高中数学人教版新课标A必修11.3.2奇偶性测试题

2014年高中数学 1.3.2奇偶性同步测试（含解析，含尖子生题库）新人教A版必修1

(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)

一、选择题(每小题5分，共20分)

1．函数f(x)＝的奇偶性是(　　)

A．奇函数

B．偶函数

C．既是奇函数又是偶函数

D．既不是奇函数又不是偶函数

解析：　函数f(x)＝的定义域为R，f(－x)＝

＝＝f(x)，所以该函数是偶函数，故选B.

答案：　B

2．下列四个结论：

①偶函数的图象一定与y轴相交；

②奇函数的图象一定通过原点；

③偶函数的图象关于y轴对称；

④既是奇函数又是偶函数的函数是f(x)＝0.

其中正确命题的个数为(　　)

A．1   B．2

C．3   D．4

解析：　偶函数的图象关于y轴对称，但不一定与y轴相交，如y＝，故①错，③对；奇函数的图象不一定通过原点，如y＝，故②错；既奇又偶的函数除了满足f(x)＝0，还要满足定义域关于原点对称，④错．故选A.

答案：　A

3．已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，且f(－2)＝10，则f(2)等于(　　)

A．－10   B．－18

C．－26   D．10

解析：　由函数g(x)＝x5＋ax3＋bx是奇函数，得g(－x)＝－g(x)，∵f(2)＝g(2)－8，f(－2)＝g(－2)－8，∴f(2)＋f(－2)＝－16.又f(－2)＝10，∴f(2)＝－16－f(－2)＝－16－10＝－26.

答案：　C

4．已知函数f(x)在[－5,5]上是偶函数，f(x)在[0,5]上是单调函数，且f(－3)<f(－1)，则下列不等式一定成立的是(　　)

A．f(－1)<f(3)   B．f(2)<f(3)

C．f(－3)<f(5)   D．f(0)>f(1)

解析：　函数f(x)在[－5,5]上是偶函数，因此f(x)＝f(－x)，于是f(－3)＝f(3)，f(－1)＝f(1)，则f(3)<f(1)．

又∵f(x)在[0,5]上是单调函数，从而函数f(x)在[0,5]上是减函数，观察四个选项，并注意到f(x)＝f(－x)，易知只有D正确．

答案：　D

二、填空题(每小题5分，共10分)

5．已知函数f(x)＝是奇函数，则m＝________.

解析：　当x<0时，－x>0，f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.

又∵f(x)为奇函数，

∴f(－x)＝－f(x)＝－x2－2x.

∴f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，∴m＝2.

答案：　2

6．若函数f(x)＝ax2＋2在[3－a,5]上是偶函数，则a＝________.

解析：　由题意可知3－a＝－5，∴a＝8.

答案：　8

三、解答题(每小题10分，共20分)

7．已知函数f(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数，且f＝，求函数f(x)的解析式．

解析：　∵f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数，

∴f(0)＝0，即＝0，∴b＝0.

又f＝＝，∴a＝1，

∴f(x)＝.

8．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，

f(x)＝x2－2x.

(1)求出函数f(x)在R上的解析式；

(2)画出函数f(x)的图象．

解析：　(1)①由于函数f(x)是定义域为R的奇函数，

则f(0)＝0；

②当x<0时，－x>0，∵f(x)是奇函数，

∴f(－x)＝－f(x)，

∴f(x)＝－f(－x)

＝－[(－x)2－2(－x)]

＝－x2－2x，

综上：f(x)＝

(2)图象如图：

☆☆☆

9．(10分)已知函数y＝f(x)不恒为0，且对于任意x、y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，求证：y＝f(x)是奇函数．

证明：　在f(x＋y)＝f(x)＋f(y)中，

令y＝－x，得f(0)＝f(x)＋f(－x)，

令x＝y＝0，则f(0)＝f(0)＋f(0)，所以f(0)＝0.

所以f(x)＋f(－x)＝0，

即f(－x)＝－f(x)，

所以y＝f(x)是奇函数．