：一个点P1（2，4）和斜率k=2就能决定一条直线l。

（1）你能在直线l上再找一点，并写出它的坐标吗？你是如何找的？

（2）这条直线上的任意一点P（x，y）的坐标x，y满足什么特征呢？

直线上的任意一点P(x,y)（除P1点外）和P1(x1，y1)的连线的斜率是一个不变量，即为k，即：k＝， 即y - y1= k (x - x1)学生在讨论的过程中：（1） 强调P（x，y）的任意性。（2） 不直接提出直线方程的概念，而用一种通俗的，学生易于理解的语言先求出方程，可能学生更容易接受，也更愿意参与。

问题3：（1）P1（x1，y1）的坐标满足方程吗？

   （2）直线上任意一点的坐标与此方程有什么关系？

    教师指出，直线上任意一点的坐标都是这个方程的解；反过来，以这个方程的解为坐标的点都在此直线上。

让学生感受直线的方程和方程的直线的意义。

如此，我们得到了关于x，y的一个二元一次方程。这个方程由直线上一点和直线的斜率确定，今后称其为直线的点斜式方程。

设点P（x，y）是直线l上不同于P1的任意一点根据经过两点的直线斜率

公式，得

由直线上一点和直线的斜率确定的直线方程，叫直线的点斜式方程。

讨论: 直线的点斜式方程能否表示平面上的所有直线?

(引导学生从斜率的角度去考虑)

结论:不能表示垂直于轴的直线.

（1）轴所在直线的方程是什么？轴所在直线的方程是什么？

（2）经过点且平行于轴（即垂直于轴）的直线方程是什么？

（3）经过点且平行于轴（即垂直于轴）的直线方程是什么？

①当直线的倾斜角为0°时，tan0°＝0，即k＝0，这时直线与x轴平行或重合，直线l的方程就是y－y0＝0或y＝y0

②当直线l的倾斜角为90°时，直线没有斜率，这时直线l与y轴平行或重合，它的方程不能用点斜式表示，这时直线上每一点的横坐标都等于x0，所以它的方程为x－x0＝0或x＝x0

例1．一条直线经过点P1（-2，3），斜率为2，求这条直线的方程。

分析：应用点斜式方程

解：由直线的点斜式方程得y-3=2(x+2)，即2x-y+7=0.

点评：寻找点斜式的条件，然后直接用

变式1：在例1中，若将“斜率为2”改为“倾斜角为45o”，求这条直线的方程；

变式2：在例1中，若将直线的倾斜角改为90o，这条直线的方程是什么？

例2．已知直线l的斜率为k，与y轴的交点是P（0，b），求直线l的方程。

分析：同例1，直接用

解：根据直线的点斜式方程，得直线l的方程为y-b=k(x-0)，即y=kx+b.

点评：介绍截距和斜截式方程的概念。

由点斜式方程可知,若直线过点且斜率为,则直线的方程为:

方程称为直线的斜截式方程.简称斜截式.其中为直线在轴上的截距.

变式：（1）斜率是5，在y轴上的截距是4的直线方程。

解：由已知得k =5，   b=  4，代入斜截式方程

y= 5x  +   4

2．思考

情境2：P76，用计算机在同一直角坐标系中分别作出直线y=2，y=x+2，y= -x+2，y=3x+2，y= -3x+2的图象。

问题4：直线y=kx+2有什么特点？

学生观察、归纳、发现：直线y=kx+2过定点（0，2），随着k的变化，直线绕点（0，2）作旋转运动。

用几何画板演示。

情境3：用计算机在同一直角坐标系中分别作出直线y=2 x，y=2x+1，y=2x-2，y=2x+4，y=-2x-4的图象.

