数学必修21.2.3空间中的垂直关系当堂达标检测题

《空间中的垂直关系》

专题训练

1．如图1所示，已知正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H、L、M、N分别为A1D1，A1B1，BC，CD，DA，DE，CL的中点，求证：EF⊥GF。

2．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝BC，D、E分别为BB1、AC1的中点，证明：ED为异面直线BB1与AC1的公垂线。

3．（1）如图，ABCD—A1B1C1D1是正四棱柱，求证：BD⊥平面ACC1A1。

（2）如图，在五面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，

面CDE

是等边三角形，棱。

（I）证明平面；

（II）设证明平面。

4．如图，直三棱柱ABC—A1B1C1 中，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝90°，AA1 ＝，D 是

A1B1 中点．（1）求证C1D ⊥平面A1B ；（2）当点F 在BB1 上什么位置时，会使

得AB1 ⊥平面C1DF ？并证明你的结论。

5．如图，△ABC 为正三角形，EC ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，CE ＝CA ＝2 BD ，M 是EA 的中点，求证：（1）DE ＝DA ；（2）平面BDM ⊥平面ECA ；（3）平面DEA ⊥平面ECA。

6．如图所示，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面边长为2，侧棱长为4.E，F分别为棱AB，BC的中点，EF∩BD=G。

（Ⅰ）求证：平面B1EF⊥平面BDD1B1；

（Ⅱ）求点D1到平面B1EF的距离d；

（Ⅲ）求三棱锥B1—EFD1的体积V。

7．（1）如图，正方形所在平面，过作与垂直的平面分别交、、于、K、，求证：、分别是点在直线和上的射影．

（2）如图，在棱长为1的正方体中，是侧棱上的一点，。

（Ⅰ）试确定，使直线与平面所成角的正切值为；

（Ⅱ）在线段上是否存在一个定点Q，使得对任意的，D1Q在平面上的射影垂直于，并证明你的结论。

8．如图1所示，已知A1B1C1—ABC是正三棱柱，D是AC的中点。

（1）证明AB1∥DBC1；

（2）假设AB1⊥BC1，BC=2。

求线段AB1在侧面B1BCC1上的射影长。

9．已知是边长为的正三角形所在平面外一点，

，求异面直线与的距离。

10．如图，在空间四边形中，、、、分别是边、、

   、的中点，对角线且它们所成的角为。

⑴求证：，⑵求四边形的面积。

11．如图（1）所示，E、F分别为正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是图（2）的      （要求：把可能的图的序号都填上）

