高中数学人教版新课标A必修5第三章 不等式3.2 一元二次不等式及其解法导学案

3.2一元二次不等式及其解法

一、教学目标

1.知识与技能:从实际问题中建立一元二次不等式，能把一元二次不等式的解的类型归纳出来；

2.过程与方法:通过学生感兴趣的上网问题引入一元二次不等式的有关概念，通过让学生比较两种不同的收费方式，抽象出不等关系；

二、教学重、难点

从实际问题中抽象出一元二次不等式模型，围绕一元二次不等式的解法展开，体现数形结合的思想；理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系。

三、教学过程

（一）[创设情景]

探究.阅读第76页的上网问题，得出一个关于x的一元二次不等式，              

一元二次不等式的定义：只含一个未知数，并且未知数的最高次数为2的不等式；

 练习：判断下列式子是不是一元二次不等式？

（1）           （2）

（3）（  （4）

（二）[探索研究]

思考:

1.一元一次方程、一元一次不等式及与一次函数三者之间有什么关系？

2．不等式、二次函数、一元二次方程的之间有什么关系？

容易知道，方程有两个实根：  

由二次函数的零点与相应的一元二次方程根的关系，知是二次函数的两个零点。

通过学生画出的二次函数的图象，观察而知，

当时，函数图象位于x轴上方，此时，即；

当时，函数图象位于x轴下方，此时，即。

上述方法可以推广到求一般的一元二次不等式或的解集，我们可以由函数的零点与相应一元二次方程根的关系，先求出一元二次方程的根，再根据函数图像与x轴的相应位置确定一元二次不等式的解集。

（三）[举例应用]

例1  求下列不等式的解集

（1）               （2）4     

（3）            （4）

例3．求下列函数的定义域 ：（1） （2）

例4．已知关于的不等式的解集是，求实数之值

例5．已知不等式的解集为求不等式的解集．

例6．已知一元二次不等式的解集为，求的取值范围．

解：为二次函数，

二次函数的值恒大于零，即的解集为．

， 即  ，解得：

• 的取值范围为

变式：

已知二次函数的值恒大于零，求的取值范围．

例7．若函数中自变量的取值范围是一切实数，求的取值范围

解：中自变量的取值范围是，    恒成立．

故的取值范围是．

思考题：若不等式对满足的所有都成立，求实数的取值范围．

3.2一元二次不等式及其解法

一、教学过程：

1. 解不等式的主要理论依据是不等式的性质,是通过同解变形得到不等式成立的条件

  2. 解不等式的最基本思想是转化思想,一元一次不等式和一元二次不等式的解法是解各类不等式的基础,其他类型的不等式都可以通过等价变形转化为上述两种不等式.

二、教学内容：

  学习以下几种不等式的解法：

(1) 简单的高次不等式

例1.

练习：

  (2)分式不等式

例2．解不等式

练习.

(3)含绝对值的不等式

前面我们已学过不等式的性质和证明方法，下面我们来介绍一些含有绝对值的不等式的证明问题.我们知道，当a＞0时，

|x|＜a－a＜x＜a,

|x|＞ax＞a或x＜－a.

根据上面的结果和不等式的性质，我们可以推导出含有绝对值的不等式具有下面的性质：

定理：|a|－|b|≤|a+b|≤|a|+|b|.

推论1  |a1＋a2＋a3|≤|a1|＋|a2|＋|a3|

推论2  |a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|.

例3.

练习：解不等式：

例4.已知|a|＜1,|b|＜1,求证＜1.

证明：＜1＜1

由|a|＜1,|b|＜1,可知（1－a2）(1－b2)＞0成立，

所以  ＜1.

说明：此题作为一个含有绝对值的不等式，运用|x|＜ax2＜a2这一等价条件将绝对值符号去掉，并采用了求差比较法证明其等价不等式的正确性，并用到了绝对值的有关性质，也体现了证明不等式的方法的综合性、灵活性.

（4）对数和指数不等式

例5．解不等式 1、

2、

（5）含参数的不等式

例6：解关于x的不等式：

注意：含参一元二次不等式的解法：

①当二次项系数为字母时，首先要讨论二次项系数是否为0

        ②若不易观察出所对应方程是否有实根，此时应对方程有无实根进行讨论。

        ③若对于根的大小不易区别时，应通过作差，有根的大小确定字母范围。

练习：解关于x的不等式：

例7、解关于的不等式.