高中人教版新课标B1.2.3空间中的垂直关系学案

课   题

空间中的平行关系

课型

新课

主备人

上课教师

上课时间

45 分钟

学习目标

以所学过的作为推理依据的一些公理和定理为基础，通过直观感知，操作确认，思辨论证，归纳出空间中线、面平行的有关判定定理和性质定理。能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。

教学重点

平面的基本性质与推论以及它们的应用；线线平行及平行线的传递性和面面平行的定义与判定。

教学难点

自然语言与数学图形语言和符号语言间的相互转化与应用；如何由平行公理以及其他基本性质推出空间线、线，线、面和面、面平行的判定和性质定理，并掌握这些定理的应用。

教师准备

多媒体教学

教学过程

集备修正

（二）平面中的平行关系

1. 平行直线

（1）空间两条直线的位置关系

①相交：在同一平面内，有且只有一个公共点；

②平行：在同一平面内，没有公共点。

（2）初中几何中的平行公理：

    过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行。

    【说明】此结论在空间中仍成立．

（3）公理4（空间平行线的传递性）：

平行于同一条直线的两条直线互相平行．即：如果直线a // b,c // b，那么a // c。

    【说明】此公理是判定两直线平行的重要方法：寻找第三条直线分别与前两条直线平行。

2. 等角定理  

等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别对应平行，并且方向相同，那么这两个角相等。

    推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等。

    需要说明的是：对于等角定理中的条件：“方向相同”。

    （1）若仅将它改成“方向相反”，则这两个角也相等。

    （2）若仅将它改成“一边方向相同，而另一边方向相反”，则这两个角互补。此定理及推论是证明角相等问题的常用方法。

3. 空间图形的平移   

如果空间图形F的所有点都沿同一方向移动相同的距离到F＇的位置，则说图形F在空间做了一次平移。

    注意：图形平移后与原图形全等，即对应角和对应两点间的距离保持不变。

    图形平移有如下性质：

    （1）平移前后的两个图形全等；

    （2）对应角的大小平移前后不变；

    （3）对应两点的距离平移前后不变；

    （4）对应两平行直线的位置关系在平移前后不变；

    （5）对应两垂直直线的位置关系在平移前后不变。

4. 证明空间两直线平行的方法

    （1）利用定义

    用定义证明两条直线平行，需证两件事：一是两直线在同一平面内；二是两直线没有公共点。

    （2）利用公理4

    用公理4证明两条直线平行，只需证一件事：就是需找到直线c，使得a // c，同时b//c，由公理4得a // b。

  例1. 已知四面体ABCD中，M、N分别是和的重心。

       求证：（1）面ABD；（2）面CMN

       分析：首先根据条件画出图形，如图所示，证明线面平行最常用的方法是利用判定定理，利用反推的思想，要证面ABD，只要证明MN平行于面ABD内的某一条直线即可。根据M、N分别为的重心的条件，连接CM、CN并延长分别交AB、AD于G、H，连接GH。若有，则结论可证，或连接AM、AN并延长交BC、CD于E、F，连接EF，若有，，结论可证。

       解析：（1）如图所示，连接CM、CN并延长分别交AB、AD于G、H，连接GH、MN

       ∵M、N分别为的重心

    ∴MN∥GH

       又面ABD，面ABD

       ∴MN∥面ABD

       （2）连接AM、AN并延长分别交BC、CD于E、F，连结EF

       同理MN∥EF

       又E、F分别为BC、CD的中点

       ∴BD∥EF

       ∴BD∥MN

       又面CMN，CMN

       ∴BD∥面CMN

       点评：证明线面平行的常用方法有两种，其一是利用定义，一般借助反证法去完成；其二是利用判定定理，思路一般是从结论入手，用反推的思想方法分析出解题思路，然后完成证明过程。