高中数学湘教版必修37.3圆与方程学案及答案

圆与方程

总体目标

 　　本章在第三章“直线与方程”的基础上，学习圆的有关知识——圆的标准方程、圆的一般方程；继续运用“坐标法”研究直线与圆、圆与圆的位置关系等几何问题；学习空间直角坐标系的有关知识，用坐标表示简单的空间的几何对象。

通过本章的学习，要达到如下目标：

　　1．回顾确定圆的几何要素，在直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程。

　　2．能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系。

　　3．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题。

　　4．通过具体情境，感受建立空间直角坐标系的必要性，了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置。

　　5．通过表示特殊长方体（所有棱分别与坐标轴平行）顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式。

　　研究直线与圆、圆与圆的位置关系是本章的主要内容之一，判断直线与圆、圆与圆的位置关系可以从两个角度入手：一个角度是利用义务教育阶段所介绍的平几方法；另一个角度，将两曲线是否有公共点的问题，转化为判断它们的方程组成的方程组有没有实数解的问题。在判断直线与圆、圆与圆的位置关系时，常常采用这两种方法．

　  在学习本章时，要不断地体会“数形结合”的思想方法，注意“数”与“形”的结合：在通过代数方法研究几何对象的位置关系以后，还可以画出其图形，验证代数结果；同时，通过观察几何图形得到的数学结论，用代数方法加以证明，不应割断它们之间的联系。

学习方式的转变是课程改革的重要目标之一。在学习中，要重视数学概念的理解、典型例题的分析、以及结论的形成过程，体会蕴涵在其中的思想方法；要抓住各种数学活动的机会，在自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习过程中获得知识、增强技能、掌握基本的数学思想方法；还要关注“观察”、“思考”、“探究”等栏目的内容，使自己真正参与到数学活动中来，发挥自己学习的主动性，使学习过程成为“再创造”的过程，从中体验数学发现和创造的历程，体验数学在解决实际问题中的作用、数学与日常生活及其他学科的联系，从而形成和发展自己的数学应用意识，提高分析问题、解决问题的能力。

4．1．1 圆的标准方程

学习目标

主要概念：

　　圆――到定点的距离等于定长的点的轨迹。

　　圆的标准方程――，其中圆心为，半径为。

教材分析

　　一、重点难点

本节教学重点是掌握圆的标准方程，难点是根据条件运用待定系数法建立圆的标准方程。

　　二、教材解读

　　本节教材的理论知识有问题提出、方程推导、思考交流三个板块组成。在回顾确定直线的要素――两点或一点和倾斜角确定一条直线的基础上，回顾确定圆的几何要素――圆心位置和半径大小，然后根据两点间的距离公式推导出圆的标准方程。

拓展阅读

    数学是研究事物的空间形式和数量关系的科学，在客观世界中，数与形是有机联系在一起的，大量几何问题的研究离不开代数的各种知识。解析几何就是用代数方法研究几何图形的学科，而代数、三角中的大量数量关系又可以借助于几何图形的直观研究方便地得到解决。例如 ：已知，求的最大值。本题表面上是一个代数问题，若我们改变一下思考角度，从已知条件和所求式子出发，联想它们的几何意义，借助于几何图形来解，不仅直观而且比纯代数方法简便。只要过原点和圆的圆心(3,4)作直线(如图)，交圆于A、B两点，即的最大值(即的最小值)。

    因此，我们在解题时，必须先审好题，充分理解题意，把握住题目的本质，这样完成解答就不难了。象刚才一题，初看这是一道代数题，而其本质却是一道几何题。你想不到这一点，解题就比较困难；你想到了这一点，题目就变得十分简单。这种解题的方法，我们称作为构造法，这里是构造图形解题。图形构造解题过程的模式是：

    构造图形解题方法主要表现在从第一步(题设条件特点分析)向第二步(构造图形)的飞跃。

构造法是数学解题中的常用方法之一，除了构造图形外，还可构造函数、构造模型、构造反例等，但在运用构造法解题时，要注意两点：一是要明确目的，即为什么目的而构造；二是要弄清楚题设条件的特点，以便依据特点，确定方案实现构造。

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典型例题解析

例1：(1)已知一个圆的直径的端点是A(-1,2)、B(7,8)，求该圆的方程。

     (2) 已知一个圆的直径的端点是A、B，求该圆的方程。

点拨求出圆心、半径或利用求轨迹方程的方法求解。

解答(1) A(-1,2)、B(7,8)是圆的直径的两个端点，

∴圆心C为线段AB为中点，即C(3,5)。

又圆的半径

∴圆的方程为

(2)设P是所求圆上的任一点，则， ，

AB为圆的直径，∴，故，

即，∴=0  (※)

当P与A或B重合时，也满足方程(※)

