高中数学人教版新课标A必修23.1 直线的倾斜角与斜率导学案

3. 1.1 直线的倾斜角与斜率

【学习目标 】

1．理解直线的倾斜角的定义、范围和斜率； 

2．掌握过两点的直线斜率的计算公式； 

3．能用公式和概念解决问题. 

【教学重难点】

重点：倾斜角与斜率的概念

难点：直线的斜率与倾斜角的关系

【教学过程】

一、课前准备

（预习教材 ~ ，找出疑惑之处）

复习 1：在直角坐标系中,只知道直线上的一点,能不 能确定一条直线呢? 

复习 2：在日常生活中,我们常说这个山坡很陡峭, 有时也说坡度,这里的陡峭和坡度说的是山坡与水平面之间的一个什么关系呢? 

二、新课导学

探究点一：①倾斜角的概念

当直线  与轴相交时，取轴作为基准， 轴正向与直线  向上方向之间所成的角 叫做直 线  的倾斜角（angle of    inclination）. 

发现：①直线向上方向；②x轴的正方向；③小于平角的正角. 

注意:当直线与轴平行或重合时,我们规定它的倾 斜角为 0 度.. 

思考：在日常生活中，我们经常用“升高量与前进量的比”表示“坡度”  ，则坡度的公式是怎样的？

②斜率与倾斜角的关系

一条直线的倾斜角  ( ) 的正切值叫做这条直线的斜率(slope).记为k=  tan     . 

试试：已知各直线倾斜角，则其斜率的值为

（1）=0°时，则         

（2）0°<< 90°,则         

（3）= 90°，,则         

（4）90 °<< 180°，则         

③ 已知直线上两点(,()的直线的斜率公式：

 .

探究任务二： 

1.已知直线上两点 运用上述公式计算直线的斜率时，与 A B 两点坐标的顺序有关吗？ 

2．当直线平行于 轴时，或与轴重合时，上述公式还需要适用吗？为什么？

三、典型例题分析

例1  已知直线的倾斜角，求直线的斜率：

⑴           ；

⑵          ；

⑶          

⑷          

解（略）

变式：已知直线的斜率，求其倾斜角. 

  （1）=0；   （2） = 1 ；（3）  = ； （4）不存在. 

解（略）

例2  求经过两点  (2,3), (4,7)  A B  的直线的斜率和倾斜角,并判断这条直线的倾斜角是锐角还是钝角.

解（略）

变式. 1 求经过下列两点直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角. 

（1）  A(2,3),B ( 1,4)   ； （2） A (5,0), B(4, 2)  .

解（略） 

   2．画出斜率为0,1, -1 且经过点(1,0)的直线. 

 3．判断  A( -2,12),B (1,3), C(4, -6)   三点的位置关系，并说明理由. 

解略

四、总结提升

1.任何一条直线都有唯一确定的倾斜角，直线斜角 的范围是[0,180°). 

2.直线斜率的求法：⑴利用倾斜角的正切来求；

⑵ 利用直线上两点(,的坐标来求；

（3）当直线的倾斜角  = 90°时，直线的斜率是不存在的.

3．直线倾斜角、斜率、斜率公式三者之间的关系：

五、当堂检测

1.  下列叙述中不正确的是（  ）. 

A．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应 

B．每一条直线都惟一对应一个倾斜角 

C．与坐标轴垂直的直线的倾斜角为0 °或90°

D．若直线的倾斜角为 ，则直线的斜率为tana 

2.  经过A  ( 2,0), B( 5,3) 两点的直线的倾斜角 （  ）. 

A．45° B．135° C．90 °D．60 °

3.  过点 P(－2,m)和Q(m,4)的直线的斜率等于 1，则 m 的值为(        ). 

A.1                B.4                C.1 或 3          D.1 或 4 

4.直线经过二、三、四象限，的倾斜角为 ，斜率为 ，则为     角；的取值范围         .  

5、已知直线  的倾斜角为 ，则  关于  轴对称 的直线的倾斜角 为________. 

