高中数学沪教版高中一年级 第二学期5.2任意角的三角比教案

5.3（2）同角三角比的关系与诱导公式

                            上海市杨浦高级中学  江海涛

一、教学目标设计

     1．掌握诱导公式的推导方法和记忆方法；

2．会运用这些公式求解任意角的三角比的值，会由三角比的值，求特殊角，并会化简单的三角比的关系式；

3．通过公式的探求与应用培养思维的严密性.

三、教学重点及难点

      重点：诱导公式

难点：诱导公式的灵活应用

四、教学流程设计

五、教学过程设计

一、 复习引入

   1．公式一：

（其中）

用角度可写成：

                   （其中）

   2 ．讨论

公式一的作用：把任意角的正弦、余弦、正切化为0º―360º之间角的正弦、余弦、正切，其方法是先在0º―360º内找出与角终边相同的角，再把它写成诱导公式一的形式，然后得出结果.

这组公式可以统一概括为的形式，上述一组公式叫做任意角三角比的第一组诱导公式，其特征是：等号两边是同名三角比，且符号都为正.

说明]运用公式时，注意“弧度”与“角度”两种度量制不要混用，如写成，是不对的．

  二、学习新课

1．公式推导

公式二：

它说明角-与角的正弦值互为相反数，而它们的余弦值相等．这是因为，若角的终边与单位圆交于点P(x，y)，则角-的终边与单位圆的交点必为P´ (x，-y)（如图1）．由正弦、余弦三角比的定义，即可得

sin=y，   cos=x,

sin(-)=-y,  cos(-)=x,所以：sin(-)= -sin, cos(-)= cosα

由三角比的商数关系，得：

即     

类似可得

这组公式叫任意角三角比的第二组诱导公式

    练习：求的正弦、余弦、正切和余切的值.

[说明]公式二也可以由特殊到一般，既从特殊三角比的计算，猜测出公式，再证明.

公式三：

                                用角度可表示如下：

它刻画了角180º+与角的正弦值（或余弦值）之间的关系，这个关系是：以角终边的反向延长线为终边的角的正弦值（或余弦值）与角的正弦值（或余弦值）是一对相反数．这是因为若设的终边与单位圆交于点P( x，y)，则角终边的反向延长线，即180º+角的终边与单位圆的交点必为P´(-x，-y)（如图2）．由正弦、余弦三角比的定义，即可得sin=y，              cos=x,

sin(180º+)=-y, cos(180º+)=-x,

所以 :sin(180º+)=-sin，cos(180º+)=-cos．

[说明]公式二、三的获得主要借助于单位圆及正弦、余弦比的定义．根据点P的坐标准确地确定点P´的坐标是关键，这里充分利用了对称的性质．直观的对称形象为我们准确写出P´的坐标铺平了道路，体现了数形结合这一数学思想的优越性.

练习：求下列三角比的值： （1）；     (2)

分析：本题是诱导公式二的巩固性练习题．求解时，只须设法将所给角分解成180º+或（π+），为锐角即可．

解：（1）cos210º=cos(180º+30º)=－cos30º=－；

（2）sin=sin()=－sin=－.

公式四：

        把第三组公式中的换成，得第四组诱导公式：

[说明]这组公式均可由前面学过的诱导公式直接推出，体现了把未知问题化为已知问题处理这一化归的数学思想.公式的推导并不难，然而推导中的化归意识和策略是值得我们关注的.

四组诱导公式可概括为：

k·360º+（k∈Z），-，180º±，360º-的三角比值，等于的同名三角比的值，前面加上一个把看成锐角时原三角比的符号.

[说明]这里的“同名三角比值”是指等号两边的三角比名称相同；“把看成锐角”是指原本是任意角，这里只是把它视为锐角处理；“前面加上一个……符号”是指的同名三角比值未必就是最后结果，前面还应添上一个符号（正号或负号，主要是负号，正号可省略），而这个符号是把任意角视为锐角情况下的原三角比的符号.应注意讲清这句话中每一词语的含义，特别要讲清为什么要把任意角α看成锐角．建议通过实例分析说明.

练习：求下列各式的值：（1）sin(－)；(2)cos(－60º)－sin(－210º)

分析：本题是诱导公式二、三的巩固性练习题．求解时一般先用诱导公式三把负角的正弦、余弦化为正角的正弦、余弦，然后再用诱导公式二把它们化为锐角的正弦、余弦来求．

解：（1）sin(－)=－sin()=sin=；

（2）原式=cos60º+sin(180º+30º)=cos60º－sin30º=－=0

2．例题分析

例1：利用诱导公式，求下列各三角比：

（1）；     （2）

例2化简：

例3根据条件，求角：

（1）      已知；

（2）已知

[说明]由三角比求特殊角的问题，是个“反”问题，对学生是个难点问题，教师可先缩小范围，如考虑在[0，]上，求角，再考虑等.

三、巩固练习

P49  练习  5.3(2)

四、课堂小结

通过本节课的教学，我们获得了诱导公式.值得注意的是公式右端符号的确定.在运用诱导公式进行三角比的求值或化简中，我们又一次使用了转化的数学思想.通过进行角的适当配凑，使之符合诱导公式中角的结构特征，培养了我们思维的灵活性.

五、作业布置

习题5.3  A组:1;4(1)(2);5

         B组:1;4