故圆的方程为=0

总结本题第(1)小题是课本第127页练习中第3题的改变题，第(2)小题是课本第130页习题4.1A组的第5题，将此两题放在一起的目的有二：一是体现从特殊到一般的认识规律；二是想说明在解题时，要根据具体问题的特点灵活地选择解题方法，如第(2)小题也按第(1)小题的方法做就显得繁琐。

变式题演练

圆C：关于直线对称的圆的标准方程是_____。

    答案：

例2：在圆外？

点拨求出两直线的交点坐标，利用交点在圆外寻求的不等式。

解答由得两直线交点P的坐标为

P在圆外，∴P到圆心(0，0)的距离大于半径3，

即，解得或　

∴当或时，在圆外

总结判断点P在圆上、圆内、圆外的依据是比较点P到圆心的距离与半径的大小关系：>点P在圆外；=点P在圆上；<点P在圆内。

变式题演练

若点P的坐标是，圆C的方程为，则点P与圆C的位置关系是                                       （        ）

（A）点P在圆C内             （B）点P在圆C上

（C）点P在圆C内或圆C上     （D）点P在圆C上或圆C外

    答案：C

例3：求过点A(1，-1)、B(-1,1)且圆心在直线上的圆的方程。(2001年全国文科高考题)

点拨本题关键是求出圆心C的坐标，而圆心C应是AB的垂直平分线与已知直线的交点。

解答线段AB的垂直平分线方程为

由得圆心C的坐标为(1,1)

∴所求圆的半径=|CA|==2

∴所求圆的方程为

总结在求解解析几何问题时，要强调图形在分析问题中的辅助作用，要适当地应用几何知识来帮助解题，这是简化解题过程中运算量的一个有效技巧。这里的几何知识主要包括两方面的内容：一是应用平面几何中的有关定理(通常在涉及直线和圆的问题中用得上)；二是在求解圆锥曲线的某些问题时，应注意它们的几何定义。

变式题演练

过两点P(2,2),Q(4,2) 且圆心在直线上的圆的标准方程是（  ）

A．    B.

C.     D.

答案：A

例4、已知点P是曲线上的点，求点P与点Q（0，-1）的距离的最大值。

点拨曲线是什么？半圆，故可利用几何法求解。

解答由，得，它表示以原点为圆心，为半径的上半圆，包括在x轴上的两个点，如右图。

    设此半圆与y轴交于R，由图可知，当点P与点R重合时，点P到点Q的距离最大，其最大值为。

总结求最值问题的方法，通常有两种：一是代数法，即建立目标函数法；二是几何法，即利用几何性质求出所求问题的最值。在求解具体问题时，要善于根据题目条件的特点，灵活地选用方法。这里利用了几何性质，使得解题思路清晰，方法简捷。

变式题演练

点（0，-5）与圆上的点的距离最大的点的坐标是___________。

　　答案：（3，－2）

知识结构

知识点图表

确定圆的要素：圆心位置、半径大小圆的标准方程判断点在圆上、圆内、圆外

学法指导

由于圆的标准方程中含有三个参数，因此必须具备三个独立条件才能确定一个圆，其中圆心是圆的定位条件，半径是是圆的定形条件。确定通常根据条件列出三个方程，解方程组得三个参数的值即得圆心和半径，求得圆的方程，此种方法称作为待定系数法。

所谓待定系数法是指按照一定规律，先写出问题的解的形式（一般是指一个算式、表达式或方程），利用已知条件求出其中含有若干尚待确定的未知系数的值，从而得到问题的解。其中尚待确定的未知系数，称为待定系数。

    确定待定系数的值，有两种常用方法：比较系数法和特殊值法。

（一）比较系数法

    比较系数法，是指通过比较恒等式两边多项式的对应项系数，得到关于待定系数的若干关系式（通常是多元方程组），由此求得待定系数的值。

    比较系数法的理论根据是多项式的恒等定理：两个多项式恒等的充分必要条件是对应项系数相等，即a0xn+a1xn-1+ …+an≡b0xn+b1xn-1+… +bn 的充分必要条件是 a0=b0,  a1=b1,…… ，an=bn 。   

（二）特殊值法

    特殊值法，是指通过取字母的一些特定数据值代入恒等式，由左右两边数值相等得到关于待定系数的若干关系式，由此求得待定系数的值。

    特殊值法的理论根据，是表达式恒等的定义：两个表达式恒等，是指用字母容许值集内的任意值代替表达式中的字母，恒等式左右两边的值总是相等的。

待定系数法是一种常用的数学方法，主要用于处理涉及多项式恒等变形问题，如分解因式、证明恒等式、解方程、将分式表示为部分分式、确定函数的解析式和求曲线的方程等。因此要熟练掌握待定系数法。

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