【板书设计】

一、直线的倾斜角

二、直线的斜率

三、直线的倾斜角与斜率的关系

四、求直线的斜率

【作业布置】

课后巩固练习与提高

3.1.1 直线的倾斜角与斜率

课前预习学案

一、预习目标

（1）知道确定直线的要素

（2）知道直线倾斜角的定义

（3）知道直线的倾斜角与斜率的关系

二、预习内容

1、      在直角坐标系中,只知道直线上的一点,能不能确定一条直线呢？要想确定一条直线，的给出什么条件呢？

2、      通过咱们的预习，什么是直线的倾斜角？倾斜角的范围是什么？

3、      什么是直线的斜率？它与直线的倾斜角的关系是什么？

4、      如果知道了直线上的两个点，直线已经确定了，那么如何求直线的斜率？

5、练习：

①倾斜角为，求斜率         ②倾斜角为，求斜率

③直线过点（18， 8）（4， -4）求斜率④直线过点（0， 0）（-1， ）求斜率

课内探究学案

一．学习目标

1．理解直线的倾斜角的定义、范围和斜率； 

2．掌握过两点的直线斜率的计算公式； 

3．能用公式和概念解决问题. 

学习重点：倾斜角与斜率的概念

学习难点：直线的斜率与倾斜角的关系

二、学习过程

1、探究一：直线的倾斜角的定义及范围

（1）倾斜角的定义：

（2）倾斜角的范围：

（3）倾斜角与斜率的关系

例1已知直线的倾斜角，求直线的斜率：

(1)  ；(2) ；(3) ; (4)

变式：已知直线的斜率，求其倾斜角. 

（1）=0；  （2）= 1 ；  （3）= ； ⑷不存在. 

2、探究二：由直线上的两点求直线的斜率（阅读课本的推导过程）

思考：（1）已知直线上两点 运用上述公式计算直线的斜率时，与 A B 两点坐标的顺序有关吗？ 

（2）当直线平行于 轴时，或与轴重合时，上述公式还需要适用吗？为什么?

例2：求经过两点  (2,3), (4,7)  A B  的直线的斜率和倾斜角,并判断这条直线的倾斜角是锐角还是钝角.

变式：

1、求经过下列两点直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角. 

（1）  A(2,3),B ( 1,4)   ； （2） A (5,0), B(4, 2)  . 

    2．画出斜率为0,1, -1 且经过点(1,0)的直线. 

3．判断  A( -2,12),B (1,3), C(4, -6)   三点的位置关 系，并说明理由. 

3、当堂检测

（1）  下列叙述中不正确的是（  ）. 

A．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应 

B．每一条直线都惟一对应一个倾斜角 

C．与坐标轴垂直的直线的倾斜角为0 °或90°

D．若直线的倾斜角为 ，则直线的斜率为tana 

（2）  经过A  ( 2,0), B( 5,3) 两点的直线的倾斜角 （  ）. 

A．45° B．135° C．90 °D．60 °

（3）  过点 P(－2,m)和Q(m,4)的直线的斜率等于 1，则 m 的值为(        ). 

A.1                B.4                C.1 或 3          D.1 或 4 

（4）  直线经过二、三、四象限，   的倾斜角为 ，斜 率为 ，则 为       角； 的取值范围         . 

（5） 已知直线  的倾斜角为 ，则  关于  轴对称 的直线  的倾斜角 为________. 

课后巩固提升学案

1.在平面直角坐标系中，正三角形ABC的边BC所在直线斜率是0,则AC、AB所在的直线斜率之和为（   ）

 A.   B.0    C.    D.

2.过点（0，）与点（7，0）的直线，过点（2，1）与点（3，）的直线，与两坐标轴围成四边形内接于一个圆，则实数k为（  ）

 A.    B.3     C.    D.6

3.经过两点A（2,1），B（1,）的直线l的倾斜角为锐角，则m的取值范围是（  　）

　  Ａ.   Ｂ.  Ｃ.  Ｄ.或

4.若三点A（2 , 2）,B（）,C（0，）（）共线，则的值等于________。

5.已知直线l的斜角，则直线l的斜率的取值范围是_________。

6.  已知点 A (2,3),B ( 3, 2)  ，若直线  过点 p (1,1)  且与线段AB 相交，求直线  的斜率 的取值范围. 

7.  已知直线 过  两点，求此直线的斜率和倾斜角.