高中数学湘教版必修37.3圆与方程同步训练题

这是一份高中数学湘教版必修37.3圆与方程同步训练题，共4页。

1．已知△ABC的三个顶点是A(5,5)、B(1,4)和C(4,1)，则△ABC的形状是
( )．
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
解析 ∵|AB|＝eq \r(5－12＋5－42)＝eq \r(17)，
|BC|＝eq \r(1－42＋4－12)＝3eq \r(2)，
|AC|＝eq \r(5－42＋5－12)＝eq \r(17)，
∴|AB|＝|AC|，∴△ABC为等腰三角形．
答案 B
2．方程y＝－eq \r(25－x2)表示的曲线是( )．
A．一条射线 B．一个圆 C．两条射线 D．半个圆
解析 由y＝－eq \r(25－x2)得x2＋y2＝25.
∵y＝－eq \r(25－x2)≤0, ∴曲线表示半个圆．
答案 D
3．点M、N在x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且点M、N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的半径为( )．
A．2eq \r(2) B.eq \r(2)
C．1 D．3
解析 由M、N两点关于直线x－y＋1＝0对称，可知直线x－y＋1＝0过圆心(－eq \f(k,2)，－1)，∴k＝4，∴圆的方程即为(x＋2)2＋(y＋1)2＝9，∴r＝3.
答案 D
4．已知直线x－2y－3＝0与圆(x－2)2＋(y＋3)2＝9相交于E，F两点，圆心为C，则△CEF的面积为________．
解析 圆心(2，－3)到直线x－2y－3＝0的距离为d＝eq \f(|2＋2×3－3|,\r(5))＝eq \r(5)，∴|EF|＝2×eq \r(9－d2)＝2eq \r(9－5)＝4，
∴S△CEF＝eq \f(1,2)×4×eq \r(5)＝2eq \r(5).
答案 2eq \r(5)
5．已知x＋y＋1＝0，那么eq \r(x＋22＋y＋32)的最小值是________．
解析 eq \r(x＋22＋y＋32)表示点P(x，y)和点(－2，－3)的距离，则eq \r(x＋22＋y＋32)的最小值为点(－2，－3)到直线x＋y＋1＝0的距离，d＝eq \f(|－2－3＋1|,\r(2))＝eq \f(4,\r(2))＝2eq \r(2).
答案 2eq \r(2)
6．有一种大型商品，A、B两地都有出售，且价格相同，某地居民从两地之一购得商品后，运回的费用是：每单位距离A地的运费是B地运费的3倍，已知A，B两地距离10 km，顾客选A或B地购买这件商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低，求A、B两地的售货区域的分界线的曲线形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民如何选择购买力货地点．
解 如图，以A、B所确定的直线为x轴，A、B中点O为坐标原点，建立直角坐标系，则A(－5,0)，B(5,0)，
设某地P的坐标为(x，y)，假设居民选择A地购买商品便宜，并设A地的运费3a元/千米，B地的运费为a元/千米，
价格＋xA地运费≤价格＋xB地运费
∴3aeq \r(x＋52＋y2)≤aeq \r(x－52＋y2)，
∵a>0，∴3eq \r(x＋52＋y2)≤eq \r(x－52＋y2).
化简为(x＋eq \f(25,4))2＋y2≤(eq \f(15,4))2.
∴以点C(－eq \f(25,4)，0)为圆心，eq \f(15,4)为半径的圆是这两条购货的分界线．
圆C内的居民，从A地购货便宜
圆C外的居民，从B地购货便宜
圆C上的居民，从A、B两地购货的总费用相等，因此可随便从A、B两地之一购货．
eq \a\vs4\al\c1(综合提高 限时25分钟)
7．点P是直线2x＋y＋10＝0上的动点，直线PA、PB分别与圆x2＋y2＝4相切于A、B两点，则四边形PAOB(O为坐标原点)的面积的最小值为( )．
A．24 B．16
C．8 D．4
解析 ∵四边形PAOB的面积S＝2×eq \f(1,2)|PA|×|OA|＝2eq \r(OP2－OA2)＝2eq \r(OP2－4)，∴当直线OP垂直直线2x＋y＋10＝0时，|OP|＝eq \f(10,\r(22＋12))＝2eq \r(5).其面积S最小值为8.
