高中数学2.1不等式的基本性质导学案及答案

2.3其它不等式的解法

一、教学内容分析

简单的分式不等式、绝对值不等式的解法是高中数学不等式学习的一个基本内容.对一个不等式通过同解变形转化为熟悉的不等式是解不等式的一个重要方法.这两类不等式将在以后的数学学习中不断出现，所以需牢固掌握.

二、教学目标设计

1、掌握简单的分式不等式、绝对值不等式的解法.

2、能对简单的绝对值不等式给出几何解释。

3、体会化归、等价转换的数学思想方法.

三、教学重点及难点

重点 简单的分式不等式、绝对值不等式的解法.

难点 不等式的同解变形.

四、教学过程设计

一、分式不等式的解法

1、引入

某地铁上，甲乙两人为了赶乘地铁，分别从楼梯和运行中的自动扶梯上楼（楼梯和自动扶梯长度相同），如果甲的上楼速度是乙的2倍，他俩同时上楼，且甲比乙早到楼上，问甲的速度至少是自动扶梯运行速度的几倍.

设楼梯的长度为，甲的速度为，自动扶梯的运行速度为.

于是甲上楼所需时间为，乙上楼所需时间为.

由题意，得.

整理得.

    由于此处速度为正值，因此上式可化为，即.所以，甲的速度应大于自动扶梯运行速度的2倍.

2、分式不等式的解法

例1  解不等式：.

解：（化分式不等式为一元一次不等式组）

或或或不存在.

所以，原不等式的解集为，即解集为.

注意到或，可以简化上述解法.

另解：（利用两数的商与积同号（，）化为一元二次不等式）

，所以，原不等式的解集为.

由例1我们可以得到分式不等式的求解通法：

（1）不要轻易去分母，可以移项通分，使得不等号的右边为零.

（2）利用两数的商与积同号，化为一元二次不等式求解.

一般地，分式不等式分为两类：

（1）（）（）；

（2）（）.

[说明]

    解不等式中的每一步往往要求“等价”，即同解变形，否则所得的解集或“增”或“漏”.由于不等式的解集常为无限集，所以很难像解无理方程那样，对解进行检验，因此同解变形就显得尤为重要.

例2  解下列不等式

（1）.

（2）.

（3）.

解（1）原不等式，

所以，原不等式的解集为.

（2）原不等式

，

所以，原不等式的解集为.

（3）分母：，则

原不等式

或，所以，原不等式的解集为.

[说明]

    例2也可作为课堂练习，就学生所出现的问题，教师做适当讲评.

例3  当为何值时，关于的不等式的解是

（1）正数？          （2）是负数？

解： （*）

当时，（*）不存在.

当时，（*）.

（1）原方程的解为正数或.

（2）原方程的解为负数.

所以，当时，原方程的解为正数.当时，原方程的解为负数.

二、含绝对值的不等式的解法

（1）实数绝对值定义、几何意义、性质.

① 任意，定义的绝对值为.

② 绝对值的几何意义：任意，设数轴上表示数值的点为，为坐标原点，则

，即表示点到原点的距离.类似地，的几何意义是：数轴上表示数值的点到数轴上表示数值的点为的距离，即.

③ 任意，，等号成立.

④ 任意，.

⑤ 任意、，.，（）.

（2）含绝对值的不等式的解法

例4  设、，且，求下列不等式的解集.

（1）.

（2）.

（3）.

解：（1）或或

或.

所以，原不等式的解集为.

另解：或.

所以，原不等式的解集为.

（2）或或或

.

所以，原不等式的解集为.

另解：.

所以，原不等式的解集为.

（3），又

所以，原不等式的解集为.

由例4我们可以获得含绝对值的不等式的如下重要结论：

设，则

（1）.

（2）.

（3）.

上述结论的几何意义是比较明显的.

[说明]

以上结论对于、均成立，即

（1）.

（2）.

例5  解下列不等式

（1）.

（2）.

（3）.

解（1）原不等式.

所以，原不等式的解集为.

（2）原不等式或或

或.

所以，原不等式的解集为.

（3）原不等式或

或或.

所以，原不等式的解集为.

例6  解下列不等式

（1）.                （2）.

（3）.              （4）.

解：（1）由绝对值定义得，原不等式.

所以，原不等式的解集为.

（2）原不等式或或

不存在或或，

所以，原不等式的解集为.

（3）原不等式

或或或.

所以，原不等式的解集为.

（4）原不等式

.

所以，原不等式的解集为.

[说明]

    此例有一定难度，教师可视学生实际适当选用.

例7  解不等式：.

解：（1）当时，原不等式.

（2）当时，原不等式，无解.

（3）当时，原不等式；

综合可得，原不等式的解集为.

[说明]

1、几何解释，如图所示.

2、此例可留为课后思考.

三、课堂小结

略

四、作业布置

选用练习2.3（1）（2）、习题2.3中的部分练习.

五、教学设计说明

有关分式不等式和含绝对值不等式的解法可分为两个课时进行.

解分式不等式和含绝对值不等式关键在于同解变形.通过同解变形将其转化为熟悉的不等式来加以解决，这种通过等价变形变“未知”为“已知”的解决问题的方法是教学的重点也是难点，需在课堂教学中有所强调.

有关含绝对值不等式的解法应基于初中有关绝对值性质的基础上展开教学.除了从代数角度加以解释外，可多考虑一下绝对值的几何含义，帮助学生从不同角度对不等式进行理解，数形结合的思想可做适当的渗透.

    整个教学内容需让学生共同参与，特别是在“同解变形”这一点上，应在学生思考、讨论的基础上教师、学生共同进行归纳小结.