高中数学沪教版高中一年级 第一学期2.1不等式的基本性质教学设计

2.1不等式的基本性质

一、教学目标设计

   理解用两个实数差的符号来规定两个实数大小的意义，建立不等式研究的基础；掌握不等式的基本性质，并能加以证明；会用不等式的基本性质判断不等关系和用比较法，反证法证明简单的不等式。渗透分类讨论的数学思想。

二、教学重点及难点

   应用不等式的基本性质推理判断命题的真假；代数证明，特别是反证法。

三、教学流程设计

四、教学过程设计

一、 引入

公路有长有短，房屋有高有低，速度有快有慢......现实世界中充满着不等的数量关系，可以用不等式来处理。

在初中阶段，我们已经学习了用一元一次不等式描述并解决一些不等关系问题，为了今后学习函数的需要和培养代数论证能力，还要学习不等关系的证明。而解决不等关系问题的基础是不等式的性质，为此我们先学习不等式的基本性质。

二、探究不等式的基本性质

判断两个实数a与b之间的大小关系，可以通过将它们的差与零相比较来确定，即

ab的充分必要条件是a-b0；

ab的充分必要条件是a-b0；

ab的充分必要条件是a-b0。

引出等式的性质：

a=b，b=ca=c；

a=bac=bc；

a=b，c=da+c=b+d。

1．通过类比等式的性质，得到关于不等式的三个结论：

结论1  如果ab，bc，那么ac。

结论2  如果ab，cd，那么a+cb+d。

结论3  如果ab，那么acbc。。

[说明]引导学生判断三个结论的正确性并加以证明，体现数学的严谨性。利用举反例是证明命题错误的主要方法。继续让学生探究让结论3成为正确命题的条件。得出不等式的三个性质：

性质1  如果ab，bc，那么ac。

性质2  如果ab，那么a+cb+c。

性质3  如果ab，c0，那么acbc；如果ab，c0，那么acbc。

性质4  如果ab，cd，那么a+cb+d。

2．提问：判断以下两个命题的真假：如果是真命题，请说明理由；如果是假命题，请举出反例。

（1）如果ab，cd，那么acbd。

（2）如果ab0，那么0。

[说明]利用已经学过的不等式的性质证明命题的正确性，特别要注意性质（3）的使用前提；对于不正确的命题进行修正，得到不等式的另外两个性质

性质（5）如果ab0，cd0，那么acbd。

性质（6）如果ab0，那么0。

3．探讨不等式在进行乘方，开方运算时具有的性质：

性质（7）如果ab0，那么ab（nN）

性质（8）如果ab0，那么（nN，n1）。

[说明]根据性质（5），由特殊到一般进行归纳得出性质（7）。介绍用反证法证明性质（8），归纳用反证法进行证明的主要步骤。

三、例题分析

例1．判断下列命题的真假。

（1）若ab，那么acbc。                    （假命题）

（2）若acbc，那么ab。                    （真命题）

（3）若ab，cd，那么a-cb-d。               （假命题）

（4）若，那么。                     （假命题）

（5）若，那么。                （真命题）

（6）若，那么。         （真命题）

  例2．（1）比较与的值的大小。

（2）比较与的值的大小。

（3）比较与的值的大小。

解：（1）由-（）=3a，得

当时，；当时，=；

当时，。

（2）由-[]=，

当时，=[]；

当时，[]。

（3）由-=，得。

[说明]应用不等式的性质，采用“作差法”比较两数（式）的大小。“比较法”的主要步骤是作差——变形（化简，配方，因式分解）——判断——结论。

例3．解关于。

解：移项整理得，

如果，那么；如果，那么；

如果，那么不等式的解集为R。

[说明]此题重点强调在解不等式过程中，根据不等式的性质进行分类讨论。

四、拓展练习

1．有三个不等式，以其中两个作为条件，余下一个作为结论，可组成正确命题有几个？

2．若。

3．若a，b为正实数，比较与的大小。

4．（1）解关于x的不等式。

   （2）若上述不等式的解集为X=（3，+），求k的值。

五、作业布置

   教材练习2.1(1)，练习2. 1(2), 练习2.1

五、教学设计说明

不等式的性质是建立在实数运算与顺序关系的基础上的。课本中重点突出三条性质，传递性及不等式对加法、乘法的单调性。代数证明对学生来说是陌生的，抽象的，但却是非常重要的。举反例是是判断否定题的最基本方法，在教材中反复强调，虽然看似简单，但能否自觉的运用，对学生来讲，还有一个过程。教案例题基本是来自课本，不过在有些问题的处理上，将证明题变为问答题，让学生去探究，增加了难度，同时也会使学生理解的更深刻，面对一个数学问题，要么举反例否定，要么运用公式定理证明，这是解决数学问题的重要方法，应不断引导学生用这种方式思考问题。反正法比较难理解，老师要讲清楚原理，方法，以及应注意的问题。