答案 C
8．台风中心从A地以每小时20 km的速度向东北方向移动，离台风中心30 km地区为危险区，城市B在A地正东40 km处，则城市B处于危险区内的时间是
( )．
A．0.5 h B．1 h
C．1.5 h D．2 h
解析 如右图所示，以A地为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则B(40,0)，以B为圆心，30为半径的圆的方程为(x－40)2＋y2＝302，台风中心移动到圆B内时，B城市将处于危险区，台风移动所在直线方程为y＝x，它与圆B相交弦为MN，则可求得|MN|＝20 km，eq \f(|MN|,20)＝1，所以B城市位于危险区内的时间为1 h.
答案 B
9．一束光线从点A(－1,1)出发经x轴反射到圆(x－2)2＋(y－3)2＝1上的最短距离为________．
解析 A关于x轴的对称点为A′(－1，－1)，A′与圆心的距离为eq \r(32＋42)＝5，最短距离为5－1＝4.
答案 4
10．两圆相交于两点(1,3)和(m，－1)，两圆圆心都在直线x－y＋c＝0上，则m＋c的值为________．
解析 由平面几何性质知：两相交圆圆心的连线与两圆的公共弦垂直，且经过弦的中点，则eq \f(3＋1,1－m)＝－1，得m＝5，∴弦中点坐标为(3,1)，∴3－1＋c＝0，得c＝－2，∴m＋c＝3.
答案 3
11．已知x，y满足x2＋y2－2x＋4y＝0，求x－2y的最大值．
解 设x－2y＝b，则点(x，y)既在直线x－2y＝b上，又在圆x2＋y2－2x＋4y＝0上，
即直线x－2y＝b和圆(x－1)2＋(y＋2)2＝5有公共点，故圆心(1，－2)到x－2y－b＝0的距离小于等于半径eq \r(5)，
所以eq \f(|1－2×－2－b|,\r(5))≤eq \r(5)，即|b－5|≤5，
所以0≤b≤10，即b的最大值是10.
12．(创新拓展)已知点P(x，y)在圆x2＋y2－6x－6y＋14＝0上．
(1)求eq \f(y,x)的最大值和最小值；
(2)求x2＋y2＋2x＋3的最大值与最小值；
(3)求x＋y的最大值与最小值．
解 圆x2＋y2－6x－6y＋14＝0变形为(x－3)2＋(y－3)2＝4.如图所示．
(1)eq \f(y,x)表示圆上的点P与原点连线的斜率，显然PO与圆相切时，斜率最大或最小．设切线方程为y＝kx，即kx－y＝0，由圆心C(3,3)到切线距离等于半径2，可得eq \f(|3k－3|,\r(k2＋1))＝2，解得k＝eq \f(9±2\r(14),5)，
所以，eq \f(y,x)的最大值为eq \f(9＋2\r(14),5)，最小值为eq \f(9－2\r(14),5).
(2)x2＋y2＋2x＋3＝(x＋1)2＋y2＋2，它表示圆上的点P到E(－1,0)的距离的平方再加2，所以，当点P与点E的距离最大或最小时，所求式子就取最大值或最小值，显然点P与点E的距离的最大值为|CE|＋2，点P与点E距离的最小值为|CE|－2，|CE|＝eq \r(3＋12＋32)＝5，
所以x2＋y2＋2x＋3的最大值为(5＋2)2＋2＝51，最小值为(5－2)2＋2＝11.
(3)设x＋y＝b，则b表示动直线y＝－x＋b的纵截距，显然当动直线y＝－x＋b与圆(x－3)2＋(y－3)2＝4相切时，b取最大值或最小值．圆心C(3,3)到切线x＋y＝b的距离等于圆的半径2，则eq \f(|3＋3－b|,\r(12＋12))＝2，
即|b－6|＝2eq \r(2)，解得b＝6±2eq \r(2)，
所以，x＋y的最大值为6＋2eq \r(2)，最小值为6－2eq \r(2).