问题5：直线y=2x+b有什么特点？

学生观察、归纳、发现：直线y=2x+b的方向不变，随着b的变化，直线作平行移动。

用几何画板演示。

（四）反馈测试

导学案当堂检测

㈤总结反思、共同提高

我们已经学习了直线的点斜式方程，记住它的使用条件。那么，直线方程还有其他形式吗？在下一节课我们一起学习直线方程的其他形式。这节课后大家可以先预习这一部分，并完成本节的课后练习及课后延伸拓展作业。

【板书设计】

一、直线的点斜式方程

二、探究3个问题

三、典例

例一

例二

（学生爬黑板展示变式—）

【作业布置】

    导学案课后练习与提高

3.2.1 直线的点斜式方程导学案

课前预习学案

一、          预习目标

通过预习同学们知道点斜式从斜率公式上进行一般化，变形，得到点斜式方程。什么是截距以及直线的斜截式方程。

二、          预习内容 

1、过定点P（x0,y0）的直线有多少条？倾斜角为定值的直线有多少条？

2、确定一条直线需要几个独立的条件？

学生回答：

3、给出两个独立的条件，例如：一个点P1（2，4）和斜率k=2就能决定一条直线l。

（1）你能在直线l上再找一点，并写出它的坐标吗？你是如何找的？

（2）这条直线上的任意一点P（x，y）的坐标x，y满足什么特征呢？

三、提出疑惑

课内探究学案

一、学习目标

（1）理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围；

（2）能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程。

（3）体会直线的斜截式方程与一次函数的关系.

学习重点：直线的点斜式方程和斜截式方程。

学习难点：直线的点斜式方程和斜截式方程的应用。

二、学习过程（自主学习、合作探究、精讲点拨、有效训练）

问题：（1）P1（x1，y1）的坐标满足方程吗？

  （2）直线上任意一点的坐标与此方程有什么关系？

讨论: 直线的点斜式方程能否表示平面上的所有直线?

(引导学生从斜率的角度去考虑)

结论:

（1）轴所在直线的方程是什么？轴所在直线的方程是什么？

（2）经过点且平行于轴（即垂直于轴）的直线方程是什么？

（3）经过点且平行于轴（即垂直于轴）的直线方程是什么？

例1．一条直线经过点P1（-2，3），斜率为2，求这条直线的方程。

解：由直线的点斜式方程得y-3=2(x+2)，即2x-y+7=0.

变1：在例1中，若将“斜率为2”改为“倾斜角为45o”，求这条直线的方程；

变2：在例1中，若将直线的倾斜角改为90o，这条直线的方程是什么？

例2．已知直线l的斜率为k，与y轴的交点是P（0，b），求直线l的方程。

解：

变式：（1）斜率是5，在y轴上的截距是4的直线方程。

解：

2．思考

情境2：P76，用计算机在同一直角坐标系中分别作出直线y=2，y=x+2，y= -x+2，y=3x+2，y= -3x+2的图象。

问题4：直线y=kx+2有什么特点？

用几何画板演示。

情境3：用计算机在同一直角坐标系中分别作出直线y=2 x，y=2x+1，y=2x-2，y=2x+4，y=-2x-4的图象.

问题5：直线y=2x+b有什么特点？

反思总结

直线的点斜式的所需要的条件，和坐标轴垂直的直线方程是什么。

经过特殊化后得到斜截式，它的几何意义是什么。什么是截距。

当堂检测

1已知直线经过点,斜率为,求直线的点斜式和斜截式.

2方程表示过点、斜率是、倾斜角是、在y轴上的截距是的直线。

3已知直线的点斜式方程是y＋2=(x＋1)，那么此直线经过定点_______，直线的斜率

是______，倾斜角是_______.

课后练习与提高（视学生学习情况添加）

1经过点（-      ，2）倾斜角是30度的直线的方程是

        （A）y＋      =      （ x－2）     （B）y+2=     （x－     ）

        （C）y－2=      （x＋     ）（D）y－2=   （x＋    ）

     2已知直线方程y－3=     （x－4），则这条直线经过的已知

       点，倾斜角分别是

         （A）（4，3）；π/ 3          （B）（－3，－4）；π/ 6

         （C）（4，3）；π/ 6           （D）（－4，－3）；π/ 3

    3直线方程可表示成点斜式方程的条件是

         （A）直线的斜率存在           （B）直线的斜率不存在

         （C）直线不过原点                （D）不同于上述答案

4直线l经过点P0(－2, 3)，且倾斜角＝45º，求直线l的点斜式方程，并画出直线l.

5.已知直线的点斜式方程是y－2=x－1，那么直线的斜率是_____，倾斜角是_____，

此直线必过定点______；

6已知直线的方程为,求过点且垂直于的直线方程.