高中数学人教版新课标B必修21.2.3空间中的垂直关系导学案

《空间中的平行关系》

【教学重点】
　　直线、平面平行的判定与性质定理

【教学难点】
　　直线、平面平行的判定与性质定理的应用

【教学内容】
　　平行关系是线、面中都有的位置关系，下面我们分别加以研究。
1．空间平行直线
初中平面几何：
　　两条平行直线：同一平面内不相交的两条直线。
　　经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行。

高中立体几何：
　　公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。（平行线的传递性）
　　大家由此设想一下：
　　与同一条直线都相交的直线的位置关系是什么？
　　垂直于同一条直线的两条直线的位置关系如何？
　　与同一条直线都异面的两条直线的位置关系是什么？
　　等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。
　　证明：如图，在两个角的两边上截取，，
　　　　　∵，
　　　　　∴四边形是平行四边形，∴平行且等于，
　　　　　同理：四边形是平行四边形，平行且等于，
　　　　　∴平行且等于，∴四边形是平行四边形，
　　　　　∴，
　　　　　与中，，，，
　　　　　则≌，∴。
　　评述：证明中可看出，立体几何的问题经常是要转化到平面几何的知识上，而利用平行是转化的重要手段。

2．直线与平面平行
　　定义：如果一条直线与一个平面没有公共点，那么我们说这条直线和这个平面
　　　　　平行。
　　表示方法：直线与平面平行，记作： 直线平面
　　上述的三种表示方法：文字表示、符号表示、图形表示，都需要大家掌握。
　　应该说定义是判断事物最有效的手段，但平行的定义是用有无公共点来描述的，操作起来很不方便，因此引入判定定理就十分必要了，初中平面几何如此，后面所学的线面、面面平行都是如此。
　　判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
　　证明：如图，假设直线与平面不平行，
　　　　　且已知有直线在平面外，根据线面的位置关系，
　　　　　则有直线与平面相交，设
　　　　　在平面内过点A作，则
　　　　　∵，∴，这与矛盾，
　　　　　∴假设错误，∴直线与平面平行。
　　评述：定理中注意“平面外”这一条件，利用反证法证明判定定理应该是基本的思路。
　　定理的作用：证明线面平行。
　　由此定理大家考虑下列问题：
　　平行于同一个平面的两条直线的位置关系——平行、相交、异面。
　　平行于同一条直线的两个平面的位置关系——平行、相交。
　　性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和两个平面的交线平行。
　　证明从略，可考虑应用线面平行以及线线平行的定义。
　　定理的作用：证明线线平行。

3．平面与平面的平行
　　定义：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面互相平行。
　　判定定理：如果一个平面内的两条相交直线都平行与另一个平面，那么这两个平面平行。
　　　　　　　　　　　　　　　
　　 　　　　　　　　符号表示　　　　　　　　　　　 图形表示
　　证明从略，可考虑应用反证法。
　　定理的作用：判定两个平面平行。
　　推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行。
　　性质定理1：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面。
　　定理的作用：判定线面平行。
　　性质定理2：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
　　证明：如图，
　　　　　∵，∴与没有公共点，
　　　　　∵，∴，，
　　　　　∵，∴，，
　　　　　∵，，∴直线、没有公共点，
　　　　　∵，，∴。
　　评述：这是应用平行的定义解决问题，也可利用线面平行的性质定理：，，，大家可试试。
　　定理的作用：判定线线平行。
　　注意：转化思想的运用。在这里我们是用线线平行导出线面平行，又由线面平行导出面面平行。
　　同样，由线面平行可以导出线线平行，由面面平行也可以导出线面平行、线线平行。

例题选讲：
　　1．已知：空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点，
　　　　　　求证：E、F、G、H四点共面。
　　分析：有关共面问题一定要找出平行或相交的直线。
　　证明：连接，
　　　　　∵E、H为边AB、DA的中点，
　　　　　∴，同理，∴
　　　　　∴与确定一个平面，
　　　　　即：E、F、G、H四点共面。
　　评述：本题还是应用平面几何中三角形的中位线定理得到线线平行，从而达到共面的要求，今后看到中点的条件时，应考虑中位线定理。本题还可以进一步考察四边形是什么样的四边形，可能是平行四边形吗，可能是菱形、矩形、正方形吗？

　　2．已知：三个平面两两相交，有三条交线，
　　　　　　求证：这三条交线平行或共点。
　　分析：遇到三条直线的问题，我们还是从两条直线的关系入手。
　　证明：如图，∵，，
　　　　　∴直线共面于平面，
　　　　　∴直线的位置关系为平行或相交，
　　　　　（1）当时，
　　　　　　　 ∵，，∴，
　　　　　　　 ∵，，
　　　　　　　 ∴，
　　　　　　　 ∴这三条交线平行；
　　　　　（2）当时，
　　　　　　　 ∵，，∴，
　　　　　　　 ∵，，∴，
　　　　　　　 ∴点O是平面的公共点，
　　　　　　　 ∵，∴点O在直线上，
　　　　　　　 ∴这三条交线共点。
　　评述：这种由少到多的方法希望大家能够掌握，两条直线的位置关系是平面几何中研究的问题，又是从平面到立体的转化。

　　3．已知：直线、，平面、，且，，，
　　　　　　求证：。
　　分析：条件是线面平行，求证是线线平行，可利用线面平行的性质定理
　　证明：过直线做平面与平面相交于直线，
　　　　　∵，∴，
　　　　　同理，过直线做平面与平面相交于直线，
　　　　　∴，∴，
　　　　　∵，，∴，
　　　　　∵，∴。
　　评述：线、面平行之间的转化关系希望大家要熟练掌握。

　　4．已知：正方体中，、分别为、上的点，且，求证：平面。
　　分析：利用判定定理来解决本题是比较现实的，关键是找到面内的直线与面外的直线平行，应该还要用到平面几何的知识。
　　证明：连接并延长交于，
　　　　　∵，∴∽,
　　　　　∴
　　　　　∵，
　　　　　∴
　　　　　∴中,
　　　　　∴平面，∴平面。
　　评述：对于由成比例的线段推到平行的问题，显然需要用到平面几何中平行线分线段成比例的定理，关键就是如何找到同一个平面内的线段。