高中数学沪教版高中一年级 第二学期5.2任意角的三角比教案设计

5.6 (3) 解斜三角形

　一、教学内容分析

本节课是高中数学第五章三角比中第三单元的第三节课，学生已在前两节学习了正弦定理和余弦定理，知道了任意三角形的边角满足的数量关系式，这节课是利用这两个定理来解决实际生活的相关问题.

本小节的重难点是如何利用正弦定理、余弦定理来解决斜三角形，能够正确审题，将实际问题数学化是关键.通过本节课的学习更加明确数学来源于生活，又服务于生活.

二、教学目标设计

加深理解正弦定理和余弦定理的内容：任意三角形的边角数量关系及其应用.体验正弦定理、余弦定理解决实际问题的过程； 深刻理解任意三角形的边角数量关系并灵活运用定理解三角形；通过实际问题的解决，感受数学与生活的密切关系，激发学习数学的热情，增强学习数学的动力.

三、教学重点及难点

教学重点

用正弦定理、余弦定理解斜三角形问题.

教学难点

用适当的方法解斜三角形及计算问题.

四、教学流程设计

五、教学过程设计          

一、复习引入

1、正弦定理及其变形： 在中有：==

：：=

2、正弦定理的两个应用：

（1）已知三角形中两角及一边，求其他元素；

（2）已知三角形中两边和其中一边所对的角，求其他元素.

3、余弦定理及其变形：在中有：

4、     余弦定理的两个应用：

（1）已知两边和它们的夹角，求其他的边和角；

（2）已知三边，求三个内角.

[说明]学生回答.

二、学习新课

1、例题解析

例1、已知ABC中，A，,求

解：设

则有，，

从而

又，所以

[说明]在ABC中，等式

恒成立.

这个k是ABC的外接圆直径,即k=2R.

例2、

解：由已知，得最大，由余弦定理得

又

例3如图，自动卸货汽车采用液压机构，设计时需要计算油泵顶杆BC的长度（如图）．已知车厢的最大仰角为60°，油泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为6°20′，AC长为1.40m，计算BC的长（保留三个有效数字）．

[说明] 最大仰角是车厢立起的最大角度．

解：已知△ABC的两边AB＝1.95m，AC＝1.40m，夹角A＝66°20′，

　　由余弦定理，得

答：顶杆 约长1.89m.

[说明] 由学生解答，教师巡视并对学生解答进行讲评小结．

　例4、如下图是曲柄连杆机构的示意图，当曲柄CB绕C点旋转时，通过连杆AB的传递，活塞作直线往复运动，当曲柄在CB位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点A在A处，设连杆AB长为340mm，由柄CB长为85mm，曲柄自CB按顺时针方向旋转80°，求活塞移动的距离（即连杆的端点A移动的距离 ）（精确到1mm）

[说明]：与重合时，与重合，故＝AB＋CB＝425mm，且＝ －AC．

解：已知△ABC中， BC＝85nun，AB＝34mm，∠C＝80°，

在△ABC中，由正弦定理可得：

　　因为BC＜AB，所以A为锐角

　　　　A＝14°15′

　　∴ B＝180°－（A＋C）＝85°45′

　　又由正弦定理：

答：活塞移动的距离约为81mm．

例5、如图：在斜度一定的山坡上的一点A测得山顶上一建筑物顶端C对于山坡的斜度为15，向山顶前进100m后，又从点B测得斜度为45，假设建筑物高50m，求此山对于地平面的斜度.

解：在△ABC中，AB = 100m ,

 CAB = 15,  ACB = 4515 = 30

由正弦定理：   ∴BC = 200sin15

在△DBC中，CD = 50m ,  CBD = 45,  CDB = 90 + 

由正弦定理： cos =  ∴ = 42.94

例6、某船在距救生艇A处10 海里的C处遇险，测得该船的方位角为45，还测得该船正沿方位角105的方向以每小时9 海里的速度向一小岛靠近，救生艇以每小时21 海里的速度前往营救，试求出该救生艇的航向及与它们相遇所需时间.

解：设所需时间为t小时，

在点B处相遇（如图）

在△ABC中，ACB = 120, 

AC = 100,  AB = 21t,  BC = 9t

由余弦定理：(21t)2 = 102 + (9t)2  2×10×9t×cos120

整理得：36t2 9t  10 = 0    解得：（舍去）

由正弦定理：

例7、我舰在敌岛A南偏西50°相距12海里的B处，发现敌舰正由岛沿北偏西10°的方向以10海里/小时的速度航行．问我舰需以多大速度、沿什么方向航行才能用2小时追上敌舰？

 [说明]已知三角形的两边和它们的夹角，求第三边及其余角

解：如图，在△ABC中由余弦定理得：

∴我舰的追击速度为14海里/小时.　　

又在△ABC中由正弦定理得：

　　故我舰行的方向为北偏东

三、课堂小结

　 解斜三角形应用题的一般步骤是：

　　1、分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图．

　　2、建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型．

　　3、求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解．

　　4、检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．

　　即解斜三角的基本思路

五、课后作业

略