图（1）

图（2）

（2）命题A：底面为正三角形，且顶点在底面的射影为底面中心的三棱锥是正三棱锥。

命题A的等价命题B可以是：底面为正三角形，且        的三棱锥是正三棱锥。

12．α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同直线.给出四个论断：

①m⊥n  ②α⊥β  ③n⊥β  ④m⊥α

以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：            。

答案：m⊥α，n⊥β，α⊥βm⊥n或m⊥n，m⊥α，n⊥βα⊥β

《空间中的垂直关系》答案

1．

证明：如图2，作GQ⊥B1C1于Q，连接FQ，则GQ⊥平面A1B1C1D1，且Q为B1C1的中点。

在正方形A1B1C1D1中，由E、F、Q分别为A1D1、A1B1、B1C1的中点可证明EF⊥FQ，

由三垂线定理得EF⊥GF。

2．证明：设O为AC中点，连接EO，BO，则EOC1C，又C1CB1B，所以EODB，

EOBD为平行四边形，ED∥OB。

∵AB＝BC，∴BO⊥AC，

又平面ABC⊥平面ACC1A1，BO面ABC，故BO⊥平面ACC1A1，

∴ED⊥平面ACC1A1，BD⊥AC1，ED⊥CC1，

∴ED⊥BB1，ED为异面直线AC1与BB1的公垂线。

点评：该题考点多，具有一定深度，但入手不难，逐渐加深，逻辑推理增强。

3．

证明：（1）∵ABCD—A1B1C1D1是正四棱柱，

∴CC1⊥平面ADCD,

∴BD⊥CC1

∵ABCD是正方形

∴BD⊥AC

又∵AC，CC1平面ACC1A1,

且AC∩CC1=C,

 ∴BD⊥平面ACC1A1。

（2）证明：

（I）取CD中点M，连结OM。

 在矩形ABCD中， 又

 则连结EM，于是四边形EFOM为平行四边形。

 又平面CDE，且平面CDE，

平面CDE。

（II）连结FM。

由（I）和已知条件，在等边中， 

且

 因此平行四边形EFOM为菱形，从而。

 平面EOM，从而

 而所以平面

4．

分析：（1）由于C1D 所在平面A1B1C1 垂直平面A1B ，只要证明C1D 垂直交线A1B1 ，由直线与平面垂直判定定理可得C1D ⊥平面A1B。

（2）由（1）得C1D ⊥AB1 ，只要过D 作AB1 的垂线，它与BB1 的交点即为所求的F 点位置。

（1）证明：如图，∵  ABC—A1B1C1 是直三棱柱，

∴  A1C1 ＝B1C1 ＝1，且∠A1C1B1 ＝90°。

又 D 是A1B1 的中点，∴  C1D ⊥A1B1 。

∵  AA1 ⊥平面A1B1C1 ，C1D 平面A1B1C1 ，

∴  AA1 ⊥C1D ，∴  C1D ⊥平面AA1B1B。

（2）解：作DE ⊥AB1 交AB1 于E ，延长DE 交BB1 于F ，连结C1F ，则AB1 ⊥平面C1DF ，点F 即为所求。

事实上，∵  C1D ⊥平面AA1BB ，AB1 平面AA1B1B ，

∴  C1D ⊥AB1 ．又AB1 ⊥DF ，DF C1D ＝D ，

∴  AB1 ⊥平面C1DF 。

5．

证明：（1）如图，取EC 中点F ，连结DF。

∵  EC ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，得DB ⊥平面ABC 。

∴  DB ⊥AB ，EC ⊥BC。

∵  BD ∥CE ，BD ＝CE ＝FC ，则四边形FCBD 是矩形，DF ⊥EC。

又BA ＝BC ＝DF ，

∴  Rt△DEF ≌Rt△ABD ，所以DE ＝DA。

（2）取AC 中点N ，连结MN 、NB ，

∵  M 是EA 的中点，

∴  MN EC。

由BD EC ，且BD ⊥平面ABC ，可得四边形MNBD 是矩形，于是DM ⊥MN。

∵  DE ＝DA ，M 是EA 的中点，

∴  DM ⊥EA ．又EA MN ＝M ，

∴  DM ⊥平面ECA ，而DM 平面BDM ，则平面ECA ⊥平面BDM。

（3）∵  DM ⊥平面ECA ，DM 平面DEA ，

∴  平面DEA ⊥平面ECA。

6．

（Ⅰ）证法一：连接AC。

∵正四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面是正方形。

∴AC⊥BD，又AC⊥D1D，故AC⊥平面BDD1B1

∵E，F分别为AB，BC的中点，故EF∥AC，∴EF⊥平面BDD1B1

∴平面B1EF⊥平面BDD1B1。

证法二：∵BE=BF，∠EBD=∠FBD=45°，∴EF⊥BD.

∴平面B1EF⊥平面BDD1B1。

（Ⅱ）解：在对角面BDD1B1中，作D1H⊥B1G，垂足为H

∵平面B1EF⊥平面BDD1B1，且平面B1EF∩平面BDD1B1=B1G，

∴D1H⊥平面B1EF，且垂足为H，∴点D1到平面B1EF的距离d=D1H。

解法一：在Rt△D1HB1中，D1H=D1B1·sinD1B1H，

∵D1B1=A1B1=4，

sinD1B1H=sinB1GB=，

∴d=D1H=4·

解法二：∵△D1HB∽△B1BG，∴

∴d=D1H=。

解法三：如图所示，连接D1G，则三角形D1GB1的面积等于正方形DBB1D1面积的一半.即B1G·D1H=BB12。

∴d=。

（Ⅲ）·d·.

