高中数学人教版新课标B必修21.2.3空间中的垂直关系教学设计

课   题

空间中的垂直关系

课型

新课

主备人

上课教师

上课时间

45 分钟

学习目标

1、直线与平面垂直的概念

2、直线与平面垂直的判定与性质

教学重点

掌握直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理

教学难点

运用直线与平面垂直的概念它们进行论证和解决有关的问题；

教师准备

多媒体教学

教学过程

集备修正

（一）          两条直线成的角为直角——两条直线垂直

（二）        一直线与一平面内的所有与它相交的直线都垂直——直线与平面垂直

（三）        一组概念：平面的垂线、垂足、垂线段、点到直线的距离、点到平面的距离、直线的垂面

（四）        直线与平面垂直的判定：如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线、那么这条直线与这个平面垂直

（五）        推论：如果两条平行直线中有一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面

（六）        直线与平面垂直的性质：

（1）直线与平面垂直，则直线垂直于平面内的所有直线

（2）垂直于同一平面的两条直线平行

（七）        （1）过一点与已知直线垂直的平面有且只有一个

（2）过一点与已知平面垂直的直线有且只有一个

（八）        例子与练习

例1 已知:在空间四边形ABCD中,AC=AD,BC=BD,求证：AB⊥CD

证明：如图9-15，设CD中点为E，连接AE、BE，

因为ΔACD为等腰三角形,

所以AE⊥CD;

同理BE⊥CD.

所以CD⊥平面ABE,

所以CD⊥AB.

例2  已知VC是ΔABC所在平面的斜线，V在平面ABC上的射影为N，N在ΔABC的高CD上，M是VC上的一点，∠MDC=∠CVN,求证：VC⊥平面AMB

证明:如图9-16，因为∠MDC=∠CVN,且∠VNC=,

所以∠DMC=,

即VC⊥MD.

又VN⊥AB,CD⊥AB

所以AB⊥平面VCN

所以VC⊥AB，

所以VC⊥平面AMB.

例3  如图9-18,已知AP是∠ABC所在平面的斜线,PO是∠ABC所在平面的垂线,垂足为O.

(1)若P到∠BAC两边的垂线段PE、PF的长相等，求证：AO是∠BAC的平分线.

(2)若∠PAB=∠PAC,求证：AO是∠BAC的平分线.

证明：（1）连OE、OF，

因为PE⊥AB，PF⊥AC，

由三垂线定理的逆定理知：

OE⊥AB，OF⊥AC，

由已知：PE＝PF，故ΔPEO≌ΔPFO，所以EO＝FO

所以AO是∠BAC的平分线.

（2）过P作PE⊥AB，PF⊥AC,

垂足为E、F，

因为∠PAB=∠PAC，所以易知ΔPEA≌ΔPFA，

则PE＝PF.

本节课学习了直线与平面垂直的判定与性质