2020-2021学年2.1.4函数的奇偶性图文ppt课件

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当x1=1, x2= -1时，f(-1)=f(1)
当x1=2, x2= -2时，f(-2)=f(2)
对任意x，f(-x)=f(x)
当x1=1, x2= -1时，f(-1)= -f(1)
对任意x，f(-x)= -f(x)
偶函数定义：如果对于函数定义域内的任意一个x ,都有f(-x）=f(x)。那么f(x)就叫偶函数。
奇函数定义：如果对于函数定义域内的任意一个x ,都有f(-x）=-f(x)。那么f(x)就叫奇函数。
例1、判断下列函数的奇偶性
解：(1) 因为f(-x)=2x= -f(x) ,所 以f(x)是奇函数。因为 f(-x)=|-x|-2=|x|-2=f(x) ,所以f(x)是偶函数。 因为
判断奇偶性，只需验证f(x)与f(-x)之间的关系。
定义域关于原 点对称是函数具有奇偶性的必要但不充分条件。
故f(2)不存在，所以就谈不上与f(-2)相等了，由于任意性受破坏。所以它没有奇偶性。
（5）函数的定义域为[-2,2),故f(2)不存在，同上可知函数没有奇偶性。
在刚才的几个函数中有的是奇函数不是偶函数，有的是偶函数不是奇函数，也有既不是奇函数也不是偶函数的。那么有没有这样的函数，它既是奇函数又是偶函数呢？
是不是具备这样性质的函数解析式只能写成这样呢？
例2、已知函数f(x)既是奇函数又是偶函数。求证：f(x)=0
证明：因为 f(x)既是奇函数又是偶函数所以 f(-x)=f(x),且f(-x)= -f(x)所以 f(x)= -f(x)所以 2f(x)=0即 f(x)=0.
这样的函数有多少个呢？
函数按是否有奇偶性可分为四类：
奇函数偶函数既是奇函数又是偶函数既不是奇函数又不是偶函数
例3、判断下列函数的奇偶性
1、解：当b=0时，f(x)为奇函数，当b 0时，f(x)既不是奇函数，也不是偶函数。
2、解：当a=0时，f(x)既是奇函数又是偶函数，当a 0时，f(x)是偶函数。