7．

证明：∵ 面，∴ ，

∵ 为正方形，∴ ，

∵ 与相交，∴ 面，面，

∴ ．

由已知面，且面，

∴ ，

∵ ，∴　面，面，∴ ，

即 为点在直线上的射影，

同理可证得为点在直线上的射影。

（2）

解法1：（Ⅰ）连AC，设AC与BD相交于点O,AP与平面相交于点，连结OG，

因为PC∥平面，平面∩平面APC＝OG，

故OG∥PC，所以OG＝PC＝。

又AO⊥BD,AO⊥BB1，所以AO⊥平面，

故∠AGO是AP与平面所成的角。

在Rt△AOG中，tanAGO＝，即m＝。

所以，当m＝时，直线AP与平面所成的角的正切值为。

（Ⅱ）可以推测，点Q应当是AICI的中点O1，

因为D1O1⊥A1C1, 且 D1O1⊥A1A ，所以 D1O1⊥平面ACC1A1，

又AP平面ACC1A1，故 D1O1⊥AP。

那么根据三垂线定理知，D1O1在平面APD1的射影与AP垂直。

8．

证明：（1）如图2所示，∵A1B1C1—ABC是正三棱柱，

∴四边形B1BCC1是矩形。

连结B1C，交BC1于E，则BE=EC。

连结DE，在△AB1C中，∵AD=DC，

∴DE∥AB1，又因为AB1平面DBC1，DE平面DBC1，∴AB1∥平面DBC1。

（2）作AF⊥BC，垂足为F。因为面ABC⊥面B1BCC1，

∴AF⊥平面B1BCC1。连结B1F，则B1F是AB1在平面B1BCC1内的射影。

∵BC1⊥AB1，∴BC1⊥B1F。

∵四边形B1BCC1是矩形，∴∠B1BF=∠BCC1=90°，又∠FB1B=∠C1BC，∴△B1BF∽△BCC1，则==。

又F为正三角形ABC的BC边中点，因而B1B2=BF·BC=1×2=2。

于是B1F2=B1B2+BF2=3，∴B1F=，即线段AB1在平面B1BCC1内的射影长为。

9．

解析：分别取、

中点、，连

结（图⑴）。

连结、（图

⑵）

∵，

为公共边，，

∴≌  ∴

∵点为中点  ∴   同理：（图⑶）

又，，

∴即为异面直线与的公垂线段

如图⑵，在中，，，，

∴ ∴异面直线与的距离。

点评：求异面直线的距离，必须先找到两条异面直线的公垂线段。

10．

解析：⑴在中，、分别是边、的中点，∴∥，

在中，、分别是边、的中点，∴∥，

    ∴∥且，

同理：∥且，

∵，∴，

∴四边形为菱形，∴。

⑵∵∥，∥，

∴（或的补角）即为异面直线与所成的角，

由已知得：（或），

∴四边形的面积为：。

11．

图（1）

图（2）

答案：②③

解析：∵面BFD1E⊥面ADD1A1，所以四边形BFD1E在面ADD1A1上的射影是③，同理，在面BCC1B1上的射影也是③。

过E、F分别作DD1和CC1的垂线，可得四边形BFD1E在面DCC1D1上的射影是②，同理在面ABB1A1，面ABCD和面A1B1C1D1上的射影也是②。

（2）

解析：要使命题B与命题A等价，则只需保证顶点在底面上的射影S是底面正三角形的外心即可，因此，据射影定理，得侧棱长相等。

12．

答案：m⊥α，n⊥β，α⊥βm⊥n或m⊥n，m⊥α，n⊥βα⊥β