沪教版高中一年级 第二学期5.3同角三角比的关系和诱导公式教案

同角三角比的关系和诱导公式

【教学目标】

1．复习巩固三角比的定义；

2．由三角比的定义，找出同角三角比的基本关系式；

3．理解同角公式都是特定意义的恒等式；

4．会简单应用同角公式。

【教学重难点】

重点：同角公式的推导与应用；

难点：三角比符号的确定及公式的变形应用。

【教学过程】

一、情景引入

1．背景：如果，为第一象限的角，如何求角的其它三角比值；

2．思考。

问题1：已知角终边上一点，，则角的六个三角比分别是什么？

。

问题2：

当角分别在不同的象限时，的符号分别是怎样的？

3．讨论：由于的三角比都是由表示的，则角的六个三角比之间有什么关系？

二、学习新课

1．探求公式。

（板书课题：同角的三角比的基本关系。）

2．由三角比的定义，我们可以得到以下关系：。

理论证明：（采用定义）。

；

（1）倒数关系：；

（2）商数关系：；

（3）平方关系：。

说明：

①注意“同角”，至于角的形式无关重要，如，等；

②注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的，如；

③对这些关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用（正用、反用、变形用），如：

，，等。

④据此，由一个角的任一三角函数值可求出这个角的另两个三角函数值，且因为利用“平方关系”公式，最终需求平方根，会出现两解，因此应尽可能少用（实际上，至多只要用一次）。

2．例题分析。

3．例题1：已知且为第四象限的角，求的其他三角比的值；

解：为第四象限的角，

；

提问：

（1）如果去掉为第四象限的角这个条件，应如何求的其他三角比的值？

（2）练习：已知，求的其他三角比的值？

4．例题2：已知，求和；

解：；

∵，∴；

∵，∴是第一或第三象限角。

当是第一象限角时，；

；

当是第三象限角时，；

。

提问：你能用学过锐角三角比来解答上述问题吗？

（1）利用直角三角形计算三角比的值；

（2）利用象限角确定三角比的符号。

说明：已知一个角的某一个三角比的值，便可运用基本关系式求出其它三角比的值。在求值中，确定角的终边位置是关键和必要的。有时，由于角的终边位置的不确定，因此解的情况不止一种。解题时产生遗漏的主要原因是：①没有确定好或不去确定角的终边位置；②利用平方关系开平方时，漏掉了负的平方根。

5．例题3：已知，求；

解：；

∵，∴角的终边不在坐标轴上。

当是第一象限或第二象限角时。

，；

当是第三象限或第四象限角时：

，。

说明：

（1）如果已知角的一个三角比和它所在的象限，那么角的其他三角比就可以唯一确定。

如果仅知道的一个三角比，那么就应该根据角的终边的所有可能的情况分别求出其他三角比。

（2）例1是给出一个三角比的值，并给出了角所在的象限，这样的题目只有一组解；例2是给出一个三角比的值，未给出角所在的象限，要先确定角所在的象限，然后分情况求解，这样的题有两组解；例3是给出了一个三角比的值，但是字母，因此先要根据字母的取值确定所在的位置。

3．归纳总结：

总结解题的一般步骤：

①确定终边的位置（判断所求三角函数的符号）；

②根据同角三角函数的关系式求值。